Dezimal versus binäre Numerierung

Lassen Sie uns von null bis zwanzig zählen, indem wir vier verschiedene Arten von Zahlensystemen verwenden:Rauten, römische Zahlen, dezimal und binär:

Weder Rautenzeichen noch das römische System sind sehr praktisch, um große Zahlen zu symbolisieren. Offensichtlich sind ortsgewichtete Systeme wie Dezimal und Binär für diese Aufgabe effizienter.

Beachten Sie jedoch, wie viel kürzer die Dezimalschreibweise gegenüber der Binärschreibweise ist, für die gleiche Anzahl von Größen. Was in binärer Notation fünf Bit benötigt, benötigt in dezimaler Notation nur zwei Stellen.

Dies wirft eine interessante Frage bezüglich verschiedener Zahlensysteme auf:Wie viel einer Zahl kann mit einer begrenzten Anzahl von Ziffernstellen oder -stellen dargestellt werden? Beim groben Hash-Mark-System ist die Anzahl der Stellen die größte Zahl, die dargestellt werden kann, da für jeden ganzzahligen Schritt eine Hash-Marke „Stelle“ erforderlich ist.

Bei ortsgewichteten Zahlensystemen wird die Antwort jedoch gefunden, indem man die Basis des Zahlensystems (10 für dezimal, 2 für binär) nimmt und mit der Anzahl der Stellen potenziert.

Beispielsweise können 5 Stellen in einem dezimalen Zahlensystem 100.000 verschiedene ganzzahlige Zahlenwerte von 0 bis 99.999 (10 hoch 5 =100.000) darstellen. 8 Bits in einem binären Zahlensystem können 256 verschiedene ganzzahlige Zahlenwerte darstellen, von 0 bis 11111111 (binär) oder 0 bis 255 (dezimal), da 2 hoch 8 gleich 256 ist.

Mit jeder weiteren Stellenposition zum Zahlenfeld erhöht sich die Fähigkeit zur Darstellung von Zahlen um einen Faktor der Basis (10 für Dezimal, 2 für Binär).

Eine interessante Fußnote zu diesem Thema ist einer der ersten elektronischen Digitalcomputer, der Eniac.

Die Designer des Eniac entschieden sich dafür, Zahlen in dezimaler Form digital darzustellen, indem sie eine Reihe von Schaltkreisen, die als „Ringzähler“ bezeichnet werden, anstelle des binären Zahlensystems verwenden, um die Anzahl der Schaltkreise zu minimieren, die zum Darstellen und Berechnen von sehr große Zahlen.

Dieser Ansatz erwies sich als kontraproduktiv, und praktisch alle digitalen Computer waren seitdem rein binär aufgebaut.

Umwandlung von Binär in Dezimal

Um eine Zahl in binärer Numerierung in ihr Äquivalent in dezimaler Form umzuwandeln, müssen Sie lediglich die Summe aller Produkte von Bits mit ihren jeweiligen Stellengewichtskonstanten berechnen. Zur Veranschaulichung:

Das Bit ganz rechts wird als Least Significant Bit (LSB) bezeichnet, weil es an der Stelle des niedrigsten Gewichts (der Einerstelle) steht.

Das Bit ganz links wird als Most Significant Bit (MSB) bezeichnet, da es an der Stelle mit der höchsten Gewichtung steht (der Stelle von einhundertachtundzwanzig).

Denken Sie daran, ein Bitwert von „1“ bedeutet, dass das jeweilige Platzgewicht zum Gesamtwert addiert wird, und ein Bitwert von „0“ bedeutet, dass das jeweilige Platzgewicht nicht zum Gesamtwert addiert. Mit dem obigen Beispiel haben wir:

Wenn wir auf eine Binärzahl mit einem Punkt (.) stoßen, die als „Binärkomma“ anstelle eines Dezimalkommas bezeichnet wird, folgen wir dem gleichen Verfahren und erkennen, dass jede Stellengewichtung rechts vom Komma die Hälfte des Wertes von eins links davon (genauso wie jedes Platzgewicht rechts von einem Dezimal Punkt ist ein Zehntel des Gewichts des Punktes links davon). Zum Beispiel:

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt für binäre Mathematik