Wissenschaftliche Notation

In vielen Disziplinen der Natur- und Ingenieurwissenschaften müssen sehr große und sehr kleine Zahlengrößen verwaltet werden. Einige dieser Mengen sind in ihrer Größe überwältigend, entweder extrem klein oder extrem groß. Nehmen wir zum Beispiel die Masse eines Protons, eines der Bestandteile eines Atomkerns:

Protonenmasse =0,000000000000000000000167 Gramm

Oder betrachten Sie die Anzahl der Elektronen, die jede Sekunde einen Punkt in einem Stromkreis mit einem konstanten elektrischen Strom von 1 Ampere passieren:

1 Ampere =6.250.000.000.000.000.000 Elektronen pro Sekunde

Viele Nullen, nicht wahr? Offensichtlich kann es ziemlich verwirrend werden, so viele Nullstellen in Zahlen wie dieser selbst mit Hilfe von Taschenrechnern und Computern verarbeiten zu müssen.

Beachten Sie diese beiden Zahlen und die relative spärliche Anzahl von Ziffern ungleich Null. Für die Masse des Protons haben wir nur ein „167“ mit 23 Nullen vor dem Komma. Für die Anzahl der Elektronen pro Sekunde in 1 Ampere haben wir „625“ gefolgt von 16 Nullen.

Wir nennen die Spanne der Nicht-Null-Ziffern (von der ersten bis zur letzten) plus alle Null-Ziffern nicht nur als Platzhalter verwendet, die „signifikanten Ziffern“ einer beliebigen Zahl.

Die signifikanten Stellen in einer realen Messung spiegeln normalerweise die Genauigkeit dieser Messung wider. Wenn wir zum Beispiel sagen, dass ein Auto 3.000 Pfund wiegt, meinen wir wahrscheinlich nicht, dass das fragliche Auto genau wiegt 3.000 Pfund, aber wir haben sein Gewicht auf einen Wert gerundet, der sich besser sagen und besser merken lässt.

Diese gerundete Zahl von 3.000 hat nur eine signifikante Ziffer:die „3“ davor – die Nullen dienen lediglich als Platzhalter. Wenn wir jedoch sagen, dass das Auto 3.005 Pfund wiegt, sagt uns die Tatsache, dass das Gewicht nicht auf die nächsten Tausend Pfund gerundet wird, dass die beiden Nullen in der Mitte nicht nur Platzhalter sind, sondern alle vier Ziffern der Zahl „3.005“ sind für die repräsentative Genauigkeit von Bedeutung. Die Zahl „3.005“ soll also vier haben bedeutende Zahlen.

Ebenso sind Zahlen mit vielen Nullstellen nicht unbedingt repräsentativ für eine reale Größe bis hin zum Komma. Wenn dies bekannt ist, kann eine solche Zahl in einer Art mathematischer „Kurzschrift“ geschrieben werden, um die Handhabung zu erleichtern. Diese „Kurzschrift“ wird wissenschaftliche Schreibweise genannt .

In der wissenschaftlichen Notation wird eine Zahl geschrieben, indem ihre signifikanten Ziffern als eine Zahl zwischen 1 und 10 (oder -1 und -10 für negative Zahlen) dargestellt werden, und die „Platzhalter“-Nullen werden durch einen Multiplikator mit einer Zehnerpotenz berücksichtigt . Zum Beispiel:

1 Ampere =6.250.000.000.000.000.000 Elektronen pro Sekunde

. . . kann ausgedrückt werden als . . .

1 Ampere =6,25 x 10 ¹⁸ Elektronen pro Sekunde

10 hoch 18. (10 ¹⁸ ) bedeutet 10 multipliziert mit sich selbst 18 mal oder eine „1“ gefolgt von 18 Nullen. Mit 6,25 multipliziert sieht es aus wie „625“ gefolgt von 16 Nullen (nimm 6,25 und überspringe das Dezimalkomma 18 Stellen nach rechts). Die Vorteile der wissenschaftlichen Notation liegen auf der Hand:Die Zahl ist auf Papier nicht so unhandlich und die signifikanten Ziffern sind gut zu erkennen.

Aber was ist mit sehr kleinen Zahlen, wie der Masse des Protons in Gramm? Wir können immer noch die wissenschaftliche Notation verwenden, außer mit einer negativen Zehnerpotenz anstelle einer positiven, um den Dezimalpunkt nach links statt nach rechts zu verschieben:

Protonenmasse =0,000000000000000000000167 Gramm

. . . kann ausgedrückt werden als . . .

Protonenmasse =1,67 x 10 ^-24 Gramm

10 hoch -24. (10 ^-24 .) ) bedeutet die Umkehrung (1/x) von 10 multipliziert mit sich selbst 24 mal, oder eine „1“ vor einem Dezimalpunkt und 23 Nullen. Mit 1,67 multipliziert, sieht es aus wie „167“ mit vorangestelltem Dezimalpunkt und 23 Nullen. Genau wie bei einer sehr großen Zahl ist es für einen Menschen viel einfacher, mit dieser „Kurzschrift“-Notation umzugehen. Wie im vorherigen Fall werden die signifikanten Stellen in dieser Menge klar ausgedrückt.

Da die signifikanten Ziffern „allein“ dargestellt werden, abseits des Zehnerpotenz-Multiplikators, ist es einfach, eine Genauigkeitsstufe anzuzeigen, selbst wenn die Zahl rund aussieht. Am Beispiel unseres 3.000-Pfund-Autos könnten wir die gerundete Zahl 3.000 in wissenschaftlicher Schreibweise so ausdrücken:

Autogewicht =3 x 10 ³ Pfund

Wenn das Auto tatsächlich 3.005 Pfund wog (auf das nächste Pfund genau) und wir in der Lage sein wollten, diese volle Messgenauigkeit auszudrücken, könnte die wissenschaftliche Notation wie folgt geschrieben werden:

Autogewicht =3,005 x 10 ³ Pfund

Was aber, wenn das Auto tatsächlich 3.000 Pfund wiegen würde, genau (auf das nächste Pfund)? Wenn wir sein Gewicht in „normaler“ Form (3.000 lbs) schreiben würden, wäre nicht unbedingt klar, dass diese Zahl tatsächlich auf das nächste Pfund genau ist und nicht nur auf die nächsten tausend Pfund oder auf die nächsten hundert Pfund gerundet wird , oder auf die nächsten zehn Pfund. Die wissenschaftliche Notation hingegen erlaubt es uns, ohne Missverständnisse zu zeigen, dass alle vier Ziffern signifikant sind:

Autogewicht =3.000 x 10 ³ Pfund

Da es keinen Sinn hätte, rechts vom Dezimalpunkt zusätzliche Nullen hinzuzufügen (da die zusätzlichen Platzhalter-Nullen in der wissenschaftlichen Notation unnötig sind), wissen wir, dass diese Nullen für die Genauigkeit der Zahl signifikant sein müssen.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt für wissenschaftliche Notation und metrische Präfixe