Polare vs. rechteckige Notation für komplexe Zahlen – Ein praktischer Leitfaden

Komplexe Zahlen bilden die Grundlage vieler Bereiche der Ingenieurwissenschaften und Mathematik. Um effizient mit ihnen zu arbeiten – ohne jedes Mal Vektoren zu zeichnen – werden zwei Standardnotation verwendet: polar und rechteckig. Dieser Artikel erklärt beide Formen, die Umrechnungsregeln dazwischen und wann jede am nützlichsten ist.

Polare Form einer komplexen Zahl

In der polaren Notation wird eine komplexe Zahl durch ihren Betrag (auch Modul oder Absolutwert genannt) und den Winkel ausgedrückt, den sie mit der positiven reellen Achse einschließt. Der Winkel wird meist mit dem Symbol ∠ notiert.

Denken Sie an eine Landkarte: Die polare Notation für den Vektor von New York City nach San Diego könnte lauten „2400 Meilen, südwestlich“. Hier sind zwei Vektoren und ihre polaren Darstellungen:

 

Vektoren mit polarer Notation.

 

In AC-Schaltkreisberechnungen setzt die Standardorientierung 0° nach rechts (Osten), 90° gerade nach oben (Norden), 180° nach links (Westen) und 270° gerade nach unten (Süden). Vektoren, die „nach unten“ zeigen, können mit Winkeln größer 180° oder als negative Winkel kleiner 0° beschrieben werden. Zum Beispiel kann ein Vektor bei ∠270° (direkt südlich) auch als –90° geschrieben werden. Ebenso kann der Vektor 7,81 ∠230,19° als 7,81 ∠–129,81° ausgedrückt werden.

 

Der Vektorkompass.

 

Rechteckige Form einer komplexen Zahl

Die rechteckige Notation beschreibt eine komplexe Zahl durch ihre horizontale (reelle) und vertikale (imaginäre) Komponente. Visuell ist die komplexe Zahl die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei die horizontale Seite den reellen Teil und die vertikale Seite den imaginären Teil darstellt.

In der reinen Mathematik wird die vertikale Komponente von einem kleingeschriebenen i vorangestellt, in der Elektrotechnik wird j verwendet. Diese Buchstaben sind rein notatorische Operatoren; sie repräsentieren keine physikalischen Größen.

Beispiel:

 

Rechteckige Form: horizontale (reelle) + vertikale (imaginäre) Komponenten.

 

Die reelle Achse entspricht dem bekannten Zahlenstrahl, während die imaginäre Achse ein zweiter Zahlenstrahl ist, der um 90° von der reellen Achse rotiert ist.

 

Vektorkompass mit reeller und imaginärer Achse.

 

Weil komplexe Zahlen zweidimensional sind, benötigen wir zwei senkrechte Achsen, um sie darzustellen. Das kombinierte Diagramm sieht so aus:

 

Vektorkompass mit reellen und imaginären (j) Zahlenstrahlen.

 

Umrechnung von polar nach rechteckig

Beide Notationen sind gültig; die Wahl hängt von der Operation ab. Rechteckige Form ist praktisch für Addition und Subtraktion, während polare Form Multiplikation und Division vereinfacht. Die Umrechnung von polar nach rechteckig nutzt grundlegende Trigonometrie:

• Reeller Teil = Betrag × cos(Winkel)
• Imaginärer Teil = Betrag × sin(Winkel)

Diese Beziehungen ergeben sich aus der Rechtwinkeldreieck-Darstellung der komplexen Zahl.

 

Betragsvektor in Bezug auf reelle (4) und imaginäre (j3) Komponenten.

 

Umrechnung von rechteckig nach polar

Für den umgekehrten Weg bestimmen Sie zuerst den Betrag mittels des Satzes des Pythagoras, dann den Winkel mit dem Arkustangens des Verhältnisses von imaginärem zu reellem Teil:

• Betrag = √(reell² + imaginär²)
• Winkel = atan2(imaginär, reell)

Beispielrechnungen sind in der folgenden Abbildung illustriert:

 

 

Kernaussagen

• Polare Notation drückt eine komplexe Zahl durch ihre Länge (Betrag) und Richtung (Winkel) aus.
• Rechteckige Notation drückt sie durch horizontale (reelle) und vertikale (imaginäre) Komponenten aus.
• Die imaginäre Komponente wird mit kleinem j (in der Elektronik) oder i (in der Mathematik) geschrieben.
• Beide Formen bilden ein rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse = Betrag, Ankathete = reeller Teil, Gegenkathete = imaginärer Teil.

Weiterführendes Arbeitsblatt

• AC-Phasen-Arbeitsblatt