MATLAB-Leitfaden:Effiziente Berechnung von Polynomableitungen

In der Mathematik stellt eine Ableitung die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf eine Variable dar. Einfach ausgedrückt sagt es uns, wie sich eine Funktion an einem bestimmten Punkt ändert. Ableitungen sind in der Analysis von grundlegender Bedeutung und werden in Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaft häufig zur Modellierung von Veränderungen und Bewegungen eingesetzt.

Wenn Sie beispielsweise eine Funktion haben, die die Position eines Autos über die Zeit beschreibt, würde die Ableitung dieser Funktion Ihnen die Geschwindigkeit des Autos (Rate der Positionsänderung) liefern.

Ableitungen von Polynomen

Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Variablen mit unterschiedlichen Potenzen und Koeffizienten besteht. Beispielsweise ist das Polynom P(x) =3x2 + 2x + 5 ein Polynom zweiten Grades.

Die Ableitung einer Polynomfunktion wird durch Anwendung einer einfachen Regel ermittelt:Multiplizieren Sie für jeden Term den Koeffizienten mit dem Exponenten und reduzieren Sie dann den Exponenten um 1. Dieser Vorgang wird für jeden Term im Polynom wiederholt.

Betrachten Sie zum Beispiel das Polynom:

P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1

Die Ableitung P(x) wird als −

berechnet

• Für den Term 3x3:Multiplizieren Sie 3 mit 3 (dem Exponenten), was 9x2 ergibt.
• Für den Begriff 4x2:Multiplizieren Sie 4 mit 2, was 8x ergibt.
• Für den Begriff 2x:Multiplizieren Sie 2 mit 1, was 2 ergibt.
• Der konstante Term (1) hat eine Ableitung von 0.

Die Ableitung ist also −

P(x) = 9x2 + 8x + 2

Derivate in MATLAB

MATLAB erleichtert die Berechnung von Ableitungen von Polynomen mithilfe integrierter Funktionen. Ein Polynom wird in MATLAB durch einen Vektor dargestellt, der seine Koeffizienten enthält, geordnet nach absteigenden Potenzen der Variablen.

Um die Ableitung eines Polynoms zu finden, stellt MATLAB die Polyder-Funktion zur Verfügung.

Syntax

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(a,b)

Syntaxerklärung

k =polyder(p) berechnet die Ableitung eines durch die Koeffizienten in p gegebenen Polynoms, was zu einem neuen Polynom k(x) führt, das die Ableitung d/dx p(x) darstellt.

k =polyder(a,b) berechnet die Ableitung des Produkts zweier Polynome a und b, was zu einem neuen Polynom k(x) führt, das darstellt.

$$\mathrm{\frac{d}{dx}[a(x) \:\cdot \:b(x)]}$$

[q, d] =polyder(a, b) berechnet die Ableitung des Quotienten zweier Polynome a und b und gibt zwei Polynome zurück:q(x) (der Zähler) und d(x) (der Nenner), die die Ableitung von a(x)/b(x) darstellen.

Beispiel 1:Berechnung der Ableitung mit polyder(p)

Stellen Sie sich vor, wir haben ein Polynom

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

Dieses Polynom kann durch den Vektor seiner Koeffizienten in MATLAB −

dargestellt werden

p = [4 3 2 1];

Um die Ableitung dieses Polynoms zu berechnen, verwenden wir die Polyderfunktion in MATLAB −

k = polyder(p);

Bei der Ausführung des Codes im Matlab-Befehlsfenster lautet die Ausgabe.

>> p = [4 3 2 1];
k = polyder(p)
k =
 12 6 2
>>

Für den Term 4x3 ist die Ableitung 12x2 (multiplizieren Sie den Koeffizienten 4 mit dem Exponenten 3 und reduzieren Sie den Exponenten um 1).

Für den Term 3x2 beträgt die Ableitung 6x.

Für den Term 2x ist die Ableitung 2.

Für den konstanten Term 1 gibt es eine Ableitung von 0.

Somit ist das Ableitungspolynom:

k(x) = 12x2 + 6x + 2

In Matlab lautet das Ergebnis von k:[12 6 2]

Beispiel 2:Ein weiteres Beispiel zum Finden von Ableitungen eines Polynoms

Betrachten Sie das folgende Polynom

p(x) = 5x4 + 2x3 + 7x2 - 3x + 8 

Dieses Polynom kann durch den Vektor seiner Koeffizienten in MATLAB −

dargestellt werden

p = [5 -2 7 -3 8]

Um die Ableitung dieses Polynoms zu finden, verwenden wir die Polyder-Funktion in Matlab.

k = polyder(p)

Dieser Befehl gibt die Koeffizienten der Ableitung des Polynoms p zurück.

Wenn Sie den Code im Matlab-Befehlsfenster ausführen, lautet die Ausgabe:

>> p = [5 -2 7 -3 8];
k = polyder(p)
k =
 20 -6 14 -3
>> 

Der Vektor k =[20 -6 14 -3] stellt das Polynom

dar

k(x) = 20x3 - 6x2 + 14x - 3

Beispiel 3:Ableitung des Produkts zweier Polynome unter Verwendung von polyder(a, b)

Betrachten wir zwei Polynome

a(x) = 2x2 + 3x + 1
b(x) = 4x + 5

Diese Polynome können in MATLAB durch Vektoren ihrer Koeffizienten dargestellt werden:

a = [2 3 1]
b = [4 5] 

Um die Ableitung des Produkts dieser beiden Polynome zu berechnen, verwenden wir die Polyder-Funktion mit zwei Eingabeargumenten.

k = polyder(a, b);

Dadurch werden die Koeffizienten der Ableitung des Produkts von a(x) und b(x) zurückgegeben.

Wenn Sie den Code im Matlab-Befehlsfenster ausführen, erhalten wir folgende Ausgabe:

>> a = [2 3 1];
b = [4 5]; 
k = polyder(a, b)
k =
 24 44 19
>>

Das Ableitungspolynom lautet also:k(x) =24x2 + 44x + 19

Beispiel 4:Ableitung zweier gegebener Polynome

Betrachten Sie zwei verschiedene Polynome.

a(x) = 3x3 + 2x2 + x + 4
b(x) = x2 - 5x + 6

Diese Polynome können in MATLAB durch die folgenden Koeffizientenvektoren dargestellt werden.

a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];

Um die Ableitung des Produkts dieser beiden Polynome zu berechnen, verwenden wir die Polyderfunktion mit den Vektoren a und b als Eingaben

k = polyder(a, b);

Dieser Befehl gibt die Koeffizienten der Ableitung des Produkts von a(x) und b(x) zurück.

Wenn der Code im Matlab-Befehlsfenster ausgeführt wird, lautet die Ausgabe:

>> a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];
k = polyder(a, b)
k =
 15 -52 27 22 -14
>> 

Das Ableitungspolynom ist also −

k(x) = 15x4 - 52x3 + 27x2 + 22x - 14

Beispiel 5:Ableitung des Quotienten zweier Polynome unter Verwendung von [q, d] =polyder(a, b)

Betrachten wir zwei Polynome −

a(x) = 4x2 + 3x + 2
b(x) = x2 - 2x + 1

Diese Polynome können in Matlab durch Vektoren ihrer Koeffizienten dargestellt werden.

a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];

Um die Ableitung des Quotienten a(x) / b(x) zu berechnen, verwenden wir die Polyderfunktion mit zwei Ausgabeargumenten q und d.

[q,d] = polyder(a,b)

Dadurch werden zwei Polynome zurückgegeben:q(x) (der Zähler) und d(x) (der Nenner) der Ableitung von a(x) / b(x).

Wenn der Code im Matlab-Befehlsfenster ausgeführt wird, lautet die Ausgabe:

>> a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];
[q,d] = polyder(a,b)
q =
 -11 4 7
d =
 1 -4 6 -4 1
>>