Kondensatoren und Berechnungen

Kondensatoren haben keinen stabilen „Widerstand“ wie Leiter. Es gibt jedoch eine eindeutige mathematische Beziehung zwischen Spannung und Strom für einen Kondensator wie folgt:

Der Kleinbuchstabe „i“ symbolisiert augenblicklich Strom, d. h. die Stromstärke zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dies steht im Gegensatz zu konstantem Strom oder mittlerem Strom (Großbuchstabe „I“) über einen unbestimmten Zeitraum. Der Ausdruck „dv/dt“ ist ein aus der Infinitesimalrechnung entlehnter Ausdruck, der die augenblickliche Spannungsänderungsrate über die Zeit oder die Spannungsänderungsrate (Volt pro Sekunde Anstieg oder Abfall) zu einem bestimmten Zeitpunkt, dem gleichen bestimmten Zeitpunkt, bedeutet Zeitpunkt, zu dem der Momentanstrom referenziert wird. Aus welchem ​​Grund auch immer, der Buchstabe v wird normalerweise verwendet, um die Momentanspannung und nicht der Buchstabe e . darzustellen . Es wäre jedoch nicht falsch, die momentane Spannungsänderungsrate stattdessen als „de/dt“ auszudrücken.

In dieser Gleichung sehen wir etwas Neues für unsere bisherigen Erfahrungen mit Stromkreisen:die Variable der Zeit . Wenn man die Größen Spannung, Strom und Widerstand einem Widerstand zuordnet, spielt es keine Rolle, ob es sich um Messungen handelt, die über einen unbestimmten Zeitraum (E=IR; V=IR) oder zu einem bestimmten Zeitpunkt in Zeit (e=ir; v=ir). Die gleiche Grundformel gilt, da die Zeit für Spannung, Strom und Widerstand in einer Komponente wie einem Widerstand irrelevant ist.

Bei einem Kondensator ist die Zeit jedoch eine wesentliche Variable, da der Strom davon abhängt, wie schnell Spannung ändert sich im Laufe der Zeit. Um dies vollständig zu verstehen, sind möglicherweise einige Illustrationen erforderlich. Angenommen, wir würden einen Kondensator mit einer variablen Spannungsquelle verbinden, die aus einem Potentiometer und einer Batterie besteht:

Wenn der Potentiometermechanismus in einer einzigen Position bleibt (Wischer steht), registriert das über den Kondensator geschaltete Voltmeter eine konstante (unveränderliche) Spannung und das Amperemeter zeigt 0 Ampere an. In diesem Szenario ist die momentane Spannungsänderungsrate (dv/dt) gleich Null, da sich die Spannung nicht ändert. Die Gleichung sagt uns, dass es bei einer Änderung von 0 Volt pro Sekunde für ein dv/dt null Momentanströme (i) geben muss. Aus physikalischer Sicht ist ohne Spannungsänderung keine Elektronenbewegung erforderlich, um den Platten des Kondensators Ladung hinzuzufügen oder von ihnen abzuziehen, und daher wird kein Strom fließen.

Wird nun der Potentiometerschleifer langsam und stetig nach „oben“ bewegt, wird dem Kondensator nach und nach eine größere Spannung angelegt. Daher wird die Anzeige des Voltmeters langsam ansteigen:

Wenn wir davon ausgehen, dass der Potentiometerschleifer so bewegt wird, dass die Rate der Spannungsanstieg am Kondensator konstant ist (z. B. Spannungsanstieg mit einer konstanten Rate von 2 Volt pro Sekunde), ist der dv/dt-Term der Formel ein fester Wert. Gemäß der Gleichung ergibt dieser feste Wert von dv/dt, multipliziert mit der Kapazität des Kondensators in Farad (ebenfalls fest), einen festen Strom von einer gewissen Größe. Aus physikalischer Sicht erfordert eine steigende Spannung am Kondensator eine zunehmende Ladungsdifferenz zwischen den Platten. Somit muss für eine langsame, stetige Spannungserhöhungsrate eine langsame, stetige Ladungsrate im Kondensator vorhanden sein, die einem langsamen, stetigen Stromfluss gleichkommt. In diesem Szenario lädt sich der Kondensator auf und fungiert als Last , wobei Strom in die positive Platte eintritt und aus der negativen Platte austritt, während der Kondensator Energie in einem elektrischen Feld akkumuliert.

Wenn das Potentiometer in die gleiche Richtung bewegt wird, jedoch mit einer höheren Geschwindigkeit, wird die Spannungsänderungsrate (dv/dt) größer und damit auch der Strom des Kondensators:

Wenn Mathematikstudenten zum ersten Mal Infinitesimalrechnung studieren, erkunden sie zunächst das Konzept der Änderungsraten für verschiedene mathematische Funktionen. Das Derivat , das erste und elementarste Prinzip der Infinitesimalrechnung, ist ein Ausdruck der Änderungsrate einer Variablen in Bezug auf eine andere. Mathematikstudenten müssen dieses Prinzip lernen, während sie abstrakte Gleichungen studieren. Sie lernen dieses Prinzip kennen, während Sie etwas lernen, mit dem Sie etwas anfangen können:elektrische Schaltkreise!

Um diese Beziehung zwischen Spannung und Strom in einem Kondensator rechnerisch auszudrücken, ist der Strom durch einen Kondensator die Ableitung der Spannung am Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit. Oder einfacher ausgedrückt, der Strom eines Kondensators ist direkt proportional dazu, wie schnell sich die Spannung an ihm ändert. In dieser Schaltung, bei der die Kondensatorspannung durch die Position eines Drehknopfes an einem Potentiometer eingestellt wird, können wir sagen, dass der Strom des Kondensators direkt proportional dazu ist, wie schnell wir den Knopf drehen.

Wenn wir den Schleifer des Potentiometers in die gleiche Richtung wie zuvor ("nach oben") bewegen würden, jedoch mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, würden wir Diagramme erhalten, die wie folgt aussehen:

Beachten Sie, dass der Strom des Kondensators zu jedem Zeitpunkt proportional zur Änderungsrate oder Steigung . ist , des Spannungsverlaufs des Kondensators. Wenn die Spannungskurve schnell ansteigt (steile Steigung), wird der Strom ebenfalls groß. Wo der Spannungsverlauf eine leichte Steigung hat, ist der Strom klein. An einer Stelle im Spannungsdiagramm, wo er sich einpendelt (Null-Steigung, was einen Zeitraum darstellt, in dem sich das Potentiometer nicht bewegte), fällt der Strom auf Null.

Würden wir den Potentiometerschleifer nach „unten“ bewegen, würde die Kondensatorspannung abnehmen anstatt zu erhöhen. Auch hier reagiert der Kondensator auf diese Spannungsänderung, indem er einen Strom erzeugt, aber diesmal fließt der Strom in die entgegengesetzte Richtung. Eine abnehmende Kondensatorspannung erfordert, dass die Ladungsdifferenz zwischen den Platten des Kondensators verringert wird, und dies kann nur passieren, wenn die Richtung des Stromflusses umgekehrt wird, wobei sich der Kondensator eher entlädt als auflädt. In diesem Entladezustand, bei dem Strom aus der positiven Platte austritt und in die negative Platte eintritt, fungiert der Kondensator als Quelle , wie eine Batterie, die ihre gespeicherte Energie an den Rest des Stromkreises abgibt.

Auch hier ist die Strommenge durch den Kondensator direkt proportional zur Rate der Spannungsänderung über ihm. Der einzige Unterschied zwischen den Auswirkungen einer Abnahme Spannung und eine ansteigende Spannung ist die Richtung des Stromflusses. Bei gleicher Spannungsänderungsrate über die Zeit, entweder ansteigend oder abnehmend, ist die Stromstärke (Ampere) gleich. Mathematisch wird eine abnehmende Spannungsänderungsrate als negativ . ausgedrückt dv/dt-Menge. Nach der Formel i =C(dv/dt) ergibt dies einen Stromwert (i) mit ebenfalls negativem Vorzeichen, der eine Flussrichtung anzeigt, die der Entladung des Kondensators entspricht.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt Kondensatoren
• Arbeitsblatt Calculus for Electric Circuits