Spannung und Strom in reaktiven Gleichstromkreisen berechnen

Sie können präzise bestimmen, wie sich Spannung und Strom im Laufe der Zeit in jedem reaktiven Gleichstromkreis entwickeln.

Werte in einem reaktiven Gleichstromkreis berechnen

Beginnen Sie damit, die Anfangs- und Endwerte der Größe festzulegen, die das reaktive Bauteil widerstrebt zu ändern – Spannung für Kondensatoren und Strom für Induktivitäten. Wenn ein Schalter umgeschaltet wird, hält das Bauteil diese Größe nahe ihrem Vor-Übergangs-Wert, was den Startpunkt darstellt.

Der Endwert ist der Wert, auf den die Größe nach unendlich langer Zeit einpendelt. Für Kondensatoren modellieren Sie den Kreis mit dem Kondensator als offenen Kreis; für Induktivitäten behandeln Sie die Induktivität als Kurzschluss. Diese Darstellungen offenbaren die stationäre Spannung oder den Strom.

Berechnen Sie als Nächstes die Zeitkonstante des Kreises, den Zeitraum, in dem sich die Größe um etwa 63 % von ihrem Start- zum Endwert während eines Transienten verschiebt. In einem seriellen RC-Kreis ist τ = R × C. Für einen seriellen L/R-Kreis ist τ = L / R. Die Zeitkonstante wird in Sekunden gemessen und mit dem griechischen Buchstaben τ (Tau) bezeichnet.

 

 

Spannung und Strom in einer Transientenantwort folgen exponentiellen Kurven, die sich asymptotisch ihren Endwerten annähern. Nach einer τ hat sich die Größe etwa 63 % ihrem Ziel angenähert. Der genaue Prozentsatz wird gegeben durch:

 

 

Mit der Eulerschen Zahl e (≈ 2,71828) beträgt die prozentuale Änderung nach n τ:

 

 

Nach zwei τ:

 

 

Nach zehn τ:

 

 

Mit zunehmender Zeit schrumpft der Bruch im Exponentialterm, was den Gesamtausdruck gegen 1 (100 %) treibt.

Universelle Zeitkonstantenformel

Für eine kompakte Berechnung multiplizieren Sie den Exponentialterm mit der Differenz zwischen End- und Anfangswert:

 

Wenden wir dies auf den zuvor gezeigten seriellen RC-Kreis an.

 

Da ein Kondensator Spannungsänderungen widersteht, analysieren wir die Spannung direkt. Der Widerstand beträgt 10 kΩ und der Kondensator 100 µF, was τ = 10 kΩ × 100 µF = 1 s ergibt.

 

Angenommen, der Kondensator startet entladen (0 V) und die Batterie liefert 15 V, wird die universelle Formel:

 

Nach 7,25 s beträgt der Spannungsanstieg:

 

 

Damit erreicht der Kondensator 14,989 V bei 7,25 s.

Derselbe Ausdruck liefert den Strom. Mit einem frisch entladenen Kondensator, der als Kurzschluss wirkt, beträgt der Anfangsstrom 15 V / 10 kΩ = 1,5 mA. Der Endstrom ist null, sobald der Kondensator als offener Kreis verhält.

 

Anwendung der Formel ergibt eine Änderung von –1,4989 mA, sodass der Strom bei 7,25 s 1,065 µA beträgt.

Alternativ subtrahieren Sie die Kondensatorspannung von der Batteriespannung und wenden das Ohmsche Gesetz an: I = (15 V – 14,989 V) / 10 kΩ = 1,065 µA – Bestätigung des Ergebnisses.

 

Universelle Zeitkonstantenformel für induktive Schaltungen anwenden

Derselbe Ansatz funktioniert für RL-Schaltungen. Betrachten Sie das Beispiel L/R-Schaltung mit L = 1 H und R = 1 Ω; τ = L / R = 1 s.

 

Hier widersteht das reaktive Element der Stromänderung. Ausgehend vom offenen Schalter ist der Strom null. Nach langer Zeit beträgt der stationäre Strom V / R = 15 A.

Um den Strom bei 3,5 s zu finden, nutzen Sie die universelle Formel:

 

Da der Anfangsstrom null ist, beträgt der Strom bei 3,5 s 14,547 A.

Die Spannung über der Induktivität ergibt sich durch Subtraktion des Widerstandsabfalls von der Versorgung. Mit einem einzelnen 1-Ω-Widerstand beträgt der Abfall 14,547 V, sodass 0,453 V an der Induktivität bei 3,5 s verbleiben.

 

 

Zusammenfassung

• Universelle Zeitkonstantenformel: ΔQ = (Q_final – Q_initial) · (1 – e^(–t/τ))
• Schritte für RC- oder RL-Analyse:
• 1. Berechnen Sie τ (RC oder L/R).
• 2. Identifizieren Sie die reaktive Größe (Spannung für Kondensatoren, Strom für Induktivitäten).
• 3. Bestimmen Sie Anfangs- und Endwerte.
• 4. Setzen Sie Werte in die universelle Formel ein und lösen Sie nach der Änderung auf.
• 5. Wenn der Anfangswert null ist, entspricht die berechnete Änderung der Größe zum Zeitpunkt t; andernfalls addieren Sie die Änderung zum Anfangswert.

Weiterführende Arbeitsblätter

• Zeitkonstanten-Schaltungen Arbeitsblatt
• Zeitkonstanten-Berechnungen Arbeitsblatt

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