Negative Zahlen im Binärsystem: Vorzeichen-Betrag, Komplement und Zweierkomplement

Subtraktion lässt sich in Addition umwandeln, indem man den Subtrahenden als negativen Wert behandelt; beispielsweise wird 7 − 5 zu 7 + (−5).

Ist die positive Binärdarstellung beherrscht, ist der nächste Schritt, negative Zahlen so zu kodieren, dass Subtraktion mithilfe derselben Additionsroutine ausgeführt werden kann.

Im Dezimalsystem wird ein Minuszeichen vor die höchstwertige Ziffer gesetzt (z. B. −5). In binärer Hardware stehen nur zwei Zustände – high oder low – zur Verfügung, daher muss das Vorzeichen im Bitmuster selbst kodiert werden.

In diesem Kontext steht kein drittes Symbol wie ein „Minus“ zur Verfügung. Eine Lösung besteht darin, ein Bit für das mathematische Vorzeichen zu reservieren:

Die Verwendung von Bits für Zwecke jenseits ihres Stellenwerts kann zu Verwirrung führen; so könnte 1101₂ als dreizehn gelesen werden, es sei denn, das führende Bit wird als Vorzeichen behandelt.

Zuerst legt man die gesamte Bitbreite fest, die erforderlich ist, um den größten Betrag aufzunehmen, und stellt dann sicher, dass alle Operationen innerhalb dieser Breite bleiben.

Im folgenden Beispiel beschränken wir den Bereich auf −7 (1111₂) bis +7 (0111₂), indem wir das höchstwertige Bit als Vorzeichen behandeln, um Fehlinterpretationen zu vermeiden.

Die Kodierung von −5 als 1101₂ veranschaulicht das Vorzeichen-Betrag-System, bei dem das führende Bit das Vorzeichen anzeigt statt eines Werts, wodurch stellwertliche Reinheit gegen Praktikabilität eingetauscht wird.

Das höchstwertige Bit gibt das Vorzeichen an; die übrigen Bits behalten die standardmäßigen Stellenwerte (Zweierpotenzen).

Komplementierung

Während Vorzeichen-Betrag konzeptionell einfach ist, verkompliziert es die binäre Addition. Wie addiert man −5 (1101₂) zu einer anderen Zahl mittels gewöhnlicher Addition?

Ein benutzerdefinierter Additionsalgorithmus zu erstellen, würde den Zweck verfehlen; er wäre schriftlicher Subtraktion gleichwertig und nähme jeden rechnerischen Vorteil.

Eine Alternative – die Komplementierung – ermöglicht die Addition negativer Zahlen mit der standardmäßigen binären Additionsmethode und fügt sich natürlich in die Stellenwerte ein.

In diesem Schema begrenzt das höchstwertige Bit weiterhin den Bereich, trägt nun aber ein negatives Stellenwertgewicht (z. B. −8). Beispielsweise wird −5 wie folgt kodiert:

Mit den drei rechtesten Bits, die Beträge von 0 bis 7 darstellen können, und dem linkesten Bit, das entweder 0 oder −8 repräsentiert, lassen sich alle ganzen Zahlen von −7 (1001₂ = −8 + 1 = −7) bis +7 (0111₂ = 0 + 7 = 7) darstellen.

Positive Werte bleiben unverändert, negative Werte erfordern jedoch die Komplementoperation.

Negative Binärzahlen in der rechten Spalte sind die Summe der drei rechten Bits plus dem negativen Achten des linkesten Bits, weshalb sie nicht derselben Progression wie die positiven Zahlen folgen.

Stattdessen müssen die drei rechten Bits so gesetzt werden, dass sie, addiert zum negativen-Acht-Stellenwert, den gewünschten negativen Gesamtwert ergeben.

Zweierkomplement

Die drei rechten Bits sind das Zweierkomplement des positiven Gegenstücks. Beispiel:

Mit dem negativ-gewichteten Bit als viertes Bit (−8) ist das Zweierkomplement für jede positive Zahl der Wert, der zu −8 addiert werden muss, um das negative Äquivalent dieser Zahl zu erhalten.

Die Berechnung eines Zweierkomplements ist einfach: Alle Bits invertieren (Einerkomplement) und eins addieren. Um das Zweierkomplement von fünf (101₂) zu erhalten, zuerst invertieren zu 010₂, dann eins addieren zu 011₂, was −5 im dreibitigen Zweierkomplement darstellt.

Die Erzeugung des Zweierkomplements funktioniert identisch, wenn Sie alle Bits einschließlich des höchstwertigen Bits gleichzeitig manipulieren. Beispiel: Umwandlung von 0101₂ (fünf) in negative fünf:

Alle Bits invertieren → 1010₂; eins addieren → 1011₂, was −5 im vierbitigen Zweierkomplement darstellt.

Entscheidend ist, dass die Position des negativ-gewichteten Bits vor jeder Zweierkomplement-Umrechnung festgelegt sein muss. Wäre das achte Bit das negativ-gewichtete Bit (10000000₂), wäre das Zweierkomplement von 0000101₂ die Folge 1111011₂, was −5 im achtbitigen Zweierkomplement darstellt.

Somit ist in einem 8-Bit-System +5 = 00000101₂ und −5 = 11111011₂.

Weiterführende Arbeitsblätter

• Binärrechnen Arbeitsblatt