Substitutionssatz – Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelöstem Beispiel

Analysieren und Lösen elektrischer Schaltkreise mit dem Substitutionssatz

Substitutionssatz

Wie der Name schon sagt, wird ein Substitutionstheorem verwendet, um ein Element der Schaltung durch ein anderes Element zu ersetzen. Aber beim Ersetzen des Elements müssen Sie bedenken, dass sich das Verhalten der Schaltung nicht ändern sollte.

Der Substitutionssatz besagt, dass;

Dieses Theorem wird verwendet, um mehrere Theoreme zu beweisen. Um einen Zweig des Netzwerks zu ersetzen, sagt uns dieser Satz die Randbedingungen.

Wenn der Stromwert durch den Zweig fließt und der Spannungswert über dem Zweig bekannt ist, können wir diesen Zweig durch andere Elemente wie eine Spannungsquelle, Stromquelle usw. ersetzen Werte von Widerständen etc. dabei bleibt der Ausgangszustand unverändert.

Dieses Theorem kann nicht angewendet werden, wenn eine Schaltung mehr als zwei Quellen hat, die entweder in Reihe oder parallel geschaltet sind.

Verwandter Beitrag:Thevenin’s Theorem. Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelöstem Beispiel

Erklärung des Substitutionssatzes

Das Substitutionstheorem ist ein Ersatz für jeden Zweig eines Netzwerks durch einen äquivalenten Zweig mit anderen Elementen. Wenn in diesem Theorem ein Zweig oder Element durch eine Spannungs- und Stromquelle ersetzt wird, die mit dem ursprünglichen Netzwerk identisch ist, hat es die Spannung und den Strom dieses Zweigs.

Lassen Sie uns den Substitutionssatz mit einem Netzwerk verstehen, das in der folgenden Abbildung gezeigt wird.

Wie in der obigen Abbildung gezeigt, hat es zwei Widerstände, die mit einer Gleichstromquelle in Reihe geschaltet sind. Jetzt werden wir versuchen, jeden Zweig oder jedes Element durch andere Elemente zu ersetzen. Davor müssen wir die Spannung und den Strom kennen, die durch alle Zweige fließen.

Hier hat diese Schaltung nur eine Schleife. Daher fließt der Strom durch alle Zweige und Elemente gleich. Dieser Strom kann bestimmt werden, indem KVL auf das Netzwerk angewendet wird.

Nehmen wir an, I Strommenge, die durch die Schleife fließt.

+15 =5Ich + 10Ich

15 =15I

Ich =1A

Der Strom, der durch jedes Element fließt, beträgt also 1A. Jetzt müssen wir die Spannung über alle Elemente finden.

Ein Zweig hat eine Spannungsquelle. Wir finden also nicht die Spannung dieses Zweigs. Diese Spannung teilt sich in zwei Widerstände. Und wir müssen die Spannung über jedem Widerstand finden. Er kann durch Anwendung der Spannungsteilerregel ermittelt werden.

Also ist die Spannung über dem 5Ω-Widerstand;

In ähnlicher Weise ist die Spannung über dem 10-Ω-Widerstand;

Verwandter Beitrag:Theorem von Norton. Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelöstem Beispiel

Substitute-1

Wir können den 10-Ω-Widerstandszweig durch eine 10-V-Spannungsquelle ersetzen, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Wenden Sie jetzt KVL auf das Netzwerk an,

+15 – 10 =5Ich

5 =5Ich

Ich =1A

Der Schleifenstrom ist also derselbe wie in der ursprünglichen Schaltung. Berechnen Sie nun die Spannung über den Elementen. Der 10-Ω-Widerstandszweig wird durch eine 10-V-Quelle ersetzt. Daher beträgt die Spannung an diesem Zweig 10 V. Und diese Spannung ist die gleiche wie die Spannung dieses Zweigs in der ursprünglichen Schaltung.

Ermitteln Sie nun die Spannung über dem 5Ω-Widerstandszweig. Der Strom, der durch diesen Zweig fließt, beträgt 1A. Daher nach dem Ohmschen Gesetz;

V _5Ω =1A × 5 =5V

Der Strom fließt also durch alle Zweige und die Spannung an allen Zweigen ist dieselbe wie im ursprünglichen Netzwerk.

Substitute-2

Entfernen Sie den 5Ω-Widerstandszweig. Und ersetzen Sie diesen Zweig durch eine 5-V-Spannungsquelle. Das Schaltbild dieser Substitution ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Berechnen Sie nun Strom und Spannung aller Abzweigungen und vergleichen Sie diese mit dem Originalnetz.

Um den Strom zu finden, der durch die Schleife fließt, wenden Sie KVL an;

+15 – 5 =10I

10 =10Ich

Ich =1A

Daher ist der Schleifenstrom oder der Strom, der durch die Elemente fließt, derselbe wie der Strom, der durch das ursprüngliche Netzwerk fließt.

Der 5Ω-Widerstandszweig wird durch eine 5V-Spannungsquelle ersetzt. Daher ist die Spannung dieses Zweigs dieselbe wie die Spannung im ursprünglichen Netzwerk. Jetzt müssen wir die Spannung über dem 10-Ω-Widerstandszweig berechnen.

Der Strom, der durch den 10Ω-Widerstandszweig fließt, beträgt 1A. Nach dem Ohmschen Gesetz;

V _10Ω =IR

V _10Ω =1 × 10

V _10Ω =+10 V

Nach dem Ersetzen des 5Ω-Widerstands durch eine 5V-Spannungsquelle ändert sich also das Verhalten des Netzwerks nicht.

Verwandter Beitrag:Superpositionssatz – Schaltungsanalyse mit gelöstem Beispiel

Substitute-3

Entfernen Sie den 10Ω-Widerstandszweig und ersetzen Sie ihn durch eine Stromquelle von 1A. Der Schaltplan nach dem Austausch ist wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Es gibt eine Stromquelle in der Schaltung. Daher ist der durch die Schleife fließende Strom gleich dem Betrag der Stromquelle. In diesem Zustand ist eine 1-A-Stromquelle mit dem Netzwerk verbunden. Daher beträgt der Strom, der durch die Schleife fließt, 1A, was dem Strom entspricht, der durch das ursprüngliche Netzwerk fließt.

Berechnen Sie nun die Spannung über dem 5Ω-Widerstand und der 1A-Stromquelle.

Nach dem Ohmschen Gesetz

V _5Ω =IR

V _5Ω =1 × 5

V _5Ω =+5 V

Finden Sie nun die Spannung über der 1A-Stromquelle. Nehmen wir an, die Spannung an einer Stromquelle von 1 A beträgt V.

Aus obiger Abbildung;

+15 – 5 – V =0

V =+10 V

Es ist also bewiesen, dass die Spannung über und der Strom durch alle Elemente gleich sind wie im ursprünglichen Netzwerk, nachdem der 10-Ω-Widerstand durch eine 1-A-Stromquelle ersetzt wurde.

Verwandter Beitrag:Theorem von Millman – Analysieren von AC- und DC-Schaltungen – Beispiele

Substitution-4

Entfernen Sie den 10-Ω-Widerstandszweig und ersetzen Sie ihn durch einen 5-Ω-Widerstand, der in Reihe mit einer 5-V-Spannungsquelle geschaltet ist. Der Schaltplan dieses Ersatzes ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Nun müssen wir die aktuellen Durchgänge durch die Schleife finden. Wenden Sie also KVL auf das obige Netzwerk an.

15 – 5 =5Ich + 5Ich

10 =10Ich

Ich =1A

Also sind die Stromdurchgänge durch das Element dieselben wie im ursprünglichen Netzwerk. Ermitteln Sie nun die Spannung an allen Elementen.

Um die Spannung über dem 5Ω-Widerstand zu finden; wir verwenden das Ohmsche Gesetz.

V _5Ω =IR

V _5Ω =1 × 5

V _5Ω =5 V

Nun finden wir die Spannung zwischen den Punkten A und B.

Aus der obigen Abbildung ergibt sich, dass der Strom, der durch den 5Ω-Widerstand fließt, 1A beträgt. Die Spannung an diesem Element beträgt also 5 V. Und die Gesamtspannung zwischen Punkt A und B ist

V _AB =5 + V _5Ω

V _AB =5 + 5

V _AB =+10V

Daher bleibt nach dem Austausch des 10-Ω-Widerstandszweigs durch einen 5-Ω-Widerstand und eine 5-V-Spannungsquelle das Verhalten des Netzwerks gleich.

Wir können also sagen, dass es mehrere Methoden gibt, um die Substitution des Elements eines beliebigen Netzwerks zu finden, ohne die Spannung und den Strom des Elements zu ändern und ohne das Verhalten des Elements zu ändern Netzwerk.

Verwandter Beitrag:Theorem von Tellegen – Gelöste Beispiele und MATLAB-Simulation

Schritte zur Lösung des Netzwerks mithilfe des Substitutionstheorems

Schritt-1 Finden Sie die Spannung und den Strom aller Elemente des Netzwerks. Im Allgemeinen können Spannung und Strom durch einfache Anwendung von KCL, KVL oder dem Ohmschen Gesetz berechnet werden.

Schritt-2 Suchen Sie den betroffenen Zweig, den Sie durch ein anderes Element wie Stromquelle, Spannungsquelle oder Widerstand entfernen möchten.

Schritt-3 Finden Sie den entsprechenden Wert des ersetzten Elements, vorausgesetzt, dass sich Spannung und Strom nicht ändern dürfen.

Schritt-4 Überprüfen Sie die neue Schaltung, indem Sie die Spannung und den Strom aller Elemente berechnen. Und vergleichen Sie es mit dem ursprünglichen Netzwerk.

Hier dreht sich alles um den Substitutionssatz. Nehmen wir nun ein Beispiel.

Verwandter Beitrag: Theorem der maximalen Leistungsübertragung für AC- und DC-Schaltungen

Beispiel und Lösung des Substitutionssatzes

Lösen Sie das folgende Netzwerk mit dem Substitutionstheorem, um den Strom und die Spannung in allen Widerständen zu berechnen.

Schritt-1 Finden Sie die Spannung und den Strom aller Elemente. Dafür wenden wir in diesem Beispiel eine KVL auf das Netzwerk an.

KVL bei loop-1 anwenden;

14 =6I ₁ – 4ich ₂ … (1)

KVL bei loop-2 anwenden;

0 =12I ₂ – 4ich ₁

12Ich ₂ =4ich ₁

Ich ₁ =3Ich ₂ … (2)

Setzen Sie diesen Wert in die Gleichung-1;

14 =6(3I ₂ ) – 4Ich ₂

14 =18Ich ₂ – 4ich ₂

14 =14Ich ₂

Ich ₂ =1A

Aus Gleichung-2;

Ich ₁ =3A

Schritt-2 Jetzt werden wir die Zweige von Schleife-1 entfernen und eine einzelne Schleife erstellen.

Schritt-3 Wir können anstelle des 4Ω-Widerstands eine Spannungsquelle oder Stromquelle einsetzen. Hier werden wir eine Stromquelle einfügen.

Der Strom, der durch Loop-2 fließt, beträgt 1A. Daher ersetzen wir den Abzweig durch eine 1A Stromquelle. Die verbleibende Schaltung ist also wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Schritt-4 Lassen Sie uns die Spannung und den Strom aller Elemente überprüfen.

Dieses Netzwerk hat eine einzelne Schleife. Und diese Schleife hat eine Stromquelle. Der Wert des Stroms, der durch die Schleife fließt, ist also derselbe wie der Wert der Stromquelle.

Hier ist der Wert der aktuellen Quelle 1A. Daher fließt der Strom durch den 3Ω- und 5Ω-Widerstandszweig und beträgt 1A, was dem ursprünglichen Netzwerk entspricht.

Ermitteln Sie nun die Spannung über dem 3Ω-Widerstand mithilfe des Ohmschen Gesetzes;

V _3Ω =IR

V _3Ω =1 x 3

V _3Ω =3V

Ermitteln Sie nun die Spannung über dem 5Ω-Widerstand mithilfe des Ohmschen Gesetzes;

V _5Ω =IR

V _5Ω =1 x 5

V _5Ω = 5V

Also sind Spannung und Strom die gleichen wie im ursprünglichen Netzwerk. So funktioniert der Substitutionssatz.

Anstelle der Stromquelle, wenn wir in Schritt-3 die Spannungsquelle wählen. In diesem Zustand ist der Wert der Spannungsquelle ähnlich dem Wert des 4Ω-Widerstandszweigs.

Im ursprünglichen Netzwerk fließt der Strom durch den 4Ω-Widerstandszweig;

Ich ₁ – ich ₂ =3 – 1 =2A

Nach dem Ohmschen Gesetz;

V _4Ω =2 x 4 =8V

Also müssen wir die 8-V-Spannungsquelle mit dem Netzwerk verbinden und die verbleibende Schaltung ist wie in der folgenden Abbildung gezeigt.