MATLAB: Polynomableitungen effizient berechnen

In der Mathematik stellt eine Ableitung die Änderungsrate einer Funktion bezüglich einer Variablen dar. Einfach ausgedrückt: Sie sagt uns, wie sich eine Funktion an einem gegebenen Punkt ändert. Ableitungen sind fundamental in der Analysis und werden in Physik, Ingenieurwesen und Ökonomie verwendet, um Veränderung und Bewegung zu modellieren.

Beispiel: Eine Funktion beschreibt die Position eines Autos über die Zeit. Die Ableitung dieser Funktion gibt die Geschwindigkeit des Autos an (Änderungsrate der Position).

Ableitungen von Polynomen

Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck aus Variablen mit verschiedenen Potenzen, kombiniert mit Koeffizienten. Beispiel: P(x) = 3x² + 2x + 5 ist ein Polynom zweiten Grades.

Die Ableitung einer Polynomfunktion findet man durch eine einfache Regel: Für jeden Term den Koeffizienten mit dem Exponenten multiplizieren und den Exponenten um 1 verringern. Dies wird für jeden Term wiederholt.

Beispiel: P(x) = 3x³ + 4x² + 2x + 1

Ableitung P'(x) berechnet sich als:

• Term 3x³: 3 × 3 = 9x²
• Term 4x²: 4 × 2 = 8x
• Term 2x: 2 × 1 = 2
• Konstanter Term (1): Ableitung = 0

Ergebnis: P'(x) = 9x² + 8x + 2

Ableitungen in MATLAB

MATLAB erleichtert die Berechnung von Polynomableitungen mit eingebauten Funktionen. Ein Polynom wird in MATLAB durch einen Vektor seiner Koeffizienten dargestellt, geordnet nach absteigenden Potenzen.

Für die Ableitung stellt MATLAB die Funktion polyder bereit.

Syntax

 k = polyder(p) k = polyder(a, b) [q, d] = polyder(a, b) 

Syntax-Erklärung

• k = polyder(p) – Berechnet die Ableitung des Polynoms mit Koeffizienten in p, Ergebnis: neues Polynom k(x) = d/dx p(x).
• k = polyder(a, b) – Berechnet die Ableitung des Produkts zweier Polynome a und b: d/dx [a(x)·b(x)].
• [q, d] = polyder(a, b) – Berechnet die Ableitung des Quotienten a(x)/b(x), gibt Zähler q(x) und Nenner d(x) zurück.

Beispiel 1: Ableitung mit polyder(p)

Polynom: P(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1

Koeffizientenvektor in MATLAB: p = [4 3 2 1];

 k = polyder(p); 

MATLAB-Ausgabe:

 >> p = [4 3 2 1]; k = polyder(p) k = 12 6 2 >> 

Erklärung: 4x³ → 12x², 3x² → 6x, 2x → 2, Konstante 1 → 0. Ableitung: k(x) = 12x² + 6x + 2. In MATLAB: k = [12 6 2].

Beispiel 2: Weitere Polynomableitung

Polynom: p(x) = 5x⁴ - 2x³ + 7x² - 3x + 8

Vektor: p = [5 -2 7 -3 8]

 k = polyder(p) 

Ausgabe:

 >> p = [5 -2 7 -3 8]; k = polyder(p) k = 20 -6 14 -3 >> 

Vektor k = [20 -6 14 -3] repräsentiert: k(x) = 20x³ - 6x² + 14x - 3

Beispiel 3: Ableitung des Produkts zweier Polynome – polyder(a, b)

a(x) = 2x² + 3x + 1, b(x) = 4x + 5

Vektoren: a = [2 3 1], b = [4 5]

 k = polyder(a, b); 

Ausgabe:

 >> a = [2 3 1]; b = [4 5]; k = polyder(a, b) k = 24 44 19 >> 

Ableitung: k(x) = 24x² + 44x + 19

Beispiel 4: Ableitung zweier weiterer Polynome

a(x) = 3x³ + 2x² + x + 4, b(x) = x² - 5x + 6

Vektoren: a = [3 2 1 4], b = [1 -5 6]

 k = polyder(a, b); 

Ausgabe:

 >> a = [3 2 1 4]; b = [1 -5 6]; k = polyder(a, b) k = 15 -52 27 22 -14 >> 

Ableitung: k(x) = 15x⁴ - 52x³ + 27x² + 22x - 14

Beispiel 5: Ableitung des Quotienten – [q, d] = polyder(a, b)

a(x) = 4x² + 3x + 2, b(x) = x² - 2x + 1

Vektoren: a = [4 3 2], b = [1 -2 1]

 [q, d] = polyder(a, b) 

Ausgabe:

 >> a = [4 3 2]; b = [1 -2 1]; [q, d] = polyder(a, b) q = -11 4 7 d = 1 -4 6 -4 1 >>