Ableitung von Exponentialfunktionen zur Basis e

Beispiel-Ableitungen von e

Proportionalitätskonstante

Wenn wir sagen, ein Zusammenhang sei „exponentiell“, meinen wir, dass die Änderungsrate einer Größe proportional zur Größe selbst wächst. Folglich entspricht die Ableitung einer Exponentialfunktion der ursprünglichen Funktion, multipliziert mit einer Konstanten k, die diese Proportionalität repräsentiert:

$$\frac{d}{dx}a^x = k a^x$$

Die Proportionalitätskonstante ist der natürliche Logarithmus der Basis:

$$\frac{d}{dx}a^x = \ln(a)\cdot a^x$$

Bei der Basis e gilt ln(e) = 1, daher ist die Ableitung von eˣ die Funktion selbst:

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

Die Kettenregel

Ist der Exponent ein komplexerer Ausdruck, wenden wir die Kettenregel an: Ableitung der äußeren Exponentialfunktion mal Ableitung der inneren Funktion.

$$\frac{d}{dx}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\cdot\frac{d}{dx}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$

Anwendung: Dioden-Strom-Spannungs-Kennlinie

Die Shockley-Diodengleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Spannung an einer Diode (V_D) und dem Strom durch sie (I_D):

$$I_D = I_S \cdot e^{\frac{V_D}{0.026}}$$

(I_S ist eine Konstante, keine Variable.) Um die Empfindlichkeit des Stroms gegenüber Spannungsänderungen zu finden, differenzieren wir:

$$\frac{dI_D}{dV_D} = \frac{d}{dV_D}\left(I_S \cdot e^{\frac{V_D}{0.026}}\right) = I_S \cdot e^{\frac{V_D}{0.026}} \cdot \frac{1}{0.026}$$

An einer bestimmten Spannung V_D erhöht eine infinitesimale Spannungsänderung den Strom um (I_S/0,026) e^{V_D/0,026}.

Weiterführende Arbeitsblätter

• Calculus for Electric Circuits Worksheet