Boolesche Arithmetik: Addieren, Multiplizieren und Komplementieren in digitaler Logik

Beginnen wir unsere Erkundung der Booleschen Algebra mit dem Addieren von Zahlen:

Die ersten drei Summen machen für jeden, der elementare Addition kennt, perfekten Sinn. Die letzte Summe jedoch ist oft Verwirrungsquelle in der Digitalelektronik, da sie den gewöhnlichen Rechenregeln zu widersprechen scheint.

Sie widerspricht den Regeln für reelle Zahlen-Addition, aber nicht für Boolesche Werte. In der Booleschen Algebra kann jede Größe nur 0 oder 1 sein; es gibt keine „2“. Daher kann das Ergebnis von 1 + 1 nicht 0 sein, also muss es 1 sein.

Ob wir zwei Terme oder viele addieren, das Muster bleibt dasselbe:

ODER-Gatter (OR Gate)

Beachten Sie, dass die zweigliedrigen Summen im ersten Gleichungssatz der Wahrheitstabelle eines OR-Gatters entsprechen. Boolesche Addition entspricht also der logischen ODER-Operation, die auch durch parallele Schalterkontakte dargestellt wird:

Es gibt keine Subtraktion in der Booleschen Mathematik, da Subtraktion negative Zahlen erfordert, die in diesem Bereich nicht existieren. Ebenso ist Division ausgeschlossen, da sie im Wesentlichen wiederholte Subtraktion ist.

UND-Gatter (AND Gate)

Boolesche Multiplikation folgt denselben Regeln wie reelle Zahlen-Multiplikation: Jeder Wert multipliziert mit 0 ist 0, und jeder Wert multipliziert mit 1 bleibt unverändert:

Dieser Gleichungssatz spiegelt die Wahrheitstabelle eines AND-Gatters wider. Daher bildet Boolesche Multiplikation direkt die logische UND-Operation ab, die auch durch Reihenschalterkontakte illustriert wird:

Wie konventionelle Algebra nutzt Boolesche Algebra Buchstaben für Variablen, aber diese sind immer Großbuchstaben. Da eine Boolesche Variable nur 0 oder 1 sein kann, hat sie ein Komplement – den gegenteiligen Wert. Wenn A = 0, dann ist das Komplement von A gleich 1.

Komplementierung wird durch einen Balken über der Variable angezeigt, wie unten gezeigt:

NOT-Gatter

In Notation wird das Komplement von A als A' oder A̅ geschrieben. Das Balkensymbol ist häufiger als das Prim-Symbol, das auch in der Analysis auftaucht.

Komplementierung wird in Schaltungen durch ein NOT-Gatter oder einen normalerweise-geschlossenen Relaiskontakt dargestellt:

Diese Definitionen etablieren die grundlegenden Regeln der Booleschen Arithmetik: Addition ist ODER, Multiplikation ist UND, Komplementierung ist NICHT. Subtraktion und Division sind nicht definiert.

Im nächsten Abschnitt werden wir Boolesche Identitäten erkunden.

ZUSAMMENFASSUNG

• Boolesche Addition ⇔ ODER-Logik, parallele Schalterkontakte.
• Boolesche Multiplikation ⇔ UND-Logik, Reihenschalterkontakte.
• Boolesche Komplementierung ⇔ NICHT-Logik, normalerweise-geschlossene Relaiskontakte.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER

• Boolean Algebra Worksheet