Spannungs- und Stromberechnungen

Es gibt einen sicheren Weg, jeden der Werte in einem reaktiven Gleichstromkreis im Laufe der Zeit zu berechnen.

Berechnung von Werten in einem reaktiven Gleichstromkreis

Der erste Schritt besteht darin, die Anfangs- und Endwerte für jede Menge zu identifizieren, die der Kondensator oder die Induktivität der Änderung entgegensetzt; das heißt, welche Menge auch immer die reaktive Komponente konstant zu halten versucht. Bei Kondensatoren ist diese Größe Spannung; für Induktivitäten ist diese Größe Strom . Wenn der Schalter in einem Stromkreis geschlossen (oder geöffnet) wird, versucht die Blindkomponente, diese Menge auf dem gleichen Niveau wie vor dem Schalterübergang zu halten, sodass dieser Wert für den „Start“-Wert verwendet wird.

Der endgültige Wert für diese Menge ist der Wert, den diese Menge nach einer unendlichen Zeit haben wird. Dies kann durch die Analyse eines kapazitiven Stromkreises festgestellt werden, als ob der Kondensator ein offener Stromkreis wäre, und ein induktiver Stromkreis, als ob der Induktor ein Kurzschluss wäre, denn so verhalten sich diese Komponenten, wenn sie „volle Ladung“ erreicht haben. nach unendlich langer Zeit.

Der nächste Schritt ist die Berechnung der Zeitkonstante des Stromkreises:die Zeit, die es dauert, bis sich Spannungs- oder Stromwerte in einer Übergangssituation von ihren Anfangswerten auf ihre Endwerte um etwa 63 Prozent ändern.

In einer Reihen-RC-Schaltung ist die Zeitkonstante gleich dem Gesamtwiderstand in Ohm multipliziert mit der Gesamtkapazität in Farad. Bei einer L/R-Reihenschaltung ist dies die Gesamtinduktivität in Henry geteilt durch den Gesamtwiderstand in Ohm. In beiden Fällen wird die Zeitkonstante in Einheiten von Sekunden . ausgedrückt und symbolisiert durch den griechischen Buchstaben „tau“ (τ):

Der Anstieg und Abfall von Schaltungswerten wie Spannung und Strom als Reaktion auf einen Transienten sind, wie bereits erwähnt, asymptotisch . Daher beginnen sich die Werte kurz nach der Transiente schnell zu ändern und sich im Laufe der Zeit einzupendeln. In einem Diagramm aufgetragen, bildet die Annäherung an die Endwerte von Spannung und Strom exponentielle Kurven.

Wie bereits erwähnt, ist eine Zeitkonstante die Zeit, die jeder dieser Werte benötigt, um sich um etwa 63 Prozent von seinen Anfangswerten auf seine (endgültigen) Endwerte zu ändern. Für jede Zeitkonstante bewegen sich diese Werte (ungefähr) 63 Prozent näher an ihr endgültiges Ziel. Die mathematische Formel zur Ermittlung des genauen Prozentsatzes ist ganz einfach:

Der Buchstabe e steht für die Eulersche Konstante, die ungefähr 2,7182818 beträgt. Es wird aus Berechnungstechniken abgeleitet, nachdem der asymptotische Ansatz der Schaltungswerte mathematisch analysiert wurde. Nach einer Zeitkonstanten beträgt die prozentuale Änderung vom Startwert zum Endwert:

Nach zwei Zeitkonstanten beträgt die prozentuale Änderung vom Startwert zum Endwert:

Nach zehn Zeitkonstanten beträgt der Prozentsatz:

Je mehr Zeit seit dem vorübergehenden Anlegen der Spannung von der Batterie vergeht, desto größer ist der Wert des Nenners im Bruch, was zu einem kleineren Wert für den ganzen Bruch führt, was dazu führt, dass sich eine Gesamtsumme (1 minus Bruch) nähert 1 oder 100 Prozent.

Universalzeitkonstantenformel

Wir können daraus eine universellere Formel für die Bestimmung von Spannungs- und Stromwerten in transienten Schaltungen machen, indem wir diese Größe mit der Differenz zwischen den End- und Startwerten der Schaltung multiplizieren:

Analysieren wir den Spannungsanstieg an der am Anfang des Kapitels gezeigten Vorwiderstand-Kondensator-Schaltung.

Beachten Sie, dass wir uns dafür entscheiden, die Spannung zu analysieren, weil dies die Menge ist, die Kondensatoren dazu neigen, konstant zu bleiben. Obwohl die Formel für Strom recht gut funktioniert, werden die Anfangs- und Endwerte für den Strom tatsächlich von der Spannung des Kondensators abgeleitet, sodass die Berechnungsspannung eine direktere Methode ist. Der Widerstand beträgt 10 kΩ und die Kapazität 100 µF (Mikrofarad). Da die Zeitkonstante (τ) für eine RC-Schaltung das Produkt aus Widerstand und Kapazität ist, erhalten wir einen Wert von 1 Sekunde:

Wenn der Kondensator in einem vollständig entladenen Zustand (0 Volt) startet, können wir diesen Spannungswert als „Anfangswert“ verwenden. Der Endwert ist natürlich die Batteriespannung (15 Volt). Unsere universelle Formel für die Kondensatorspannung in dieser Schaltung sieht so aus:

Nach 7,25 Sekunden des Anlegens einer Spannung durch den geschlossenen Schalter hat sich unsere Kondensatorspannung um Folgendes erhöht:

Da wir mit einer Kondensatorspannung von 0 Volt begonnen haben, bedeutet dieser Anstieg von 14,989 Volt, dass wir nach 7,25 Sekunden 14,989 Volt haben.

Die gleiche Formel funktioniert auch, um den Strom in diesem Stromkreis zu bestimmen. Da wir wissen, dass ein entladener Kondensator zunächst wie ein Kurzschluss wirkt, ist der Startstrom der maximal mögliche:15 Volt (von der Batterie) geteilt durch 10 kΩ (der einzige Widerstand gegen den Strom im Stromkreis zu Beginn):

Wir wissen auch, dass der Endstrom Null sein wird, da sich der Kondensator schließlich wie ein offener Stromkreis verhält, was bedeutet, dass schließlich keine Elektronen im Stromkreis fließen. Da wir nun sowohl den Anfangs- als auch den Endstromwert kennen, können wir unsere universelle Formel verwenden, um den Strom nach 7,25 Sekunden nach dem Schließen des Schalters im gleichen RC-Kreis zu bestimmen:

Beachten Sie, dass die für die Änderung erhaltene Zahl negativ und nicht positiv ist! Dies sagt uns, dass der Strom abgenommen hat anstatt mit der Zeit zuzunehmen. Da wir mit einem Strom von 1,5 mA begonnen haben, bedeutet diese Abnahme (-1,4989 mA), dass wir nach 7,25 Sekunden 0,001065 mA (1.065 µA) haben.

Wir hätten auch den Strom der Schaltung zum Zeitpunkt =7,25 Sekunden bestimmen können, indem wir die Spannung des Kondensators (14,989 Volt) von der Spannung der Batterie (15 Volt) subtrahiert haben, um den Spannungsabfall über dem 10 kΩ-Widerstand zu erhalten, und dann den Strom durch den Widerstand (und die ganze Reihenschaltung) mit dem Ohmschen Gesetz (I=E/R). In jedem Fall sollten wir dieselbe Antwort erhalten:

Verwenden der Formel für die universelle Zeitkonstante zur Analyse induktiver Schaltkreise

Die universelle Zeitkonstantenformel eignet sich auch gut für die Analyse induktiver Schaltungen. Wenden wir es auf unsere Beispiel-L/R-Schaltung am Anfang des Kapitels an:

Bei einer Induktivität von 1 Henry und einem Serienwiderstand von 1 beträgt unsere Zeitkonstante 1 Sekunde:

Da es sich um eine induktive Schaltung handelt und wir wissen, dass Induktivitäten der Stromänderung entgegenwirken, werden wir unsere Zeitkonstantenformel für Anfangs- und Endwerte des Stroms aufstellen. Wenn wir mit dem Schalter in der offenen Position beginnen, ist der Strom gleich Null, also ist Null unser Startstromwert.

Nachdem der Schalter längere Zeit geschlossen gelassen wurde, stabilisiert sich der Strom auf seinen Endwert, der gleich der Quellenspannung dividiert durch den Gesamtwiderstand der Schaltung (I=E/R) oder bei dieser Schaltung 15 Ampere ist .

Wenn wir den Wert des Stroms bei 3,5 Sekunden bestimmen wollten, würden wir die universelle Zeitkonstantenformel als solche anwenden:

Angesichts der Tatsache, dass unser Startstrom null war, bleiben wir bei einem Stromkreis von 14,547 Ampere bei 3,5 Sekunden Zeit.

Die Bestimmung der Spannung in einem induktiven Stromkreis erfolgt am besten, indem Sie zuerst den Strom des Stromkreises berechnen und dann die Spannungsabfälle an den Widerständen berechnen, um herauszufinden, was über den Induktor noch abfällt. Mit nur einem Widerstand in unserer Beispielschaltung (mit einem Wert von 1 Ω) ist dies ziemlich einfach:

Subtrahiert von unserer Batteriespannung von 15 Volt verbleiben 0,453 Volt an der Induktivität bei einer Zeit von 3,5 Sekunden.

RÜCKBLICK:

• Universalzeitkonstantenformel:
• Um eine RC- oder L/R-Schaltung zu analysieren, gehen Sie folgendermaßen vor:
• (1):Bestimmen Sie die Zeitkonstante für die Schaltung (RC oder L/R).
• (2):Identifizieren Sie die zu berechnende Größe (jegliche Größe, deren Änderung der Blindanteil direkt entgegenwirkt. Bei Kondensatoren ist dies Spannung, bei Induktivitäten ist dies Strom).
• (3):Bestimmen Sie die Anfangs- und Endwerte für diese Menge.
• (4):Setze all diese Werte (Final, Start, Zeit, Zeitkonstante) in die universelle Zeitkonstantenformel ein und löse nach Änderung in Menge.
• (5):Wenn der Startwert Null war, dann ist der tatsächliche Wert zum angegebenen Zeitpunkt gleich der berechneten Änderung nach der universellen Formel. Wenn nicht, fügen Sie die Änderung zum Startwert hinzu, um herauszufinden, wo Sie sich befinden.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt für Zeitkonstantenschaltungen
• Arbeitsblatt zur Berechnung von Zeitkonstanten

Sehen Sie sich unsere Sammlung an Leistungsrechner in unserem Tools Abschnitt.