Komplexe Zahlen Arithmetik meistern: Wesentliche Operationen & Techniken

Da komplexe Zahlen legitime mathematische Entitäten sind – genau wie skalare Zahlen –, können sie addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, quadriert, invertiert und so weiter behandelt werden, wie jede andere Art von Zahlen.

Einige wissenschaftliche Taschenrechner sind programmiert, um diese Operationen direkt mit zwei oder mehr komplexen Zahlen durchzuführen, aber diese Operationen können auch „von Hand“ ausgeführt werden. Dieser Abschnitt zeigt, wie die grundlegenden Operationen durchgeführt werden.

Es wird dringend empfohlen, sich einen wissenschaftlichen Taschenrechner zuzulegen, der arithmetische Funktionen einfach mit komplexen Zahlen ausführen kann. Das wird Ihr Studium von Wechselstromkreisen viel angenehmer machen, als wenn Sie gezwungen sind, alle Berechnungen auf dem längeren Weg durchzuführen.

Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen in kartesischer Form

Addition und Subtraktion mit komplexen Zahlen in kartesischer Form ist einfach. Für die Addition addieren Sie einfach die Realteile der komplexen Zahlen, um den Realteil der Summe zu bestimmen, und addieren die Imaginärteile, um den Imaginärteil der Summe zu erhalten:

Bei der Subtraktion komplexer Zahlen in kartesischer Form subtrahieren Sie einfach den Realteil der zweiten komplexen Zahl vom Realteil der ersten, um den Realteil der Differenz zu erhalten, und subtrahieren den Imaginärteil der zweiten vom Imaginärteil der ersten, um den Imaginärteil der Differenz zu erhalten:

Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in Polarform

Für schriftliche Multiplikation und Division ist die Polarform die bevorzugte Notation. Beim Multiplizieren komplexer Zahlen in Polarform multiplizieren Sie einfach die Beträge (Magnituden) der komplexen Zahlen, um den Betrag des Produkts zu bestimmen, und addieren die Winkel (Phasen), um den Winkel des Produkts zu erhalten:

Die Division von komplexen Zahlen in Polarform ist ebenso einfach: Teilen Sie den Betrag der ersten komplexen Zahl durch den Betrag der zweiten, um den Betrag des Quotienten zu erhalten, und subtrahieren Sie den Winkel der zweiten komplexen Zahl vom Winkel der ersten, um den Winkel des Quotienten zu erhalten:

Um den Kehrwert, also die Inversion (1/x), einer komplexen Zahl zu erhalten, teilen Sie einfach die Zahl (in Polarform) in einen Skalarwert von 1, was nichts anderes ist als eine komplexe Zahl ohne Imaginärteil (Winkel = 0):

Dies sind die grundlegenden Operationen, die Sie kennen müssen, um komplexe Zahlen in der Analyse von Wechselstromkreisen zu manipulieren. Operationen mit komplexen Zahlen sind keineswegs auf Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Inversion beschränkt.

Praktisch jede arithmetische Operation, die mit skalaren Zahlen durchgeführt werden kann, kann auch mit komplexen Zahlen ausgeführt werden, einschließlich Potenzen, Wurzeln, das Lösen simultaner Gleichungen mit komplexen Koeffizienten und sogar trigonometrische Funktionen (obwohl dies eine ganz neue Perspektive in der Trigonometrie erfordert, die hyperbolische Funktionen genannt wird und weit über den Rahmen dieser Diskussion hinausgeht).

Stellen Sie sicher, dass Sie mit den grundlegenden arithmetischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Inversion vertraut sind, und Sie werden wenig Probleme mit der Wechselstromkreisanalyse haben.

ZUSAMMENFASSUNG:

• Um komplexe Zahlen in kartesischer Form zu addieren, addieren Sie die Realteile und die Imaginärteile. Subtraktion ist analog.
• Um komplexe Zahlen in Polarform zu multiplizieren, multiplizieren Sie die Beträge und addieren Sie die Winkel. Um zu dividieren, dividieren Sie die Beträge und subtrahieren Sie einen Winkel vom anderen.

VERWANDTES ARBEITSBLATT:

• AC-Phasen-Arbeitsblatt