Leitungswiderstand in Schaltungen: Warum Länge und Form meist keine Rolle spielen

Bisher haben wir einfache Ein-Batterie-Ein-Widerstand-Schaltungen untersucht, ohne die Verbindungsdrähte zu berücksichtigen. Beeinflussen Drahtlänge oder Schaltungsform unsere Berechnungen? Die folgenden Diagramme klären die Antwort.

In den meisten Lehrbuchanalysen werden Drähte als widerstandslos behandelt. Folglich tragen nur die Bauteilwiderstände – hier die beiden 5-Ω-Widerstände – zum Gesamtwiderstand der Schleife bei. In der Realität haben Metallleiter zwar Widerstand, dieser ist aber meist so gering im Vergleich zu Bauteilwerten, dass er bei Niedrigleistungs- und Niedrigstromschaltungen ignoriert werden kann. Ausnahmen treten in Hochstrom-Stromverteilungssystemen auf, wo selbst wenige Milliohm pro Meter signifikante Spannungsabfälle erzeugen können.

Elektrisch gemeinsame Punkte in einer Schaltung

Wenn der Drahtwiderstand vernachlässigbar ist, sind je zwei Punkte, die durch einen Draht verbunden sind, elektrisch gemeinsam. Ob Punkte 1 und 2 physisch nah oder weit voneinander entfernt sind, die zwischen ihnen gemessene Spannung ist effektiv dieselbe, und dasselbe gilt für Punkte 3 und 4. Diese Eigenschaft erlaubt es, eine Schaltung neu zu zeichnen oder umzuverdrahten – Drähte zu verkürzen oder zu verlängern – ohne ihr elektrisches Verhalten zu beeinflussen, solange die Bauteilreihenfolge unverändert bleibt.

Das bedeutet auch, dass Spannungsmessungen zwischen elektrisch gemeinsamen Punkten identisch sind. Zum Beispiel entspricht die Spannung an der Batterie (Punkte 1 bis 4) der Spannung am Widerstand (Punkte 2 bis 3). Das folgende Beispiel veranschaulicht dieses Prinzip.

In dieser Schaltung sind die einzigen aktiven Elemente eine Batterie und ein Widerstand, doch die Drähte bilden einen gewundenen Pfad. Punkte 1, 2 und 3 sind alle elektrisch gemeinsam, ebenso Punkte 4, 5 und 6. Die Batterie liefert 10 V, also beträgt die Spannung zwischen Punkten 1 und 6 10 V. Da Punkte 5 und 4 gemeinsam mit 6 sind und Punkte 2 und 3 gemeinsam mit 1, erscheint dieselben 10 V an allen anderen Paarungen:

Zwischen Punkten 1 und 4 = 10 V
Zwischen Punkten 2 und 4 = 10 V
Zwischen Punkten 3 und 4 = 10 V (direkt am Widerstand)
Zwischen Punkten 1 und 5 = 10 V
Zwischen Punkten 2 und 5 = 10 V
Zwischen Punkten 3 und 5 = 10 V
Zwischen Punkten 1 und 6 = 10 V (direkt an der Batterie)
Zwischen Punkten 2 und 6 = 10 V
Zwischen Punkten 3 und 6 = 10 V

Umgekehrt beträgt die Spannung zwischen je zwei gemeinsamen Punkten effektiv null, da die Drähte keinen Widerstand haben:

Zwischen Punkten 1 und 2 = 0 V
Zwischen Punkten 2 und 3 = 0 V
Zwischen Punkten 1 und 3 = 0 V
Zwischen Punkten 4 und 5 = 0 V
Zwischen Punkten 5 und 6 = 0 V
Zwischen Punkten 4 und 6 = 0 V

Spannungsabfall mit Ohmschem Gesetz berechnen

Bei einer 10-V-Batterie und einem 5-Ω-Widerstand beträgt der Schleifenstrom 2 A. Bei angenommenem nullem Drahtwiderstand gibt das Ohmsche Gesetz den Spannungsabfall über jede ununterbrochene Drahtlänge als U = I×R = I × 0 = 0 V an, unabhängig von der Stromstärke.

Da gemeinsame Punkte dieselbe Spannung teilen, erhalten Drähte, die sie verbinden, oft identische Bezeichnungen. Im untenstehenden Diagramm ist der Draht, der Punkt 1 mit 2 verbindet, als „Draht 2“ beschriftet, genau wie der Draht von Punkt 2 nach 3. In der Praxis können sich die physikalischen Eigenschaften dieser Drähte unterscheiden, aber ihre symbolischen Bezeichnungen reflektieren das gemeinsame elektrische Potenzial.

Spannungsabfall sollte an gemeinsamen Punkten null sein

Die Erkenntnis, dass die Spannung zwischen elektrisch gemeinsamen Punkten null ist, ist ein mächtiger Fehlersuch-Hinweis. Liefert eine Spannungsmessung zwischen zwei vermeintlich gemeinsamen Punkten einen nicht-null-Wert, kann man sofort einen offenen Kontakt oder einen Drahtfehler vermuten.

Null Spannung ist eine Idealisierung

In der Praxis haben alle Leiter einen endlichen Widerstand, außer Supraleitern. Daher gilt die „Null-Spannung“-Regel streng nur unter idealen Bedingungen. Echte Drähte zeigen einen sehr kleinen, aber messbaren Spannungsabfall proportional zum Strom und ihrem Widerstand. Dennoch ist die resultierende Abweichung für die meisten Niedrigleistungsschaltungen vernachlässigbar und die Idealannahmen bleiben gültig.

Zusammenfassung

• Sofern nicht anders angegeben, werden Drähte in der Schaltungsanalyse als widerstandslos behandelt.
• Drähte können verkürzt oder verlängert werden, ohne die Schaltungsleistung zu beeinflussen, solange die Bauteilreihenfolge erhalten bleibt.
• Punkte, die direkt durch widerstandslose Drähte verbunden sind, gelten als elektrisch gemeinsam.
• Spannung zwischen elektrisch gemeinsamen Punkten ist (idealerweise) null, unabhängig vom Strom.
• Spannungs- oder Widerstandsmessungen zwischen Mengen gemeinsamer Punkte sind identisch.
• Diese Regeln gelten unter Idealannahmen; in der Realität führt minimaler Drahtwiderstand nur zu Spuren von Spannungsabfällen.

Weiterführende Arbeitsblätter

• Einfache-Schaltungen-Arbeitsblatt
• Elementare-Schaltung-Arbeitsblatt
• Spannungsteiler-Schaltung-Arbeitsblatt