Dezibel

Der Bel wird verwendet, um Gewinn darzustellen

In seiner einfachsten Form ist die Verstärkung . eines Verstärkers ist ein Verhältnis von Output zu Input. Wie alle Verhältnisse ist diese Form des Gewinns einheitslos. Es gibt jedoch eine tatsächliche Einheit, die den Gewinn darstellen soll, und sie heißt bel .

Als Einheit wurde die Glocke eigentlich als bequemes Mittel entwickelt, um Machtverlust darzustellen in Telefonanlagenverkabelung statt Gewinn bei Verstärkern. Der Name des Geräts leitet sich von Alexander Graham Bell ab, dem berühmten schottischen Erfinder, der maßgeblich an der Entwicklung von Telefonsystemen beteiligt war. Ursprünglich repräsentierte der Bel den Betrag des Signalleistungsverlusts aufgrund des Widerstands über eine Standardlänge eines elektrischen Kabels. Nun wird es durch den gemeinsamen Logarithmus (zur Basis 10) eines Leistungsverhältnisses (Ausgangsleistung dividiert durch Eingangsleistung) definiert:

Der Bel ist nichtlinear

Da der Bel eine logarithmische Einheit ist, ist er nichtlinear. Um Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, wie dies funktioniert, betrachten Sie die folgende Abbildungstabelle, in der Leistungsverluste und -gewinne in Bels mit einfachen Verhältnissen verglichen werden:

Vom Bel zum Dezibel wechseln

Später wurde entschieden, dass der Bel eine zu große Einheit war, um direkt verwendet zu werden, und so wurde es üblich, das metrische Präfix deci . anzuwenden (bedeutet 1/10) dazu, was es dezi macht bels oder dB. Nun ist der Ausdruck „dB“ so gebräuchlich, dass viele Leute nicht erkennen, dass es sich um eine Kombination aus „dezi-“ und „-bel“ handelt oder dass es sogar eine Einheit wie „bel“ gibt. Um dies ins rechte Licht zu rücken, hier ist eine weitere Tabelle, in der die Leistungsverstärkungs-/Verlustverhältnisse in Dezibel gegenübergestellt werden:

Als logarithmische Einheit deckt dieser Modus des Leistungsverstärkungsausdrucks einen weiten Bereich von Verhältnissen mit einer minimalen Zahlenspanne ab. Es ist vernünftig zu fragen:„Warum hatte jemand das Bedürfnis, eine logarithmische zu erfinden? Einheit für elektrische Signalverluste in einer Telefonanlage?“ Die Antwort hängt mit der Dynamik des menschlichen Gehörs zusammen, dessen Wahrnehmungsintensität logarithmischer Natur ist.

Das menschliche Gehör ist nichtlinear

Das menschliche Gehör ist stark nichtlinear:Um die wahrgenommene Intensität eines Schalls zu verdoppeln, muss die tatsächliche Schallleistung mit dem Faktor zehn multipliziert werden. In diesem Zusammenhang ist es durchaus sinnvoll, die Verlustleistung des Telefonsignals auf die logarithmische „Bel“-Skala zu beziehen:Eine Verlustleistung von 1 Bel entspricht einem wahrgenommenen Schallverlust von 50 Prozent oder 1/2. Eine Leistungsverstärkung von 1 Bel bedeutet eine Verdoppelung der wahrgenommenen Intensität des Klangs.

Andere Beispiele für logarithmische Skalen:Richterskala und chemischer pH

Richtere Skala

Eine fast perfekte Analogie zur Bel-Skala ist die Richter-Skala, die verwendet wird, um die Erdbebenintensität zu beschreiben:Ein 6,0-Richter-Erdbeben ist 10-mal stärker als ein 5,0-Richter-Erdbeben; ein 7,0-Richter-Erdbeben 100-mal stärker als ein 5,0-Richter-Erdbeben; ein Erdbeben mit 4,0 Richter ist 1/10 so stark wie ein Erdbeben mit 5,0 Richter und so weiter.

Chemischer pH-Wert

Die Messskala für den chemischen pH-Wert ist ebenfalls logarithmisch, eine Differenz von 1 auf der Skala entspricht einer zehnfachen Differenz der Wasserstoffionenkonzentration einer chemischen Lösung. Ein Vorteil der Verwendung einer logarithmischen Messskala ist der enorme Ausdrucksbereich, der durch eine relativ kleine Spanne von Zahlenwerten geboten wird, und dieser Vorteil sichert die Verwendung von Richterzahlen für Erdbeben und pH für die Wasserstoffionenaktivität.

Verwenden des Bels, um Systemgewinne und -verluste auszudrücken

Ein weiterer Grund für die Annahme des Bel als Gewinneinheit ist der einfache Ausdruck von Systemgewinnen und -verlusten. Betrachten Sie das letzte Systembeispiel (Abbildung oben), bei dem zwei Verstärker hintereinander geschaltet wurden, um ein Signal zu verstärken. Die jeweilige Verstärkung für jeden Verstärker wurde als Verhältnis ausgedrückt, und die Gesamtverstärkung für das System war das Produkt (Multiplikation) dieser beiden Verhältnisse:

Gesamtgewinn =(3)(5) =15

Wenn diese Zahlen Macht repräsentierten Verstärkungen, könnten wir die Bels-Einheit direkt auf die Aufgabe anwenden, die Verstärkung jedes Verstärkers und des Systems insgesamt darzustellen. (Abbildung unten)

Die Leistungszunahme in Bels ist additiv:0,477 B + 0,699 B =1,176 B.

Eine genaue Untersuchung dieser Gewinnzahlen in der Einheit „Bel“ führt zu einer Entdeckung:Sie sind additiv. Ratio-Gain-Zahlen sind für gestufte Verstärker multiplikativ, aber die Verstärkungen werden in Bels add . ausgedrückt anstatt multiplizieren um die Gesamtsystemverstärkung auszugleichen. Der erste Verstärker mit einer Leistungsverstärkung von 0,477 B addiert sich zur Leistungsverstärkung des zweiten Verstärkers von 0,699 B, um ein System mit einer Gesamtleistungsverstärkung von 1,176 B zu bilden.

Gewinne mit Dezibel

Bei der Neuberechnung für Dezibel statt Bels stellen wir das gleiche Phänomen fest. (Abbildung unten)

Verstärkung der Verstärkerstufen in Dezibel addiert sich:4,77 dB + 6,99 dB =11,76 dB.

Für diejenigen, die bereits mit den arithmetischen Eigenschaften von Logarithmen vertraut sind, ist dies keine Überraschung. Es ist eine elementare Regel der Algebra, dass der Antilogarithmus der Summe der Logarithmuswerte zweier Zahlen gleich dem Produkt der beiden ursprünglichen Zahlen ist. Mit anderen Worten, wenn wir zwei Zahlen nehmen und den Logarithmus von jeder bestimmen, dann diese beiden Logarithmuszahlen zusammenzählen und dann den „Antilogarithmus“ dieser Summe bestimmen (erhöhen Sie die Basiszahl des Logarithmus – in diesem Fall 10 – auf die Potenz dieser Summe) ist das Ergebnis dasselbe, als ob wir einfach die beiden ursprünglichen Zahlen miteinander multipliziert hätten.

Diese algebraische Regel bildet das Herzstück eines Geräts namens Slide-Regel , ein analoger Computer, der unter anderem die Produkte und Quotienten von Zahlen durch Addition bestimmen könnte (Addition von physikalischen Längen, die auf verschiebbaren Holz-, Metall- oder Kunststoffskalen markiert sind).

Bei einer gegebenen Tabelle mit logarithmischen Zahlen könnte der gleiche mathematische Trick verwendet werden, um ansonsten komplexe Multiplikationen und Divisionen durchzuführen, indem nur Additionen bzw. Subtraktionen durchgeführt werden müssen. Mit dem Aufkommen von digitalen Hochgeschwindigkeits-Taschenrechnern verschwand diese elegante Rechentechnik praktisch aus dem allgemeinen Gebrauch. Es ist jedoch immer noch wichtig zu verstehen, wenn Sie mit logarithmischen Messskalen arbeiten, wie z. B. der Bel (Dezibel) und der Richter-Skala.

Umrechnung von Dezibel und Unitless Ratio

Bei der Umrechnung eines Leistungsgewinns aus der Einheit Bel oder Dezibel in ein einheitenloses Verhältnis wird die mathematische Umkehrfunktion des gebräuchlichen Logarithmus verwendet:Zehnerpotenzen oder der Antilog .

Die Umrechnung von Dezibel in einheitenlose Verhältnisse für die Leistungsverstärkung ist ähnlich, nur ein Teilungsfaktor von 10 ist im Exponententerm enthalten:

Beispiel: Die Leistung eines Verstärkers beträgt 1 Watt, die Ausgangsleistung beträgt 10 Watt. Finden Sie die Leistungsverstärkung in dB.

AP(dB) =10*log10(PO / PI) =10*log10(10/1) =10*log10(10) =10*(1) =10 dB

Beispiel: Finden Sie das Leistungsverstärkungsverhältnis AP(ratio) =(PO / PI) für eine Leistungsverstärkung von 20 dB.

AP(dB) =20 =10*log10(APVerhältnis ) 20/10 =log10*(APVerhältnis ) 10^(20/10) =10^(log10*(APVerhältnis )) 10^2 =100 =AP(Verhältnis) =(PO / PI)

Umwandlung der Leistungsverstärkung in Spannungs-/Stromverstärkung

Denn der Bel ist im Grunde eine Einheit von Macht Verstärkung oder Verlust in einem System, Spannungs- oder Stromverstärkungen und -verluste werden nicht auf die gleiche Weise in Bels oder dB umgewandelt. Wenn Bel oder Dezibel verwendet werden, um eine andere Verstärkung als die Leistung auszudrücken, sei es Spannung oder Strom, müssen wir die Berechnung dahingehend durchführen, wie viel Leistungsverstärkung es für diese Spannungs- oder Stromverstärkung geben würde.

Bei einer konstanten Lastimpedanz entspricht eine Spannungs- oder Stromverstärkung von 2 einer Leistungsverstärkung von 4 (2 ² ); eine Spannungs- oder Stromverstärkung von 3 entspricht einer Leistungsverstärkung von 9 (3 ² ). Wenn wir entweder Spannung oder Strom mit einem gegebenen Faktor multiplizieren, dann ist die durch diese Multiplikation verursachte Leistungsverstärkung das Quadrat dieses Faktors. Dies bezieht sich auf die Formen des Jouleschen Gesetzes, bei denen die Leistung entweder aus Spannung oder Strom und Widerstand berechnet wurde:

Bei der Übersetzung einer Spannungs- oder Stromverstärkung Verhältnis in einen entsprechenden Gewinn in der Bel-Einheit müssen wir diesen Exponenten in die Gleichung(en) einbeziehen:

Dieselbe Exponentenanforderung gilt, wenn Spannungs- oder Stromverstärkungen in Dezibel ausgedrückt werden:

Dank einer weiteren interessanten Eigenschaft von Logarithmen können wir diese Gleichungen jedoch vereinfachen, um den Exponenten zu eliminieren, indem wir die „2“ als Multiplikationsfaktor einbeziehen für die Logarithmusfunktion. Mit anderen Worten, anstatt den Logarithmus des Quadrats zu nehmen der Spannungs- oder Stromverstärkung multiplizieren wir einfach den Logarithmus der Spannungs- oder Stromverstärkung mit 2 und das Endergebnis in Bel oder Dezibel ist dasselbe:

Der Prozess der Umwandlung von Spannungs- oder Stromverstärkungen von Bel oder Dezibel in einheitenlose Verhältnisse ist ähnlich wie bei Leistungsverstärkungen:

Hier sind die Gleichungen, die verwendet werden, um Spannungs- oder Stromverstärkungen in Dezibel in einheitenlose Verhältnisse umzuwandeln:

Während der Bel eine natürlich nach Leistung skalierte Einheit ist, wurde eine andere logarithmische Einheit erfunden, um Spannungs- oder Stromgewinne/-verluste direkt auszudrücken, und sie basiert auf der natürlichen Logarithmus statt des üblichen Logarithmus wie Bel und Dezibel sind. Genannt die neper , sein Einheitensymbol ist „Np; Es kann jedoch auch ein „n“ in Kleinbuchstaben vorkommen.

Zum Guten oder zum Schlechten, weder der Nepra noch sein abgeschwächter Cousin, der Decineper , wird im Allgemeinen als Einheit in amerikanischen Ingenieuranwendungen verwendet. Beispiel: Die Spannung an einem 600--Audio-Leitungsverstärker beträgt 10 mV, die Spannung an einer 600--Last beträgt 1 V. Ermitteln Sie die Leistungsverstärkung in dB.

A(dB) =20 log10(VO / VI) =20 log10 (1 /0,01) =20 log10 (100) =20 (2) =40 dB

Beispiel: Finden Sie das Spannungsverstärkungsverhältnis AV(Verhältnis) =(VO / VI) für einen Verstärker mit 20 dB Verstärkung und einer Eingangs- und Ausgangsimpedanz von 50 Ω.

AV(dB) =20 log10 AV(Verhältnis) 20 =20 log10 AV(Verhältnis) 20/20 =log10 AP(Verhältnis) 1020/20 =10log10 (AV(Verhältnis)) 10 =AV(Verhältnis) =( VO / VI)

Eine Überprüfung des Dezibel

• Gewinne und Verluste können als einheitenloses Verhältnis oder in der Einheit Bel (B) oder Dezibel (dB) ausgedrückt werden. Ein Dezibel ist buchstäblich ein Dezi -bel:ein Zehntel Bel.
• Der Bel ist im Grunde eine Einheit, um Macht auszudrücken Gewinn oder Verlust. Um ein Leistungsverhältnis in Bel oder Dezibel umzurechnen, verwende eine dieser Gleichungen:

• Wenn die Einheit Bel oder Dezibel verwendet wird, um eine Spannung auszudrücken oder aktuell Verhältnis, muss es in eine äquivalente Kraft ausgedrückt werden Verhältnis. Praktisch bedeutet dies die Verwendung verschiedener Gleichungen, wobei ein Multiplikationsfaktor von 2 für den Logarithmuswert einem Exponenten von 2 für das Spannungs- oder Stromverstärkungsverhältnis entspricht:

• Um eine Dezibelverstärkung in eine einheitenlose Verhältnisverstärkung umzuwandeln, verwenden Sie eine der folgenden Gleichungen:

• Eine Verstärkung (Verstärkung) wird als positiver Bel- oder Dezibel-Wert ausgedrückt. Ein Verlust (Dämpfung) wird als negativer Bel- oder Dezibel-Wert ausgedrückt. Der Einheitsgewinn (kein Gewinn oder Verlust; Verhältnis =1) wird als null Bel oder null Dezibel ausgedrückt.
• Bei der Berechnung der Gesamtverstärkung für ein aus mehreren Verstärkerstufen bestehendes Verstärkersystem werden die einzelnen Verstärkungsverhältnisse multipliziert um das Gesamtverstärkungsverhältnis zu finden. Bel- oder Dezibel-Angaben für jede Verstärkerstufe werden dagegen hinzugefügt zusammen, um den Gesamtgewinn zu bestimmen.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt für Dezibelmessungen
• Arbeitsblatt zur Elementarverstärkertheorie