Eigenwerte & Eigenvektoren in MATLAB meistern: Praktischer Leitfaden

Eigenwerte und Eigenvektoren sind fundamentale Konzepte der linearen Algebra, weit verbreitet in Physik, Ingenieurwesen und Datenanalyse. In MATLAB lassen sie sich einfach erforschen und berechnen.

Was sind Eigenwerte?

Ein Eigenwert ist ein Skalar (λ), der mit einer linearen Transformation eines Vektorraums assoziiert ist. Er repräsentiert den Faktor, um den der zugehörige Eigenvektor während der Transformation skaliert wird.

Was sind Eigenvektoren?

Ein Eigenvektor ist ein Nicht-Null-Vektor, der sich bei Anwendung einer linearen Transformation nur um einen Skalarfaktor ändert. Ist A eine Matrix, v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, gilt:

A·v = λ·v

Hier ist A eine quadratische Matrix, v der Eigenvektor, λ der Eigenwert.

MATLAB-Funktionen

MATLAB bietet eingebaute Funktionen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.

eig-Funktion

Berechnet Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix.

Syntax

 e = eig(A) [V, D] = eig(A) [V, D, W] = eig(A) e = eig(A, B) [V, D] = eig(A, B) [V, D, W] = eig(A, B) [___] = eig(A, balanceOption) [___] = eig(A, B, algorithm) [___] = eig(___, outputForm) 

Syntax-Erklärung

• e = eig(A) – Spaltenvektor mit Eigenwerten der quadratischen Matrix A.
• [V, D] = eig(A) – Diagonalmatrix D mit Eigenwerten, Matrix V deren Spalten die zugehörigen Eigenvektoren sind. Gilt: A·V = V·D.
• [V, D, W] = eig(A) – Zusätzlich Matrix W, deren Spalten die linken Eigenvektoren sind: W'·A = D·W'.
• Das Eigenwertproblem sucht Lösungen für A·v = λ·v. λ sind Eigenwerte, v rechte Eigenvektoren. Linke Eigenvektoren w erfüllen w'·A = λ·w'.
• e = eig(A, B) – Verallgemeinerte Eigenwerte der quadratischen Matrizen A und B.
• [V, D] = eig(A, B) – Diagonalmatrix D mit verallgemeinerten Eigenwerten, Matrix V mit zugehörigen rechten Eigenvektoren: A·V = B·V·D.
• [V, D, W] = eig(A, B) – Zusätzlich W mit linken Eigenvektoren: W'·A = D·W'·B.
• Verallgemeinertes Eigenwertproblem: A·v = λ·B·v. λ verallgemeinerte Eigenwerte, v rechte Eigenvektoren. Linke Eigenvektoren w: w'·A = λ·w'·B.
• [___] = eig(A, balanceOption) – balanceOption "nobalance" schaltet vorläufiges Balancing ab. Standard: "balance" (an).
• [___] = eig(A, B, algorithm) – algorithm "chol" nutzt Cholesky-Faktorisierung von B. Standard hängt von A, B ab; "qz" (QZ-Algorithmus) wenn A oder B nicht symmetrisch.
• [___] = eig(___, outputForm) – Eigenwerte im Format outputForm: "vector" (Spaltenvektor) oder "matrix" (Diagonalmatrix).

Beispiele für eig()

Beispiel 1: Eigenwerte berechnen – e = eig(A)

 % Matrix A definieren A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; % Eigenwerte berechnen e = eig(A) 

Ausgabe:

 >> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; e = eig(A) e = 16.1168 -1.1168 -0.0000 

Beispiel 2: Eigenwerte und Eigenvektoren – [V, D] = eig(A)

 % Matrix A definieren A = [2, -1; 4, 3]; % Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen [V, D] = eig(A); % Eigenwerte anzeigen disp('Eigenwerte:'); disp(D); % Eigenvektoren anzeigen disp('Eigenvektoren:'); disp(V); 

Ausgabe:

 Eigenwerte: 2.5000 + 1.9365i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 2.5000 - 1.9365i Eigenvektoren: -0.1118 + 0.4330i -0.1118 - 0.4330i 0.8944 + 0.0000i 0.8944 + 0.0000i