Eigenwerte und Eigenvektoren in MATLAB beherrschen:Ein praktischer Leitfaden

Eigenwerte und Eigenvektoren sind grundlegende Konzepte der linearen Algebra, die in verschiedenen Bereichen, einschließlich Physik, Ingenieurwesen und Datenanalyse, weit verbreitet sind. In MATLAB können diese Konzepte einfach untersucht und berechnet werden.

Was sind EigenValues?

Ein Eigenwert ist ein Skalar, der als (Lambda) bezeichnet wird und einer linearen Transformation eines Vektorraums zugeordnet ist. Es stellt den Faktor dar, um den der entsprechende Eigenvektor während der Transformation skaliert wird.

Was sind EigenVectors?

Ein Eigenvektor ist ein Vektor ungleich Null, der sich nur um einen Skalarfaktor ändert, wenn eine lineare Transformation auf ihn angewendet wird. Mit anderen Worten:Wenn A eine Matrix ist, ist v ein Eigenvektor von A, der dem Eigenwert if −

entspricht

Av=v

Hier ist A eine quadratische Matrix, v ist der Eigenvektor und der Eigenwert.

MATLAB-Funktionen

MATLAB bietet integrierte Funktionen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.

Verwenden von eig

Diese Funktion berechnet die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix.

Syntax

e = eig(A)
[V,D] = eig(A)
[V,D,W] = eig(A)
e = eig(A,B)
[V,D] = eig(A,B)
[V,D,W] = eig(A,B)
[___] = eig(A,balanceOption)
[___] = eig(A,B,algorithm)
[___] = eig(___,outputForm)

Erklärung der Syntax

e =eig(A) gibt einen Spaltenvektor mit den Eigenwerten der quadratischen Matrix A zurück.

[V,D] =eig(A) gibt eine Diagonalmatrix D mit den Eigenwerten von A und eine Matrix V zurück, deren Spalten die entsprechenden Eigenvektoren sind. Das bedeutet, dass die Multiplikation von A mit V dasselbe ist wie die Multiplikation von V mit D.

[V,D,W] =eig(A) gibt auch eine vollständige Matrix W zurück, deren Spalten die entsprechenden linken Eigenvektoren sind. Dies bedeutet, dass die Multiplikation der Transponierten von W mit A dasselbe ist wie die Multiplikation von D mit der Transponierten von W.

Beim Eigenwertproblem geht es darum, Lösungen für die Gleichung Av =v zu finden, wobei A eine quadratische Matrix, v ein Spaltenvektor und ein Skalar ist. Die Werte, die diese Gleichung erfüllen, sind die Eigenwerte, und die v-Werte, die diese Gleichung erfüllen, sind die rechten Eigenvektoren. Die linken Eigenvektoren w erfüllen die Gleichung w'A =w'.

e =eig(A,B) gibt einen Spaltenvektor mit den verallgemeinerten Eigenwerten der quadratischen Matrizen A und B zurück.

[V,D] =eig(A,B) gibt eine Diagonalmatrix D mit den verallgemeinerten Eigenwerten und eine vollständige Matrix V zurück, deren Spalten die entsprechenden rechten Eigenvektoren sind. Das bedeutet, dass die Multiplikation von A mit V dasselbe ist wie die Multiplikation von B, V und D miteinander.

[V,D,W] =eig(A,B) gibt auch eine vollständige Matrix W zurück, deren Spalten die entsprechenden linken Eigenvektoren sind. Das bedeutet, dass die Multiplikation der Transponierten von W mit A dasselbe ist wie die Multiplikation von D, der Transponierten von W und B.

Beim verallgemeinerten Eigenwertproblem geht es darum, Lösungen für die Gleichung Av =Bv zu finden, wobei A und B quadratische Matrizen sind, v ein Spaltenvektor und ein Skalar ist. Die Werte, die diese Gleichung erfüllen, sind die verallgemeinerten Eigenwerte, und die v-Werte sind die entsprechenden rechten Eigenvektoren. Die linken Eigenvektoren w erfüllen die Gleichung w'A =w'B.

[___] =eig(A, balanceOption), wobei balanceOption „nobalance“ ist, schaltet den vorläufigen Ausgleichsschritt im Algorithmus aus. Standardmäßig ist balanceOption „balance“, wodurch der Ausgleich aktiviert wird. Die eig-Funktion kann jedes der in den vorherigen Beispielen erwähnten Ausgabeargumente zurückgeben.

[___] =eig(A,B,algorithm), wobei der Algorithmus „chol“ ist, verwendet die Cholesky-Faktorisierung von B, um die verallgemeinerten Eigenwerte zu berechnen. Der Standardalgorithmus hängt von den Eigenschaften von A und B ab, ist jedoch „qz“ (QZ-Algorithmus), wenn A oder B nicht symmetrisch sind.

[___] =eig(___,outputForm) gibt die Eigenwerte in dem von „outputForm“ angegebenen Format unter Verwendung eines der zuvor genannten Eingabe- oder Ausgabeargumente zurück. Setzen Sie „outputForm“ auf „vector“, um die Eigenwerte in einem Spaltenvektor zu erhalten, oder auf „matrix“, um sie in einer Diagonalmatrix zu erhalten.

Beispiele für die Matlab-Funktion eig()

Hier sind einige Beispiele, um die Verwendung zu veranschaulichen −

Beispiel 1:Eigenwerte mit e =eig(A) berechnen

In MATLAB können Sie die Eigenwerte der Matrix A mithilfe der Funktion eig ermitteln. Betrachten Sie den folgenden Code:-

% Define the matrix A
A = [1, 2, 3;
 4, 5, 6;
 7, 8, 9];
% Compute the eigenvalues
e = eig(A)

Im obigen Beispiel −

• Die Matrix A ist als 3x3-Matrix mit den gezeigten Einträgen definiert.
• Die Funktion eig(A) berechnet die Eigenwerte der Matrix A.
• Das Ergebnis von eig(A) wird in der Variablen e gespeichert, die ein Spaltenvektor ist, der die Eigenwerte von A enthält.

Wenn der Code berechnet wird, erhalten wir folgende Ausgabe:−

>> % Define the matrix A
A = [1, 2, 3;
 4, 5, 6;
 7, 8, 9];
% Compute the eigenvalues
e = eig(A)
e =
 16.1168
 -1.1168
 -0.0000

Beispiel 2:So erhalten Sie Eigenwerte und Eigenvektoren mit [V,D] =eig(A)

In MATLAB können Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A mithilfe der Funktion eig finden.

Betrachten Sie den folgenden Code:-

% Define the matrix A
A = [2, -1;
 4, 3];
% Compute the eigenvalues and eigenvectors
[V, D] = eig(A);
% Display the eigenvalues
disp('Eigenvalues:');
disp(D);
% Display the eigenvectors
disp('Eigenvectors:');
disp(V);

Im obigen Code haben wir −

• Die Matrix A ist als 2x2-Matrix mit den gezeigten Einträgen definiert.
• Die Funktion [V, D] =eig(A) berechnet sowohl die Eigenwerte (D) als auch die entsprechenden Eigenvektoren (V) der Matrix A.
• D ist eine Diagonalmatrix, die die Eigenwerte von A enthält.
• V ist eine Matrix, deren Spalten die entsprechenden Eigenvektoren sind.

Wenn der Code ausgeführt wird, erhalten wir folgende Ausgabe:−

>> % Define the matrix A
A = [2, -1;
 4, 3];
% Compute the eigenvalues and eigenvectors
[V, D] = eig(A);
% Display the eigenvalues
disp('Eigenvalues:');
disp(D);
% Display the eigenvectors
disp('Eigenvectors:');
disp(V);
Eigenvalues:
 2.5000 + 1.9365i 0.0000 + 0.0000i
 0.0000 + 0.0000i 2.5000 - 1.9365i
Eigenvectors:
 -0.1118 + 0.4330i -0.1118 - 0.4330i
 0.8944 + 0.0000i 0.8944 + 0.0000i