Binärer Überlauf: Wie Vorzeichenbits die binäre Addition beeinflussen

Bei der Arbeit mit vorzeichenbehafteten Binärzahlen kann eine Addition oder Subtraktion manchmal den Betrag überschreiten, den eine feste Anzahl an Bits darstellen kann. Dieses Phänomen, bekannt als Überlauf, tritt auf, weil die Position des Vorzeichenbits zu Beginn der Berechnung festgelegt ist.

Im folgenden Beispiel verwenden wir fünf Bits für den Betrag und das linkeste (sechste) Bit als Vorzeichenbit. Mit fünf Betragsbits können wir 2⁵ = 32 Ganzzahlwerte darstellen, von 0 bis zum maximalen Betrag. Folglich ist die größte darstellbare positive Zahl +31₁₀ (011111₂), die kleinste −32₁₀ (100000₂).

Einschränkungen des Sechs-Bit-Zahlenfelds

Addieren wir zwei Binärzahlen, die beide dasselbe Sechs-Bit-Feld nutzen, kann das Ergebnis außerhalb des Bereichs −32 bis +31 fallen. Zum Beispiel ergibt die Addition von +17₁₀ und +19₁₀ eine wahre Summe von +36₁₀, die mit nur fünf Betragsbits nicht darstellbar ist.

Die binäre Antwort, 100100₂, wird als −28₁₀ interpretiert, wenn das sechste Bit als −32₁₀ behandelt wird. Offensichtlich falsch; der Überlauffehler entsteht, weil die wahre Summe die Grenzen des Sechs-Bit-Felds übersteigt. Das Verwerfen des linkesten „Übertrag“-Bits liefert ein inkorrektes Ergebnis.

Das Addieren zweier negativer Zahlen kann ein ähnliches Problem erzeugen. Beispiel: −17₁₀ + −19₁₀ sollte −36₁₀ ergeben, aber mit einem Sechs-Bit-Feld ist das binäre Ergebnis ein positives 28, was wieder Überlauf anzeigt.

Verwendung eines siebten Bits als Vorzeichenbit

Durch Erweiterung des Felds auf sieben Bits – sechs für den Betrag und eines für das Vorzeichen – können größere Summen aufgenommen werden. Die folgenden Diagramme zeigen dieselben Probleme gelöst, wenn das Feld breit genug ist.

Während wir Überlauf durch Rückumwandlung des Binärergebnisses in Dezimal erkennen können, ist dieser Ansatz umständlich und für elektronische Schaltungen unpraktikabel. Eine effizientere Methode stützt sich auf das Vorzeichen der Summe. Ergibt die Addition zweier Zahlen mit demselben Vorzeichen ein Ergebnis mit entgegengesetztem Vorzeichen, ist Überlauf aufgetreten. Zwei positive Zahlen können nicht zu einer negativen summen, und zwei negative nicht zu einer positiven, wenn das Feld adäquat ist.

Umgekehrt kann die Addition einer positiven und einer negativen Zahl nie überlaufen. Die resultierende Summe ist immer näher an null als jeder Operand, was garantiert, dass sie im darstellbaren Bereich bleibt.

Diese Überlauferkennungsregeln sind in digitalen Addierern implementiert und bilden ein fundamentales Konzept der Computerarithmetik.

Weiterführende Arbeitsblätter

• Binärrechnen Arbeitsblatt