Beispiele zur Vereinfachung der Schaltung

Beginnen wir mit einer Halbleiter-Gate-Schaltung, die einer Vereinfachung bedarf.

Es wird angenommen, dass die Eingangssignale „A“, „B“ und „C“ von Schaltern, Sensoren oder möglicherweise anderen Gatterschaltungen bereitgestellt werden.

Woher diese Signale stammen, spielt bei der Gate-Reduktion keine Rolle.

Wie man einen booleschen Ausdruck schreibt, um Schaltungen zu vereinfachen

Unser erster Schritt zur Vereinfachung muss darin bestehen, einen booleschen Ausdruck für diese Schaltung zu schreiben.

Diese Aufgabe wird einfach Schritt für Schritt durchgeführt, wenn wir damit beginnen, Unterausdrücke am Ausgang jedes Gatters zu schreiben, die den jeweiligen Eingangssignalen für jedes Gatter entsprechen.

Denken Sie daran, dass ODER-Gatter der Booleschen Addition äquivalent sind, während UND-Gatter der Booleschen Multiplikation äquivalent sind.

Zum Beispiel schreibe ich Unterausdrücke an den Ausgängen der ersten drei Gatter:

. . . dann ein weiterer Unterausdruck für das nächste Tor:

Schließlich ist die Ausgabe („Q“) gleich dem Ausdruck AB + BC(B + C):

Da wir nun einen booleschen Ausdruck haben, mit dem wir arbeiten können, müssen wir die Regeln der booleschen Algebra anwenden, um den Ausdruck auf seine einfachste Form zu reduzieren (am einfachsten so definiert, dass die Implementierung der wenigsten Gatter erforderlich ist):

Der endgültige Ausdruck B(A + C) ist viel einfacher als das Original, führt aber dieselbe Funktion aus.

Wenn Sie dies überprüfen möchten, können Sie für beide Ausdrücke eine Wahrheitstabelle erstellen und den Status von Q (den Ausgang der Schaltungen) für alle acht Logikzustandskombinationen von A, B und C für beide Schaltungen bestimmen. Die beiden Wahrheitstabellen sollten identisch sein.

Erzeugen von schematischen Diagrammen aus booleschen Ausdrücken

Nun müssen wir aus diesem booleschen Ausdruck ein schematisches Diagramm generieren.

Um dies zu tun, werten Sie den Ausdruck aus, indem Sie der richtigen mathematischen Reihenfolge der Operationen folgen (Multiplikation vor der Addition, Operationen in Klammern vor allem anderen) und zeichnen Sie Gatter für jeden Schritt.

Denken Sie noch einmal daran, dass ODER-Gatter der Booleschen Addition äquivalent sind, während UND-Gatter der Booleschen Multiplikation äquivalent sind.

In diesem Fall würden wir mit dem Unterausdruck „A + C“ beginnen, der ein ODER-Gatter ist:

Der nächste Schritt bei der Auswertung des Ausdrucks „B(A + C)“ besteht darin, das Signal B mit dem Ausgang des vorherigen Gatters (A + C) zu multiplizieren (UND-Gatter):

Offensichtlich ist diese Schaltung viel einfacher als das Original, da sie nur zwei statt fünf Logikgatter hat.

Eine solche Komponentenreduzierung führt zu einer höheren Betriebsgeschwindigkeit (weniger Verzögerungszeit vom Übergang des Eingangssignals zum Übergang des Ausgangssignals), weniger Stromverbrauch, geringeren Kosten und größerer Zuverlässigkeit.

So verwenden Sie die boolesche Vereinfachung für elektromechanische Relaisschaltungen

Elektromechanische Relaisschaltungen, die in der Regel langsamer sind, mehr Strom für den Betrieb verbrauchen, mehr kosten und eine kürzere durchschnittliche Lebensdauer als ihre Halbleiter-Gegenstücke haben, profitieren dramatisch von der booleschen Vereinfachung. Betrachten wir eine Beispielschaltung:

Wie zuvor muss unser erster Schritt zur Reduzierung dieser Schaltung auf ihre einfachste Form darin bestehen, einen booleschen Ausdruck aus dem Schaltplan zu entwickeln.

Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, die gleichen Schritte zu befolgen, die ich normalerweise befolgen würde, um ein Reihen-Parallel-Widerstandsnetzwerk auf einen einzigen Gesamtwiderstand zu reduzieren.

Untersuchen Sie beispielsweise das folgende Widerstandsnetzwerk mit seinen Widerständen, die im gleichen Anschlussmuster wie die Relaiskontakte in der vorherigen Schaltung angeordnet sind, und der entsprechenden Gesamtwiderstandsformel:

In der obigen Abbildung wird ein langer Strich (—) verwendet, um die Reihenschaltung von Widerständen darzustellen.

Denken Sie daran, dass parallele Kontakte einer booleschen Addition entsprechen, während Reihenkontakte einer booleschen Multiplikation entsprechen.

Schreiben Sie einen booleschen Ausdruck für diese Relaiskontaktschaltung und folgen Sie derselben Rangfolge, die Sie bei der Reduzierung eines Reihen-Parallel-Widerstandsnetzwerks auf einen Gesamtwiderstand befolgen würden.

Es kann hilfreich sein, einen booleschen Unterausdruck links von jeder Leitersprosse zu schreiben, um das Schreiben von Ausdrücken zu organisieren:

Da wir nun einen booleschen Ausdruck haben, mit dem wir arbeiten können, müssen wir die Regeln der booleschen Algebra anwenden, um den Ausdruck auf seine einfachste Form zu reduzieren (am einfachsten so definiert, dass er die wenigsten Relaiskontakte zur Implementierung benötigt):

Der Mathematiker sollte erkennen, dass die beiden Schritte mit der Regel „A + AB =A“ zu einem einzigen Schritt zusammengefasst werden können, der erweitert werden kann zu:„A + AB + AC + AD + . . . =A”

Wie Sie sehen, ist die reduzierte Schaltung viel einfacher als das Original, führt jedoch die gleiche logische Funktion aus:

RÜCKBLICK:

• Um eine Gatterschaltung in einen booleschen Ausdruck umzuwandeln, beschriften Sie jeden Gatterausgang mit einem booleschen Unterausdruck, der den Eingangssignalen der Gatter entspricht, bis am letzten Gatter ein endgültiger Ausdruck erreicht ist.
• Um einen booleschen Ausdruck in eine Gatterschaltung umzuwandeln, werten Sie den Ausdruck mit der Standardreihenfolge der Operationen aus:Multiplikation vor Addition und Operationen in Klammern vor allem anderen.
• Um eine Kontaktplanschaltung in einen booleschen Ausdruck umzuwandeln, beschriften Sie jede Sprosse mit einem booleschen Unterausdruck, der den Eingangssignalen der Kontakte entspricht, bis ein endgültiger Ausdruck an der letzten Spule oder am letzten Licht erreicht ist. Um die richtige Auswertungsreihenfolge zu bestimmen, behandeln Sie die Kontakte so, als ob sie Widerstände wären, und als ob Sie den Gesamtwiderstand des von ihnen gebildeten Reihen-Parallel-Netzwerks bestimmen würden. Mit anderen Worten, suchen Sie nach Kontakten, die entweder direkt . sind in Serie oder direkt zuerst parallel zueinander und dann in äquivalente boolesche Unterausdrücke "zusammenklappen", bevor Sie mit anderen Kontakten fortfahren.
• Um einen booleschen Ausdruck in eine Ladder-Logic-Schaltung umzuwandeln, werten Sie den Ausdruck mit der Standardreihenfolge der Operationen aus:Multiplikation vor Addition und Operationen in Klammern vor allem anderen.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt für Summen von Produkten und Produkt-von-Summen-Ausdrücken
• Arbeitsblatt zur Booleschen Algebra