Bel und Dezibel verstehen: Von Leistungsverstärkung zur Spannungsumrechnung

Das Bel wird zur Darstellung von Verstärkung genutzt

In seiner unkompliziertesten Definition ist die Verstärkung eines Verstärkers das Verhältnis von Ausgangsleistung zu Eingangsleistung. Da es ein Verhältnis ist, ist es dimensionslos. Dennoch nutzen Ingenieure eine dedizierte Einheit – das Bel –, um Verstärkung in einem lesbareren Format auszudrücken.

Das Bel wurde ursprünglich entworfen, um Signalverlust in Telefonkabeln zu quantifizieren, nicht Verstärkung in Verstärkern. Benannt nach Alexander Graham Bell, erfasste die Einheit die Leistungsdämpfung über eine Standardkabellänge. Heute ist es definiert als der Zehnerlogarithmus eines Leistungsverhältnisses:

Das Bel ist nichtlinear

Weil das Bel logarithmisch ist, verhält es sich nichtlinear. Die folgende Tabelle illustriert, wie Leistungsverluste und -gewinne zwischen einfachen Verhältnissen und Bel-Werten übersetzen:

Vom Bel zum Dezibel

Das Bel ist eine relativ große Einheit, daher wurde ein metrisches Präfix – dezi – angewendet, um das Dezibel (dB) zu schaffen. Das Dezibel ist nun die allgegenwärtige Einheit für logarithmische Gewinne und Verluste. Unten ein Vergleich zwischen Leistungsverhältnissen und Dezibelwerten:

Logarithmische Skalen sind besonders nützlich, weil menschliches Hören logarithmisch ist: Verdopplung der wahrgenommenen Lautstärke erfordert eine zehnfache Erhöhung der physikalischen Schallleistung. Ein 1-Bel-Verlust entspricht 50 % wahrgenommenem Verlust, und ein 1-Bel-Gewinn verdoppelt die wahrgenommene Intensität.

Weitere logarithmische Skalen-Beispiele: Richter-Skala und chemischer pH

Richter-Skala

Die Richter-Skala für Erdbeben ist ein direktes Analogon. Ein 6,0-Wert ist zehnmal mächtiger als 5,0; 7,0 ist hundertmal mächtiger als 5,0; und 4,0 ist ein Zehntel so mächtig wie 5,0.

Chemischer pH

Ähnlich ist die pH-Skala logarithmisch: jede Einheit repräsentiert einen zehnfachen Unterschied in Wasserstoffionen-Konzentration. Die Kraft logarithmischer Skalen liegt in der Darstellung riesiger Bereiche mit einem kompakten Zahlenraum.

Bel zur Darstellung von System-Gewinnen und -Verlusten nutzen

Wenn mehrere Verstärkerstufen kaskadiert sind, ist der Gesamtleistungsgewinn das Produkt der individuellen Verhältnisse:

Gesamtgewinn = (3)(5) = 15

Wenn jeder Stufen-Gain in Bel ausgedrückt wird, ist der Gesamtsystem-Gain einfach die Summe der individuellen Bel-Werte:

In diesem Beispiel: 0,477 B + 0,699 B = 1,176 B, demonstrierend die additive Eigenschaft logarithmischer Einheiten.

Gewinne in Dezibel

Anwendung derselben Logik auf Dezibel ergibt:

4,77 dB + 6,99 dB = 11,76 dB.

Mathematisch entspricht die Summe der Logarithmen dem Produkt der Originalzahlen – ein Prinzip, das von Rechenschiebern ausgenutzt wird und noch fundamental beim Arbeiten mit logarithmischen Skalen ist.

Umrechnung von Dezibel und dimensionslosem Verhältnis

Um von einem Dezibel- oder Bel-Wert zurück zu einem einfachen Leistungsverhältnis zu gelangen, wendet man den Antilogarithmus an (10 hoch dem Exponenten). Für Dezibel ist der Exponent der Dezibelwert geteilt durch 10:

Beispiel: Wenn 1 W Eingang 10 W Ausgang ergibt, ist der Leistungsgewinn in dB:

AP(dB) = 10*log10(PO / PI) = 10*log10(10 /1) = 10*1 = 10 dB

Beispiel: Ein 20 dB Leistungsgewinn entspricht einem Verhältnis von 10^(20/10) = 100.

AP(dB) = 20 = 10*log10(AP_ratio)
20/10 = log10(AP_ratio)
10^(20/10) = 10^2 = 100 = AP_ratio

Umrechnung von Leistungsgewinn in Spannungs/Stromgewinn

Da ein Bel Leistung misst, erfordert das Übersetzen eines Spannungs- oder Stromgewinns in Bel oder Dezibel die Konvertierung dieses Gewinns in einen äquivalenten Leistungsgewinn. Bei konstanter Last ergibt ein Spannungs- oder Stromgewinn von 2 einen Leistungsgewinn von 4 (2²); ein Gewinn von 3 ergibt 9 (3²). Folglich wird bei der Konvertierung ein Exponent von 2 auf das Verhältnis innerhalb des Logarithmus angewendet:

Weil Multiplikation mit 2 im Log äquivalent zum Log des quadrierten Verhältnisses ist, vereinfacht sich die Formel zu:

Um ein dimensionsloses Spannungs- oder Stromverhältnis aus einem Dezibelwert zurückzugewinnen, nutzt man:

Während das Bel für Leistung maßgeschneidert ist, nutzt der Neper (Symbol Np) den natürlichen Logarithmus und drückt Spannungs- oder Stromgewinne direkt aus. In der Praxis wird der Neper in US-Ingenieurwesen selten genutzt; Dezibel bleiben der Standard.

Beispiel: Ein 600 Ω Audio-Leitungsverstärker empfängt 10 mV und liefert 1 V. Der Leistungsgewinn in dB ist:

A(dB) = 20*log10(VO / VI) = 20*log10(1 /0,01) = 20*2 = 40 dB

Beispiel: Für einen 20 dB Spannungsgewinn mit gleichen 50 Ω Ein- und Ausgangsimpedanzen ist das Spannungsverhältnis 10^(20/20) = 10.

Dezibel-Übersicht

• Gewinne und Verluste können als dimensionsloses Verhältnis oder in Bel (B) oder Dezibel (dB) ausgedrückt werden. Ein Dezibel ist ein Zehntel eines Bel.
• Zur Umrechnung eines Leistungsverhältnisses in Bel oder Dezibel nutzen Sie die oben gezeigten Gleichungen.
• Bei Anwendung von Bel oder Dezibel auf Spannungs- oder Stromverhältnisse fügen Sie einen Faktor 2 im Logarithmus ein, um die quadrierte Beziehung zur Leistung zu berücksichtigen.
• Ein positiver Wert bedeutet Verstärkung; ein negativer Wert bedeutet Dämpfung. Null bezeichnet Einheitsgewinn.
• Für Mehrstufen-Verstärkersysteme multiplizieren Sie individuelle Leistungsverhältnisse für den Gesamtverhältnis, addieren aber Bel- oder Dezibelwerte für den gesamten logarithmischen Gewinn.

ZUGEHÖRIGE ARBEITSBLÄTTER:

• Decibel Measurements Worksheet
• Elementary Amplifier Theory Worksheet