Substitutions-Theorem in der Netzwerkanalyse: Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Beispiel

Elektrische Schaltungen analysieren & lösen mit dem Substitutions-Theorem

Substitutions-Theorem

Wie der Name andeutet, erlaubt das Substitutions-Theorem den Austausch eines Schaltungselements durch ein anderes, ohne das Verhalten der Schaltung (Spannungen und Ströme in allen Zweigen) zu verändern.

Satz: Kennt man den Strom durch einen Zweig und die Spannung an diesem Zweig, kann man diesen Zweig durch jede beliebige Kombination von Elementen (Spannungsquelle, Stromquelle, Widerstand o. Ä.) ersetzen, die exakt dieselben Zweigspannung und -strom erzwingt. Die Randbedingungen des restlichen Netzwerks bleiben unverändert.

Einschränkung: Nicht anwendbar, wenn ein Schaltkreis mehr als zwei Quellen enthält, die entweder in Reihe oder parallel geschaltet sind.

Erklärung am Beispiel

Gegeben: 15-V-Quelle, zwei Widerstände 5 Ω und 10 Ω in Reihe.

Originalanalyse:

Einziger Maschenstrom: 15 = 5I + 10I → I = 1 A (durch alle Elemente).

Spannungsteiler: U_5Ω = 15 × 5/15 = 5 V; U_10Ω = 15 × 10/15 = 10 V.

Substitution 1: 10 Ω → 10-V-Spannungsquelle

KVL: 15 – 10 = 5I → I = 1 A ✓

Spannung am Ersatzzweig: 10 V (fix durch Quelle) ✓

U_5Ω = 1 A × 5 Ω = 5 V ✓

Substitution 2: 5 Ω → 5-V-Spannungsquelle

KVL: 15 – 5 = 10I → I = 1 A ✓

U_10Ω = 1 A × 10 Ω = 10 V ✓

Substitution 3: 10 Ω → 1-A-Stromquelle

Stromquelle erzwingt Maschenstrom 1 A ✓

U_5Ω = 1 A × 5 Ω = 5 V ✓

Spannung an Stromquelle: KVL: 15 – 5 – U_Quelle = 0 → U_Quelle = 10 V ✓

Substitution 4: 10 Ω → 5 Ω + 5 V in Reihe

KVL: 15 – 5 = 5I + 5I → 10 = 10I → I = 1 A ✓

U_{5Ω (original)} = 5 V ✓

Spannung am Ersatzzweig (5 Ω + 5 V): U = 5 V (am 5 Ω) + 5 V (Quelle) = 10 V ✓

Alle Substitutionen lassen Ströme und Spannungen im gesamten Netzwerk unverändert.

Vorgehen zur Netzwerklösung mit Substitutions-Theorem

1. Schritt 1: Alle Zweigströme und -spannungen bestimmen (KCL, KVL, Ohmsches Gesetz).
2. Schritt 2: Den zu ersetzenden Zweig identifizieren.
3. Schritt 3: Ersatzelement wählen (Spannungsquelle = Zweigspannung; Stromquelle = Zweigstrom; Widerstand + Quelle etc.), sodass U_Zweig und I_Zweig erhalten bleiben.
4. Schritt 4: Neues Netzwerk prüfen: Alle Ströme/Spannungen berechnen und mit Original vergleichen.

Beispiel & Lösung

Aufgabe: Gegebene Zwei-Maschen-Schaltung (14 V, 6 Ω, 4 Ω, 3 Ω, 5 Ω) per Substitutions-Theorem lösen: Ströme und Spannungen in allen Widerständen bestimmen.

Schritt 1 – Originalanalyse (KVL):

Masche 1: 14 = 6I₁ – 4I₂

Masche 2: 0 = 12I₂ – 4I₁ → I₁ = 3I₂

Einsetzen: 14 = 18I₂ – 4I₂ = 14I₂ → I₂ = 1 A, I₁ = 3 A

Strom durch 4 Ω (gemeinsamer Zweig): I₁ – I₂ = 2 A (Richtung I₁).

Spannungen: U_3Ω = I₂×3 = 3 V; U_5Ω = I₂×5 = 5 V; U_4Ω = 2×4 = 8 V; U_6Ω = 3×6 = 18 V.

Schritt 2 & 3 – Substitution: Masche 1 entfernen, 4-Ω-Zweig durch 1-A-Stromquelle ersetzen (da I₂ = 1 A). Verbleibende Masche: 3 Ω, 5 Ω, 1 A.

Schritt 4 – Verifikation:

Stromquelle erzwingt 1 A in Masche 2 → I₃Ω = 1 A, I₅Ω = 1 A ✓

U_3Ω = 3 V, U_5Ω = 5 V ✓

Alternative: 4-Ω-Zweig durch 8-V-Spannungsquelle ersetzen (U_4Ω = 8 V). KVL: 8 = 3I + 5I → I = 1 A ✓. Spannungen unverändert ✓

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