Charakteristischen Widerstand in Übertragungsleitungen verstehen

Die parallelen Drähte unendlicher Länge

Betrachten Sie ein Paar paralleler Leiter, die sich ins Unendliche erstrecken, ohne Last abgeschlossen. Wenn der Quellschalter geschlossen wird, verhält sich die Leitung wie ein offener Kreis. Zieht sie überhaupt Strom? Siehe Abbildung unten.

Unendliche Übertragungsleitung ansteuern.

Selbst wenn die Leiter perfekte Supraleiter und damit widerstandsfrei wären, lässt sich die verteilte Kapazität zwischen ihnen nicht eliminieren. Je zwei Leiter, die durch einen Isolator getrennt sind, bilden inhärent einen Kondensator, wie unten gezeigt.

Ersatzschaltbild: Streukapazität zwischen Leitern.

Wenn eine Spannung über zwei Leiter angelegt wird, bildet sich ein elektrisches Feld und Energie wird in diesem Feld gespeichert. Die gespeicherte Energie widersetzt sich Spannungsänderungen, beschrieben durch die Relation i = C dV/dt. Folglich zwingt ein plötzlicher Spannungssprung beim Schließen des Schalters die Leitungskapazität zum Laden und zieht Strom von der Quelle. Im idealisierten Fall eines instantanen Spannungsanstiegs wäre der Strom theoretisch unendlich.

Kapazität und Induktivität

Der von einem Paar paralleler Drähte gezogene Strom ist jedoch nicht unendlich, weil das Magnetfeld jedes Leiters eine verteilte Induktivität entlang der Leitung erzeugt. In diesem Magnetfeld gespeicherte Energie widersteht Stromänderungen, geregelt durch e = L di/dt. Der induktive Spannungsabfall begrenzt den Spannungsanstieg über der verteilten Kapazität und verhindert, dass der Strom unendlich wird.

Ersatzschaltbild: Streukapazität und Induktivität.

Spannung lädt Kapazität, Strom lädt Induktivität.

Die near-Lichtgeschwindigkeits-Übertragung von Ladung zwischen den beiden Leitern erzeugt eine Wellenfront aus Spannung und Strom, die sich entlang der Leitung fortpflanzt. Während die Welle wandert, erreichen die verteilte Kapazität und Induktivität allmählich ihre volle Spannung und ihren vollen Strom, wie unten illustriert.

Unbelastete Übertragungsleitung.

Wellenausbreitung beginnt.

Wellenausbreitung fortsetzt.

Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit.

Die Übertragungsleitung

Als Ergebnis dieser Wechselwirkungen zieht das unendliche Leiterpaar einen konstanten, endlichen Strom aus der Quelle. Die verteilte Kapazität lädt sich nie vollständig auf die Quellspannung auf, und die verteilte Induktivität erlaubt nie unbegrenzten Strom. Daher verhalten sich die Leiter nicht nur als passive Leiter, sondern als aktives Schaltungselement: eine Übertragungsleitung.

Aus Sicht der Batterie verhält sich diese Leitung wie ein ohmscher Widerstand, obwohl sie ausschließlich aus Induktivität und Kapazität besteht (bei supraleitenden Leitern angenommen). Der effektive Widerstand der Leitung heißt charakteristischer Widerstand (Z₀), der ausschließlich durch ihre Geometrie bestimmt wird. Für eine Zweidrahtleitung mit Luftisolierung gilt:

Für eine Koaxialleitung lautet der Ausdruck:

Beide Formeln erfordern konsistente Einheiten. Wenn der Isolator nicht Luft ist, ändern sich charakteristischer Widerstand und Ausbreitungsgeschwindigkeit. Das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Leitung zur Lichtgeschwindigkeit heißt Geschwindigkeitsfaktor, der ausschließlich von der relativen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) des Isolators abhängt. Er berechnet sich als:

Der natürliche Widerstand

Charakteristischer Widerstand wird auch als natürlicher Widerstand bezeichnet. Er repräsentiert den äquivalenten Widerstand einer unendlich langen Leitung aufgrund ihrer verteilten Kapazität und Induktivität, wodurch Spannungs- und Stromwellen mit einem Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen.

Aus den ersten beiden Gleichungen sehen wir, dass Z₀ steigt, wenn der Abstand zwischen den Leitern wächst. Eine Vergrößerung des Abstands verringert die Kapazität und erhöht die Induktivität, was zu höherem Widerstand und geringerem Strom für eine gegebene Spannung führt. Umgekehrt erhöht Annäherung der Leiter die Kapazität und verringert die Induktivität, was den Widerstand senkt und den Strom erhöht.

Bei fehlenden dissipativen Verlusten (ideales Dielektrikum, supraleitende Leiter) entspricht der charakteristische Widerstand der Quadratwurzel aus der Induktivität pro Längeneinheit geteilt durch die Kapazität pro Längeneinheit:

Zusammenfassung

• Eine Übertragungsleitung ist ein Leiterpaar, dessen verteilte Kapazität und Induktivität ihm einzigartige elektrische Eigenschaften verleihen.
• Bei Anlegen eines Spannungssprungs breiten sich Spannungs- und Stromwellen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit entlang der Leitung aus.
• Bei Anlegen einer DC-Spannung an eine unendlich lange Leitung verhält sich diese wie ein konstanter ohmscher Lastwiderstand.
• Der charakteristische Widerstand (Z₀) ist der Widerstand, den eine unendliche Leitung exhibieren würde, unabhängig von Dielektrikumsverlusten oder Leiterwiderstand.
• Der Geschwindigkeitsfaktor, typischerweise 0,66 bis 0,80 für Zweidrahtleitungen und Koaxialkabel, ist der Kehrwert der Quadratwurzel der relativen Permittivität des Isolators.

Verwandte Arbeitsblätter

• Charakteristischer Widerstand Arbeitsblatt