Einführung in die Boolesche Algebra

Mathematische Regeln basieren auf den definierenden Grenzen, die wir den einzelnen behandelten numerischen Größen auferlegen.

Wenn wir sagen, dass 1 + 1 =2 oder 3 + 4 =7 ist, implizieren wir die Verwendung ganzzahliger Größen:die gleichen Zahlentypen, die wir alle in der Grundschule gelernt haben.

Was die meisten Leute für selbstverständliche Regeln der Arithmetik halten – die jederzeit und für alle Zwecke gültig sind – hängt in Wirklichkeit davon ab, was wir unter einer Zahl verstehen.

Bei der Berechnung von Größen in Wechselstromkreisen stellen wir beispielsweise fest, dass die „realen“ Zahlengrößen, die uns bei der Gleichstromkreisanalyse so gute Dienste geleistet haben, für die Darstellung von Wechselstromgrößen unzureichend sind.

Wir wissen, dass sich die Spannungen bei Reihenschaltung addieren, aber wir wissen auch, dass es möglich ist, eine 3-Volt-Wechselstromquelle mit einer 4-Volt-Wechselstromquelle in Reihe zu schalten und am Ende eine Gesamtspannung von 5 Volt (3 + 4 =5) zu erhalten. .

Bedeutet dies, dass die unantastbaren und selbstverständlichen Regeln der Arithmetik verletzt wurden?

Nein, es bedeutet nur, dass die Regeln der „realen“ Zahlen nicht für die Arten von Größen gelten, die in Wechselstromkreisen vorkommen, wo jede Variable sowohl eine Größe als auch eine Phase hat.

Folglich müssen wir für Wechselstromkreise eine andere Art von numerischer Größe oder Objekt verwenden (komplex Zahlen statt echte Zahlen), und zusammen mit diesem anderen Zahlensystem gibt es verschiedene Regeln, die uns sagen, wie sie sich zueinander verhalten.

Ein Ausdruck wie "3 + 4 =5" ist Unsinn innerhalb des Geltungsbereichs und der Definition von reellen Zahlen, aber es passt gut in den Geltungsbereich und die Definition komplexer Zahlen (denken Sie an ein rechtwinkliges Dreieck mit gegenüberliegenden und benachbarten Seiten von 3 und 4, mit einer Hypotenuse von 5).

Da komplexe Zahlen zweidimensional sind, können sie sich trigonometrisch als eindimensionale reale addieren Zahlen können nicht.

Mathematische Gesetze und "Fuzzy Logic"

Logik ist in dieser Hinsicht der Mathematik sehr ähnlich:Die sogenannten „Gesetze“ der Logik hängen davon ab, wie wir einen Satz definieren.

Der griechische Philosoph Aristoteles begründete ein logisches System, das nur auf zwei Arten von Aussagen basiert:wahr und falsch.

Seine bivalente (zwei Modi) Definition von Wahrheit führte zu den vier grundlegenden Gesetzen der Logik:dem Gesetz der Identität (A ist A); das Gesetz des Widerspruchs (A ist nicht Nicht-A); das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (entweder A oder Nicht-A); und das Gesetz der rationalen Inferenz .

Diese sogenannten Gesetze funktionieren im Rahmen der Logik, in denen eine Aussage auf einen von zwei möglichen Werten beschränkt ist, gelten jedoch möglicherweise nicht in Fällen, in denen Aussagen andere Werte als „wahr“ oder „falsch“ enthalten können.

Tatsächlich wurde und wird viel an „mehrwertig“ oder unscharf . gearbeitet Logik, bei der Aussagen in begrenztem Maße wahr oder falsch sein können .

In einem solchen Logiksystem gelten „Gesetze“ wie das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte einfach nicht, weil sie auf der Annahme der Bivalenz beruhen.

Ebenso haben viele Prämissen, die das Gesetz des Widerspruchs in der aristotelischen Logik verletzen würden, in der „unscharfen“ Logik Gültigkeit. Auch hier bestimmen die definierenden Grenzen von Aussagenwerten die Gesetze, die ihre Funktionen und Beziehungen beschreiben.

Die Geburt der Booleschen Algebra

Der englische Mathematiker George Boole (1815-1864) versuchte, dem Logiksystem des Aristoteles eine symbolische Form zu geben.

Boole schrieb 1854 eine Abhandlung zu diesem Thema mit dem Titel Eine Untersuchung der Denkgesetze, auf der die mathematischen Theorien der Logik und Wahrscheinlichkeiten gründen , die mehrere Regeln der Beziehung zwischen mathematischen Größen kodifiziert, die auf einen von zwei möglichen Werten beschränkt sind:wahr oder falsch, 1 oder 0.

Sein mathematisches System wurde als Boolesche Algebra bekannt.

Alle arithmetischen Operationen mit booleschen Größen haben nur eines von zwei möglichen Ergebnissen:entweder 1 oder 0 .

Es gibt keine "2 “ oder „-1 “ oder „1/2 “ in der booleschen Welt. Es ist eine Welt, in der alle anderen Möglichkeiten per Fiat ungültig sind.

Wie man sich vorstellen kann, ist dies nicht die Art von Mathematik, die Sie verwenden möchten, wenn Sie ein Scheckheft ausgleichen oder den Strom durch einen Widerstand berechnen.

Claude Shannon vom MIT erkannte jedoch, wie Boolesche Algebra auf Ein- und Ausschaltkreise angewendet werden kann , wobei alle Signale entweder als „hoch . gekennzeichnet sind “ (1) oder „niedrig ” (0).

Seine Dissertation von 1938 mit dem Titel A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits , setzte Booles theoretische Arbeit auf eine Weise um, die sich Boole nie hätte vorstellen können, und gibt uns ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeug zum Entwerfen und Analysieren digitaler Schaltungen.

Boolesche Algebra vs. "Normale Algebra"

In diesem Kapitel finden Sie viele Ähnlichkeiten zwischen der Booleschen Algebra und der „normalen“ Algebra, der Algebra mit sogenannten reellen Zahlen.

Denken Sie nur daran, dass das Zahlensystem, das die Boolesche Algebra definiert, hinsichtlich des Umfangs stark eingeschränkt ist und dass es für jede Boolesche Variable nur einen von zwei möglichen Werten geben kann:1 oder 0.

Folglich unterscheiden sich die „Gesetze“ der Booleschen Algebra oft von den „Gesetzen“ der Algebra mit reellen Zahlen, was Aussagen wie 1 + 1 =1 möglich macht, was normalerweise als absurd angesehen würde.

Sobald Sie die Prämisse verstanden haben, dass alle Größen in der Booleschen Algebra auf die beiden Möglichkeiten von 1 und 0 beschränkt sind und das allgemeine philosophische Prinzip der Gesetze von quantitativen Definitionen abhängt, verschwindet der „Unsinn“ der Booleschen Algebra.

Boolesche Algebra vs. „Normale Algebra“

In diesem Kapitel finden Sie viele Ähnlichkeiten zwischen der Booleschen Algebra und der „normalen“ Algebra, der Algebra mit sogenannten reellen Zahlen.

Denken Sie nur daran, dass das Zahlensystem, das die Boolesche Algebra definiert, hinsichtlich des Umfangs stark eingeschränkt ist und dass es für jede Boolesche Variable nur einen von zwei möglichen Werten geben kann:1 oder 0.

Folglich unterscheiden sich die „Gesetze“ der Booleschen Algebra oft von den „Gesetzen“ der Algebra mit reellen Zahlen, was Aussagen wie 1 + 1 =1 möglich macht, was normalerweise als absurd angesehen würde.

Sobald Sie die Prämisse verstanden haben, dass alle Größen in der Booleschen Algebra auf die beiden Möglichkeiten von 1 und 0 beschränkt sind und das allgemeine philosophische Prinzip der Gesetze von quantitativen Definitionen abhängt, verschwindet der „Unsinn“ der Booleschen Algebra.

Boolesche Zahlen vs. Binärzahlen

Es sollte klar sein, dass Boolesche Zahlen nicht dasselbe sind wie binäre Zahlen.

Während boolesche Zahlen ein völlig anderes mathematisches System darstellen als reelle Zahlen, ist Binär nichts anderes als eine alternative Notation für reelle Zahlen.

Die beiden werden oft verwechselt, weil sowohl die boolesche Mathematik als auch die binäre Notation dieselben zwei Chiffren verwenden:1 und 0.

Der Unterschied besteht darin, dass boolesche Größen auf ein einzelnes Bit beschränkt sind (entweder 1 oder 0), wohingegen Binärzahlen aus vielen Bits bestehen können, die sich in ortsgewichteter Form zu einem Wert beliebiger endlicher Größe addieren.

Die Binärzahl 10011₂ („neunzehn“) hat in der Booleschen Welt nicht mehr Platz als die Dezimalzahl 2₁₀ („zwei“) oder die Oktalzahl 32₈ („sechsundzwanzig“).

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt zur Booleschen Algebra
• Arbeitsblatt Grundlegende Algebra und Graphik für elektrische Schaltungen
• Arbeitsblatt für binäre Mathematik