Superknoten-Analyse meistern: Schritt-für-Schritt-Tutorial mit gelöstem Beispiel

Superknoten-Analyse – Aussage, Formel und Schritt-für-Schritt gelöstes Beispiel

Was ist Superknoten-Analyse?

Heute beantworten wir die häufige Frage: Warum nutzen wir Superknoten-Schaltungsanalyse, obwohl wir die Schaltung durch einfache Knoten- oder Nodalanalyse vereinfachen können?

Im vorherigen Artikel haben wir besprochen, warum wir Supermaschen-Analyse statt einfacher Maschenanalyse verwenden. Wenn Sie diesen Punkt verstanden haben, ist dies der gleiche Fall. Falls nicht, erkläre ich es am folgenden Beispiel.

Betrachten Sie beide Schaltungen in Abb. 1. Fällt Ihnen ein Unterschied auf?

Der Unterschied: In Schaltung (b) befindet sich eine zusätzliche 22V-Spannungsquelle statt des 7Ω-Widerstands zwischen Knoten 2 und 3. Das ist der entscheidende Punkt.

Bei Knoten- oder Nodalanalyse wenden wir das KCL (Kirchhoffsches Stromgesetz) an jedem Nicht-Referenzknoten an – also einfaches KCL an drei Knoten in Abb. 1(a).

Wenden wir dasselbe (Nodalanalyse statt Superknotenanalyse) auf Abb. 1(b) an, stoßen wir an Knoten 1 und 2 auf Schwierigkeiten: Wir kennen den Strom im Zweig mit der Spannungsquelle nicht. Zudem gibt es keinen Weg, die Situation anzupassen – wir können den Strom nicht als Funktion der Spannung ausdrücken, da die Definition der Spannungsquelle besagt, dass die Spannung unabhängig vom Strom ist. Aufgrund dieser Schwierigkeiten nutzen wir Superknotenanalyse statt Nodalanalyse für Abb. 1(b).

Es gibt zwei Methoden, die Schaltung in Abb. 1(b) zu vereinfachen.

Die 1. (komplexere): Unbekannten Stromwert dem Zweig mit der Spannungsquelle zuordnen. Dann KCL dreimal an den 3 Knoten anwenden (eine KCL-Gleichung pro Knoten). Zum Schluss KVL (Kirchhoffsches Spannungsgesetz): v₃ – v₂ = 22V zwischen Knoten 2 und 3 anwenden. Resultat: vier Gleichungen für unbekannte Werte – etwas komplex.

Die 2. Methode ist einfacher: Superknotenanalyse. Hier fassen wir Knoten 2, Knoten 3 und die 22V-Spannungsquelle als eine Art Superknoten zusammen und wenden KCL auf beide Knoten (Knoten 2 und 3) gleichzeitig an.

Der Superknoten wird durch den von der gepunkteten Linie umschlossenen Bereich angezeigt. Dies ist möglich, weil: Wenn der Gesamtstrom, der Knoten 2 verlässt, null (0) ist und der Gesamtstrom, der Knoten 3 verlässt, null (0) ist, dann ist der Gesamtstrom, der die Kombination verlässt, ebenfalls null. Dieses Konzept zeigt Abb. 2(b) mit dem Superknoten (von der gestrichelten Linie umschlossener Bereich).

Nun lösen wir die folgende Schaltung schrittweise per Superknotenanalyse und fassen die gesamte Analyse zusammen.

• Verwandter Beitrag: SUPERMASCHEN-Analyse | Schritt für Schritt mit gelöstem Beispiel

Gelöstes Beispiel der Superknotenanalyse

Beispiel:

Nutzen Sie Superknotenanalyse, um die Spannung an jedem Stromquellenknoten zu finden, also v₁ & v₂ in Abb. 3(a)?

Lösung:

Zuerst zeichnen wir die Schaltung wie in Abb. 3(b) neu

Wir beginnen mit einer KCL-Gleichung für Knoten 1.

4 = 0 + 3v₁ + 3v₃ … → Gl. 1.

Betrachten wir nun den Superknoten (Kombination von Knoten 1 und 2). Zudem sind eine Stromquelle und drei Widerstände angeschlossen. Also:

KCL am Superknoten (Knoten 1 & 2) anwenden:

9 = 2v₂ + 6v₃ + 3v₃ – 3v₁ + 0.

9 = –3v₁ + 2v₂ + 9v₃ … → Gl. 2.

Da wir drei Unbekannte haben, benötigen wir eine weitere Gleichung. Offensichtlich nutzen wir die 5V-Spannungsquelle zwischen Knoten 2 und 3:

v₂ – v₃ = 5 … → Gl. 3.

Lösen der Gleichungen 1, 2 und 3 mit Cramerscher Regel, Eliminationsverfahren, Gauß-Elimination oder computergestütztem Programm wie MATLAB ergibt:

• v₃ = 0,575 V oder 375 mV.
• v₂ = 5,375 V.
• v₁ = 1,708 V.

Zusammenfassung der Superknotenanalyse (Schritt für Schritt)

1. Schaltung neu zeichnen falls möglich.
2. Anzahl der Knoten zählen in der Schaltung.
3. Referenzknoten festlegen. Dies kann der Knoten mit den meisten Zweigen sein – minimiert die Gleichungsanzahl.
4. Knotenspannungen beschriften. Es sind (N-1), wobei N = Anzahl der Knoten.
5. Superknoten bilden, falls die Schaltung Spannungsquellen enthält. Dies geschieht durch Einkreisen der Quellklemmen und der dazwischen liegenden Schaltungselemente mit gepunkteter Linie. Gezeigt in Abb. 2(b).
6. KCL (Kirchhoffsches Stromgesetz) Gleichung aufstellen für jeden Nicht-Referenzknoten sowie für jeden Superknoten, der nicht den Referenzknoten enthält. Auf der einen Seite: Ströme, die aus Stromquellen in den Superknoten/Knoten fließen, addieren. Auf der anderen Seite: Ströme, die aus dem Superknoten/Knoten durch Widerstände fließen, addieren. Das „–“-Vorzeichen bei KCL-Gleichungen und Lösung beachten.
7. Eine KCL-Gleichung pro definiertem Superknoten durch einfache KCL-Anwendung. Vereinfacht: Spannung über jeder Spannungsquelle auf Knotenspannungen beziehen.
8. Falls abhängige Quellen im Stromkreis auftreten: Zusätzliche unbekannte Werte und Größen (Ströme oder Spannungen außer Knotenspannungen) in geeignete Knotenspannungen ausdrücken.
9. Gleichungssystem ordnen und organisieren.
10. Zum Schluss: Gleichungssystem für die Knotenspannungen lösen (V₁, V₂, V₃ etc.). Es gibt (N-1, wobei „N“ = Anzahl der Knoten) davon. Bei Lösungsproblemen: oben gelöstes Beispiel beachten.

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