Induktoren und Calculus

Induktivitäten haben keinen stabilen „Widerstand“ wie Leiter. Es gibt jedoch eine eindeutige mathematische Beziehung zwischen Spannung und Strom für eine Induktivität wie folgt:

Die Form dieser Gleichung sollten Sie aus dem Kondensatorkapitel erkennen. Es bezieht eine Variable (in diesem Fall den Spannungsabfall der Induktivität) auf eine Änderungsrate einer anderen Größe (in diesem Fall Induktorstrom). Sowohl Spannung (v) als auch Stromänderungsrate (di/dt) sind momentan :also bezogen auf einen bestimmten Zeitpunkt, also die Kleinbuchstaben „v“ und „i“.

Wie bei der Kondensatorformel ist es üblich, die Momentanspannung als v . auszudrücken anstatt e , aber die Verwendung der letztgenannten Bezeichnung wäre nicht falsch. Die aktuelle Änderungsrate (di/dt) wird in Ampere pro Sekunde ausgedrückt, wobei eine positive Zahl eine Zunahme und eine negative Zahl eine Abnahme darstellt.

Wie bei einem Kondensator ist das Verhalten einer Induktivität in der Variablen der Zeit verwurzelt. Abgesehen von jeglichem Widerstand, der der Drahtspule eines Induktors innewohnt (von dem wir für diesen Abschnitt annehmen werden, dass er Null ist), hängt die an den Anschlüssen eines Induktors abfallende Spannung ausschließlich davon ab, wie schnell sich sein Strom im Laufe der Zeit ändert.

Angenommen, wir würden eine perfekte Induktivität (eine mit null Ohm Drahtwiderstand) an eine Schaltung anschließen, in der wir die Strommenge durch sie mit einem Potentiometer variieren könnten, das als variabler Widerstand angeschlossen ist:

Wenn der Potentiometermechanismus in einer einzigen Position bleibt (Wischer steht still), registriert das in Reihe geschaltete Amperemeter einen konstanten (unveränderlichen) Strom und das über die Induktivität geschaltete Voltmeter zeigt 0 Volt an. In diesem Szenario ist die momentane Stromänderungsrate (di/dt) gleich Null, da der Strom stabil ist.

Die Gleichung sagt uns, dass bei einer Änderung von 0 Ampere pro Sekunde für ein di/dt die Momentanspannung (v) über dem Induktor null sein muss. Aus physikalischer Sicht wird ohne Stromänderung ein stetiges Magnetfeld von der Induktivität erzeugt. Ohne Änderung des magnetischen Flusses (dΦ/dt =0 Webers pro Sekunde) wird keine Spannung aufgrund von Induktion über die Länge der Spule abfallen.

Wenn wir den Potentiometerschleifer langsam nach oben bewegen, nimmt sein Widerstand von einem Ende zum anderen langsam ab. Dies hat den Effekt, dass der Strom im Stromkreis erhöht wird, daher sollte die Anzeige des Amperemeters langsam ansteigen:

Angenommen, der Potentiometerwischer wird so bewegt, dass die Rate des Stromanstiegs durch den Induktor konstant ist, ist der di/dt-Term der Formel ein fester Wert. Dieser feste Wert, multipliziert mit der Induktivität der Induktivität in Henrys (ebenfalls fest), ergibt eine feste Spannung einer gewissen Größe. Aus physikalischer Sicht führt der allmähliche Anstieg des Stroms zu einem ebenfalls ansteigenden Magnetfeld.

Dieser allmähliche Anstieg des magnetischen Flusses bewirkt, dass in der Spule eine Spannung induziert wird, wie sie durch die Induktionsgleichung von Michael Faraday e =N(dΦ/dt) ausgedrückt wird. Diese selbstinduzierte Spannung an der Spule als Ergebnis einer allmählichen Änderung der Stromstärke durch die Spule hat zufällig eine Polarität, die versucht, der Stromänderung entgegenzuwirken. Mit anderen Worten, die Polarität der induzierten Spannung, die sich aus einer Erhöhung . ergibt im Strom wird so ausgerichtet, dass er gegen stößt die Richtung des Stroms, um zu versuchen, den Strom auf seiner früheren Größe zu halten.

Dieses Phänomen weist ein allgemeineres physikalisches Prinzip auf, das als Lenz-Gesetz bekannt ist , die besagt, dass eine induzierte Wirkung immer der Ursache entgegensteht, die sie hervorruft.

Induktorstrom, Spannung vs. Zeit

In diesem Szenario fungiert der Induktor als Last , mit der negativen Seite der induzierten Spannung am Ende, wo die Elektronen eintreten, und der positiven Seite der induzierten Spannung am Ende, wo die Elektronen austreten.

Die Änderung der Stromanstiegsrate durch den Induktor durch Bewegen des Potentiometerschleifers mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten nach oben führt dazu, dass unterschiedliche Spannungsmengen über dem Induktor abfallen, alle mit der gleichen Polarität (entgegen der Stromerhöhung):

Hier sehen wir wieder das Derivat Funktion des Kalküls, die sich im Verhalten eines Induktors zeigt. In rechnerischen Begriffen würden wir sagen, dass die induzierte Spannung an der Induktivität die Ableitung des Stroms durch die Induktivität ist, d. h. proportional zur Änderungsrate des Stroms in Bezug auf die Zeit.

Wenn Sie die Richtung der Wischerbewegung am Potentiometer umkehren (nach unten statt nach oben gehen), erhöht sich der End-to-End-Widerstand. Dies führt zu einer Verringerung des Stromkreises (ein negativ Wert für di/dt). Der Induktor, der immer jeder Stromänderung entgegenwirkt, erzeugt einen Spannungsabfall entgegen der Änderungsrichtung:

Wie viel Spannung der Induktor erzeugt, hängt natürlich davon ab, wie schnell der durch ihn fließende Strom verringert wird. Wie durch das Gesetz von Lenz beschrieben, wird die induzierte Spannung der Stromänderung entgegengesetzt. Mit einer abnehmenden Strom, die Polarität der Spannung wird so ausgerichtet, dass versucht wird, den Strom auf seiner früheren Größe zu halten.

In diesem Szenario fungiert der Induktor als Quelle , mit der negativen Seite der induzierten Spannung an dem Ende, an dem die Elektronen austreten, und der positiven Seite der induzierten Spannung am Ende, wo die Elektronen eintreten. Je schneller der Strom verringert wird, desto mehr Spannung wird von der Induktivität erzeugt, um gespeicherte Energie freizugeben, um zu versuchen, den Strom konstant zu halten.

Auch hier ist der Spannungsbetrag an einem perfekten Induktor direkt proportional zur Stromänderungsrate durch ihn. Der einzige Unterschied zwischen den Auswirkungen einer Abnahme Strom und ein zunehmender Strom ist die Polarität der induzierten Spannung.

Für die gleiche Stromänderungsrate über die Zeit, entweder ansteigend oder abnehmend, ist die Spannungsgröße (Volt) gleich. Zum Beispiel erzeugt ein di/dt von -2 Ampere pro Sekunde den gleichen induzierten Spannungsabfall an einer Induktivität wie ein di/dt von +2 Ampere pro Sekunde, nur in der entgegengesetzten Polarität.

Wenn sich der Strom durch eine Induktivität sehr schnell ändern muss, werden sehr hohe Spannungen erzeugt. Betrachten Sie die folgende Schaltung:

Bei dieser Schaltung ist eine Lampe über die Klemmen einer Induktivität geschaltet. Ein Schalter wird verwendet, um den Strom im Stromkreis zu steuern, und die Energie wird von einer 6-Volt-Batterie geliefert. Wenn der Schalter geschlossen ist, widersetzt sich der Induktor kurzzeitig der Stromänderung von Null auf eine bestimmte Größe, lässt jedoch nur einen geringen Spannungsabfall ab.

Es braucht ungefähr 70 Volt, um das Neongas in einer Neonbirne wie dieser zu ionisieren, daher kann die Glühbirne nicht mit den 6 Volt, die von der Batterie erzeugt werden, gezündet werden, oder die niedrige Spannung, die durch den Induktor kurzzeitig abfällt, wenn der Schalter geschlossen wird:

Beim Öffnen des Schalters führt er jedoch plötzlich einen extrem hohen Widerstand in den Stromkreis ein (den Widerstand des Luftspalts zwischen den Kontakten). Diese plötzliche Einführung eines hohen Widerstands in die Schaltung bewirkt, dass der Strom der Schaltung fast sofort abnimmt. Mathematisch ist der di/dt-Term eine sehr große negative Zahl.

Solch eine schnelle Stromänderung (von einer gewissen Größe auf Null in sehr kurzer Zeit) wird eine sehr hohe Spannung über die Induktivität induzieren, die links negativ und rechts ausgerichtet ist, um dieser Stromabnahme entgegenzuwirken. Die erzeugte Spannung reicht normalerweise mehr als aus, um die Neonlampe zu zünden, wenn auch nur für einen kurzen Moment, bis der Strom auf Null abfällt:

Für eine maximale Wirkung sollte die Induktivität so groß wie möglich bemessen werden (mindestens 1 Henry der Induktivität).

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt Calculus for Electric Circuits
• Induktoren-Arbeitsblatt
• Induktivitätsarbeitsblatt