Serien R, L und C

Nehmen wir die folgende Beispielschaltung und analysieren sie:

Beispielschaltung der Serien R, L und C.

Reaktanz auflösen

Der erste Schritt besteht darin, die Reaktanz (in Ohm) für die Induktivität und den Kondensator zu bestimmen.

Der nächste Schritt besteht darin, alle Widerstände und Reaktanzen in einer mathematisch gemeinsamen Form auszudrücken:Impedanz. (Abbildung unten)

Denken Sie daran, dass sich eine induktive Reaktanz in eine positive imaginäre Impedanz (oder eine Impedanz bei +90°) übersetzt, während eine kapazitive Reaktanz in eine negative imaginäre Impedanz (Impedanz bei -90°) übersetzt wird. Der Widerstand wird natürlich immer noch als rein „reale“ Impedanz betrachtet (Polwinkel von 0°):

Beispielschaltung der Serien R, L und C mit Komponentenwerten, die durch Impedanzen ersetzt wurden.

Ergebnisse tabellarisch darstellen:

Da nun alle Widerstandsgrößen des elektrischen Stroms in einem gemeinsamen, komplexen Zahlenformat (als Impedanzen und nicht als Widerstände oder Reaktanzen) ausgedrückt werden, können sie auf die gleiche Weise wie einfache Widerstände in einem Gleichstromkreis behandelt werden.

Dies ist ein idealer Zeitpunkt, um eine Analysetabelle für diese Schaltung zu erstellen und alle „gegebenen“ Zahlen (Gesamtspannung und Impedanz von Widerstand, Induktivität und Kondensator) einzufügen.

Sofern nicht anders angegeben, ist die Quellenspannung unsere Referenz für die Phasenverschiebung und wird daher in einem Winkel von 0° geschrieben. Denken Sie daran, dass es keinen „absoluten“ Phasenverschiebungswinkel für eine Spannung oder einen Strom gibt, da es sich immer um eine Größe im Verhältnis zu einer anderen Wellenform handelt.

Phasenwinkel für die Impedanz (wie die von Widerstand, Induktivität und Kondensator) sind jedoch absolut bekannt, da die Phasenbeziehungen zwischen Spannung und Strom an jeder Komponente absolut definiert sind.

Beachten Sie, dass ich einen perfekt reaktiven Induktor und Kondensator mit Impedanzphasenwinkeln von genau +90 bzw. -90° annehme.

Obwohl echte Komponenten in dieser Hinsicht nicht perfekt sind, sollten sie ziemlich nah beieinander liegen. Der Einfachheit halber gehe ich in meinen Beispielrechnungen von nun an von perfekt reaktiven Induktivitäten und Kondensatoren aus, sofern nicht anders angegeben.

Da die obige Beispielschaltung eine Reihenschaltung ist, wissen wir, dass die Gesamtimpedanz der Schaltung gleich der Summe der Individuen ist, also:

Einfügen dieser Zahl für die Gesamtimpedanz in unsere Tabelle:

Wir können nun das Ohmsche Gesetz (I=E/R) vertikal in der Spalte „Gesamt“ anwenden, um den Gesamtstrom für diese Reihenschaltung zu ermitteln:

Da es sich um eine Reihenschaltung handelt, muss der Strom durch alle Komponenten gleich sein. So können wir den erhaltenen Wert für den Gesamtstrom nehmen und auf jede der anderen Spalten verteilen:

Jetzt sind wir bereit, das Ohmsche Gesetz (E=IZ) auf jede der einzelnen Komponentenspalten in der Tabelle anzuwenden, um Spannungsabfälle zu bestimmen:

Beachten Sie hier etwas Seltsames:Obwohl unsere Versorgungsspannung nur 120 Volt beträgt, beträgt die Spannung am Kondensator 137,46 Volt! Wie kann das sein? Die Antwort liegt in der Wechselwirkung zwischen den induktiven und kapazitiven Reaktanzen.

Als Impedanzen ausgedrückt, können wir sehen, dass die Induktivität dem Strom genau entgegengesetzt dem des Kondensators entgegenwirkt. In rechteckiger Form ausgedrückt, hat die Impedanz der Induktivität einen positiven imaginären Term und der Kondensator hat einen negativen imaginären Term.

Wenn diese beiden gegensätzlichen Impedanzen (in Reihe) addiert werden, neigen sie dazu, sich gegenseitig aufzuheben! Obwohl sie immer noch zusammengezählt sind um eine Summe zu bilden, ist diese Summe tatsächlich weniger als eine der einzelnen (kapazitiven oder induktiven) Impedanzen allein.

Es ist analog zum Addieren einer positiven und einer negativen (skalaren) Zahl:Die Summe ist eine Menge, die kleiner ist als der individuelle Absolutwert.

Wenn die Gesamtimpedanz in einer Reihenschaltung mit induktiven und kapazitiven Elementen geringer ist als die Impedanz eines der beiden Elemente separat, dann muss der Gesamtstrom in dieser Schaltung größer . sein als was es mit nur den induktiven oder nur den kapazitiven Elementen wäre.

Bei diesem ungewöhnlich hohen Strom durch jede der Komponenten können an einigen der einzelnen Komponenten Spannungen größer als die Quellenspannung erhalten werden! Weitere Konsequenzen der entgegengesetzten Reaktanzen von Induktivitäten und Kondensatoren in derselben Schaltung werden im nächsten Kapitel untersucht.

Sobald Sie die Technik der Reduzierung aller Komponentenwerte auf Impedanzen (Z) beherrschen, ist die Analyse eines Wechselstromkreises nur noch ungefähr so ​​​​schwierig wie die Analyse eines Gleichstromkreises, außer dass die behandelten Größen Vektoren anstelle eines Skalars sind.

Mit Ausnahme der Gleichungen, die sich mit der Leistung (P) befassen, sind die Gleichungen in Wechselstromkreisen die gleichen wie in Gleichstromkreisen, wobei Impedanzen (Z) anstelle von Widerständen (R) verwendet werden. Das Ohmsche Gesetz (E=IZ) gilt immer noch, ebenso wie die Spannungs- und Stromgesetze von Kirchhoff.

Um das Spannungsgesetz von Kirchhoff in einem Wechselstromkreis zu demonstrieren, können wir uns die Antworten ansehen, die wir für die Spannungsabfälle der Komponenten im letzten Stromkreis abgeleitet haben. KVL sagt uns, dass die algebraische Summe der Spannungsabfälle über Widerstand, Induktivität und Kondensator gleich der angelegten Spannung von der Quelle sein sollte.

Auch wenn dies auf den ersten Blick nicht so aussieht, beweist ein bisschen komplexe Zahlenaddition das Gegenteil:

Abgesehen von einem kleinen Rundungsfehler beträgt die Summe dieser Spannungsabfälle 120 Volt. Auf einem Taschenrechner durchgeführt (bei dem alle Ziffern beibehalten werden), sollte die Antwort, die Sie erhalten, genau lauten 120 + j0 Volt.

Wir können SPICE auch verwenden, um unsere Zahlen für diese Schaltung zu überprüfen:

Beispiel für eine SPICE-Schaltung der Serien R, L und C.