Folgen: Arithmetische und geometrische Progressionen verstehen

Arithmetische Folgen

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der jeder Gliedwert sich um einen festen Betrag vom vorherigen unterscheidet – die sogenannte Differenz. Das einfache Aufzählen (1, 2, 3, 4, …) ist ein klassisches Beispiel mit der Differenz 1. Beschränken wir uns auf gerade Zahlen (2, 4, 6, 8, …) oder ungerade Zahlen (1, 3, 5, 7, …), beträgt die Differenz 2.

In der Folgennotation bezeichnet der Kleinbuchstabe a ein einzelnes Glied. Der Index n, geschrieben als a_n, gibt die Position des Glieds in der Folge an. In einer Folge gerader Zahlen, die mit 2 beginnt, ist a₃ = 6, a₂ = 4 und a₁ markiert das erste Glied mit dem Wert 2.

Ein Großbuchstabe A steht für die kumulative Summe der Folge bis zu einem bestimmten Glied. In derselben Folge gerader Zahlen ist A₄ = 2 + 4 + 6 + 8 = 20.

Folgen: Arithmetische und geometrische Progressionen verstehen — Graphische Veranschaulichung einer arithmetischen Folge

Geometrische Folgen

Eine geometrische Folge entsteht, indem jedes Glied mit einer Konstanten multipliziert (oder dividiert) wird – dem Quotienten (common ratio). Die binäre Stellenwertfolge (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) veranschaulicht einen Quotienten von 2.

Zusammenfassung der wichtigsten Formeln

Arithmetische Folge: a_n = a₁ + (n−1)·d | Summe: A_n = n/2 · (a₁ + a_n)
Geometrische Folge: a_n = a₁ · rⁿ⁻¹ | Summe: A_n = a₁ · (1−rⁿ)/(1−r) für r ≠ 1

Die Mitternachtsformel: Zuverlässiges Werkzeug zum Lösen quadratischer Gleichungen Fakultäten verstehen: Definition, Beispiele und Sonderfälle

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