Supermaschen-Analyse meistern: Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Beispiel

Supermaschen Analyse – Aussage, Formel, gelöste Beispiele

Was ist Supermaschen-Analyse?

Supermaschen- oder Supermesh-Analyse ist eine bessere Technik als Maschenanalyse, um komplexe elektrische Schaltungen oder Netze zu analysieren, bei denen zwei Maschen eine Stromquelle als gemeinsames Element haben. Dies entspricht dem Fall, wo wir Superknotenanalyse statt Knoten-/Nodalanalyse nutzen, um ein Netzwerk zu vereinfachen, in dem der zugewiesene Superknoten die Spannungsquelle vollständig umschließt und die Anzahl der Nicht-Referenzknoten um eins (1) pro Spannungsquelle reduziert.

Bei der Supermaschenanalyse liegt die Stromquelle im inneren Bereich der Supermasche. Daher können wir die Anzahl der Maschen um eins (1) pro vorhandener Stromquelle reduzieren.

Eine einzelne Masche kann ignoriert werden, wenn die Stromquelle (in dieser Masche) am Rand des Stromkreises liegt. Alternativ wird KVL (Kirchhoffsches Spannungsgesetz) nur auf jene Maschen oder Supermaschen im erneuerten Stromkreis angewendet.

Theoretisch schwer verständlich – daher lösen wir zuerst eine einfache Schaltung per Supermaschenanalyse und fassen dann die gesamte Analyse schrittweise zusammen.

• Verwandter Beitrag: SUPERKNOTEN-Analyse | Schritt für Schritt mit gelöstem Beispiel

Gelöstes Beispiel der Supermaschenanalyse

Beispiel:

Maschenanalyse nutzen, um V₃ und Ströme i₁, i₂ und i₃ in der folgenden Abbildung zu finden?

Lösung:

KVL an Masche 1 anwenden:

80 = 10i₁ + 20(i₁ – i₂) + 30 (i₁ – i₃)

Vereinfacht:

80 = 10i₁ + 20i₁ – 20i₂ + 30i₁ – 30i₃

80 = 60i₁ – 20i₂ – 30i₃ ….. → Gl. 1.

Nun KVL auf Supermasche anwenden (Integration von Masche 2 und Masche 3, reduziert um eine Masche = Supermasche):

30 = 40i₃ + 30(i₃ – i₁) + 20(i₂ – i₁)

30 = 40i₃ + 30i₃ – 30i₁ + 20i₂ – 20i₁

30 = 70i₃ – 50i₁ + 20i₂ ….. → Gl. 2.

Wir haben drei Variablen (i₁, i₂, i₃) aber nur zwei Gleichungen. Eine dritte wird benötigt.

Die unabhängige Stromquelle (in der Supermasche) hängt mit den angenommenen Maschenströmen zusammen:

15ix = i₃ – i₂

i₃ = 15ix + i₂ ….. → Gl. 3.

Lösen der Gleichungen 1, 2 und 3 mit Cramerscher Regel, Eliminationsverfahren, Gauß-Elimination oder computergestütztem Programm wie MATLAB ergibt:

i₁ = 0,583 A

i₂ = -6,15 A

i₃ = 2,6 A

Zusätzlich können wir V₃ bestimmen:

V₃ = i₃ × R₃

Werte einsetzen:

V₃ = 2,6 A × 40 Ω

V₃ = 104 V.

Zusammenfassung der Supermaschenanalyse (Schritt für Schritt)

1. Prüfen, ob die Schaltung planar ist. Ja → Supermasche anwenden. Nein → Nodalanalyse durchführen.
2. Schaltung neu zeichnen falls nötig und Maschen zählen.
3. Jeden Maschenstrom beschriften. Faustregel: Alle Maschenströme im Uhrzeigersinn definieren → einfachere Analyse.
4. Supermasche bilden, falls Stromquellen von zwei Maschen gemeinsam genutzt werden. Die Supermasche umschließt beide Maschen.
5. KVL (Kirchhoffsches Spannungsgesetz) um jede Masche und Supermasche schreiben. Mit einer einfachen, passenden Masche beginnen. In Richtung des Maschenstroms vorgehen. „–“-Vorzeichen bei KVL-Gleichungen und Lösung beachten. Keine KVL-Gleichung nötig, wenn Stromquelle am Rand einer Masche liegt – Maschenstrom wird durch Betrachtung bestimmt.
6. Eine KCL (Kirchhoffsches Stromgesetz) pro definierter Supermasche durch einfache KCL-Anwendung. Vereinfacht: Strom aus jeder Stromquelle auf Maschenströme beziehen.
7. Zusätzlicher Fall bei abhängigen Quellen: Zusätzliche unbekannte Werte (Ströme/Spannungen außer Maschenströmen) in geeignete Maschenströme ausdrücken.
8. Gleichungssystem ordnen und organisieren.
9. Zum Schluss: Gleichungssystem für die Maschenströme lösen. Es gibt so viele Lösungen wie Maschen. Bei Schwierigkeiten: obiges Beispiel beachten.

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