Polar- und Rechteckform-Notation für komplexe Zahlen

Um mit komplexen Zahlen zu arbeiten, ohne Vektoren zu zeichnen, benötigen wir zunächst eine Art mathematische Standardnotation. Es gibt zwei Grundformen der Notation komplexer Zahlen:polar und rechteckig .

Polarform einer komplexen Zahl

In der Polarform wird eine komplexe Zahl durch die Länge . bezeichnet (auch bekannt als Größe , absoluter Wert , oder Modul ) und der Winkel seines Vektors (normalerweise durch ein Winkelsymbol gekennzeichnet, das wie folgt aussieht:∠).

Um die Kartenanalogie zu verwenden, wäre die polare Notation für den Vektor von New York City nach San Diego etwa „2400 Meilen, südwestlich“. Hier sind zwei Beispiele für Vektoren und ihre Polarnotationen:

Vektoren mit polaren Notationen.

Die Standardausrichtung für Vektorwinkel in Wechselstromkreisberechnungen definiert 0° als rechts (horizontal), was 90° gerade nach oben, 180° nach links und 270° gerade nach unten bedeutet. Bitte beachten Sie, dass nach „unten“ abgewinkelte Vektoren Winkel haben können, die in Polarform als positive Zahlen über 180 oder negative Zahlen unter 180 dargestellt werden.

Zum Beispiel kann ein Vektor mit einem Winkel von ∠ 270° (gerade nach unten) auch einen Winkel von -90° haben. (Abbildung unten) Der obige Vektor rechts (7,81 ∠ 230,19°) kann auch als 7,81 ∠ -129,81° bezeichnet werden.

Der Vektorkompass.

Rechteckige Form einer komplexen Zahl

Bei der rechteckigen Form hingegen wird eine komplexe Zahl durch ihre jeweiligen horizontalen und vertikalen Komponenten bezeichnet. Im Wesentlichen wird der Winkelvektor als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks angenommen, beschrieben durch die Längen der angrenzenden und gegenüberliegenden Seiten.

Anstatt die Länge und Richtung eines Vektors durch Angabe von Größe und Winkel zu beschreiben, wird er in Bezug auf „wie weit links/rechts“ und „wie weit oben/unten“ beschrieben.

Diese zweidimensionalen Figuren (horizontal und vertikal) werden durch zwei Zahlenfiguren symbolisiert. Um die horizontalen und vertikalen Dimensionen voneinander zu unterscheiden, wird der Vertikalen ein kleines „i“ (in der reinen Mathematik) oder „j“ (in der Elektronik) vorangestellt.

Diese Kleinbuchstaben stellen keine physikalische Größe dar (wie den Momentanstrom, auch durch einen Kleinbuchstaben „i“ symbolisiert), sondern sind mathematische Operatoren verwendet, um die vertikale Komponente des Vektors von seiner horizontalen Komponente zu unterscheiden. Als vollständige komplexe Zahl werden die horizontalen und vertikalen Größen als Summe geschrieben:(Abbildung unten)

In „rechteckiger“ Form werden Länge und Richtung des Vektors in Bezug auf seine horizontale und vertikale Spanne angegeben, wobei die erste Zahl die horizontale („real“) und die zweite Zahl (mit dem Präfix „j“), die die vertikalen („imaginären“) Dimensionen darstellt.

Die horizontale Komponente wird als real bezeichnet Komponente, da diese Dimension mit normalen, skalaren („realen“) Zahlen kompatibel ist. Die vertikale Komponente wird als imaginär bezeichnet Komponente, da diese Dimension in einer anderen Richtung liegt, die der Skala der reellen Zahlen völlig fremd ist. (Abbildung unten)

Vektorkompass mit realen und imaginären Achsen.

Die „reale“ Achse des Graphen entspricht der bekannten Zahlenlinie, die wir zuvor gesehen haben:derjenigen mit positiven und negativen Werten darauf. Die „imaginäre“ Achse des Graphen entspricht einer anderen Zahlenlinie, die sich im 90°-Winkel zur „realen“ befindet.

Da Vektoren zweidimensionale Dinge sind, müssen wir eine zweidimensionale „Karte“ haben, auf der sie ausgedrückt werden können, also die beiden Zahlengeraden, die senkrecht aufeinander stehen:(Abbildung unten)

Vektorkompass mit reellen und imaginären ("j") Zahlenlinien.

Umwandeln von Polarform in Rechteckform

Beide Notationsmethoden sind für komplexe Zahlen gültig. Der Hauptgrund für die Verwendung von zwei Notationsmethoden ist die einfache handschriftliche Berechnung, die rechteckige Form, die sich für Addition und Subtraktion eignet, und die Polarform, die sich für Multiplikation und Division eignet.

Die Umrechnung zwischen den beiden Notationsformen beinhaltet eine einfache Trigonometrie. Um von Polar in Rechteck umzuwandeln, ermitteln Sie die Realkomponente, indem Sie die Polargröße mit dem Cosinus des Winkels multiplizieren, und die Imaginärkomponente, indem Sie die Polargröße mit dem Sinus des Winkels multiplizieren.

Dies kann leichter verstanden werden, indem man die Größen als Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zeichnet, wobei die Hypotenuse des Dreiecks den Vektor selbst darstellt (seine Länge und sein Winkel in Bezug auf die Horizontale bilden die Polarform), die horizontalen und vertikalen Seiten die „ reelle“ bzw. „imaginäre“ rechteckige Komponenten:(Abbildung unten)

Größenvektor in Bezug auf reelle (4) und imaginäre (j3) Komponenten.

Umwandlung von rechteckiger Form in polare Form

Um von rechteckig in polar umzuwandeln, ermitteln Sie die polare Größe mithilfe des Satzes des Pythagoras (die polare Größe ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, und die Real- und Imaginärkomponente sind die angrenzenden bzw. gegenüberliegenden Seiten) und den Winkel durch den Arkustangens der imaginären Komponente dividiert durch die reelle Komponente nehmen:

RÜCKBLICK:

• Polar Notation bezeichnet eine komplexe Zahl in Bezug auf die Länge und Winkelrichtung ihres Vektors vom Startpunkt aus. Beispiel:Fliegen Sie 45 Meilen ∠ 203° (West by Southwest).
• Rechteckig Notation bezeichnet eine komplexe Zahl in Bezug auf ihre horizontalen und vertikalen Dimensionen. Beispiel:Fahren Sie 41 Meilen nach Westen, biegen Sie dann ab und fahren Sie 18 Meilen nach Süden.
• In der rechteckigen Schreibweise ist die erste Größe die „reale“ Komponente (horizontale Dimension des Vektors) und die zweite Größe die „imaginäre“ Komponente (vertikale Dimension des Vektors). Der imaginären Komponente geht ein kleingeschriebenes „j“ voran, das manchmal auch als j-Operator bezeichnet wird .
• Sowohl polare als auch rechteckige Notationen für eine komplexe Zahl können grafisch in Form eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung gesetzt werden, wobei die Hypotenuse den Vektor selbst darstellt (Polarform:Hypotenusenlänge =Betrag; Winkel zur horizontalen Seite =Winkel ), wobei die horizontale Seite die rechteckige „reale“ Komponente darstellt und die vertikale Seite die rechteckige „imaginäre“ Komponente darstellt.

VERWANDTES ARBEITSBLATT:

• AC-Phase Arbeitsblatt