Boolesche Regeln zur Vereinfachung

Die Boolesche Algebra findet ihre praktischste Anwendung bei der Vereinfachung von Logikschaltungen.

Wenn wir die Funktion einer Logikschaltung in eine symbolische (Boolesche) Form übersetzen und bestimmte algebraische Regeln auf die resultierende Gleichung anwenden, um die Anzahl der Terme und/oder arithmetischen Operationen zu reduzieren, kann die vereinfachte Gleichung wieder in eine Schaltungsform für eine Logikschaltung übersetzt werden, die die gleiche Funktion mit weniger Komponenten.

Wenn eine gleichwertige Funktion mit weniger Komponenten erreicht werden kann, führt dies zu einer höheren Zuverlässigkeit und niedrigeren Herstellungskosten.

Zu diesem Zweck werden in diesem Abschnitt mehrere Regeln der Booleschen Algebra vorgestellt, die verwendet werden können, um Ausdrücke auf ihre einfachsten Formen zu reduzieren.

Die bereits in diesem Kapitel besprochenen Identitäten und Eigenschaften sind bei der booleschen Vereinfachung sehr nützlich und weisen größtenteils Ähnlichkeiten mit vielen Identitäten und Eigenschaften der „normalen“ Algebra auf.

Die in diesem Abschnitt gezeigten Regeln sind jedoch alle einzigartig in der Booleschen Mathematik.

Diese Regel kann symbolisch bewiesen werden, indem man ein „A“ aus den beiden Termen herauszieht und dann die Regeln von A + 1 =1 und 1A =A anwendet, um das Endergebnis zu erhalten:

Bitte beachten Sie, wie die Regel A + 1 =1 verwendet wurde, um den (B + 1)-Term auf 1 zu reduzieren.

Wenn eine Regel wie „A + 1 =1“ mit dem Buchstaben „A“ ausgedrückt wird, bedeutet dies nicht, dass sie nur für Ausdrücke gilt, die „A“ enthalten.

Wofür das „A“ in einer Regel wie A + 1 =1 steht, ist eine beliebige boolesche Variable oder eine Sammlung von Variablen.

Dies ist vielleicht das schwierigste Konzept, das neue Studenten in der booleschen Vereinfachung beherrschen:Anwenden standardisierter Identitäten, Eigenschaften und Regeln auf Ausdrücke, die nicht in Standardform vorliegen.

Zum Beispiel reduziert sich der boolesche Ausdruck ABC + 1 auch auf 1 durch die Identität „A + 1 =1“.

In diesem Fall erkennen wir an, dass der Begriff „A“ in der Standardform der Identität den gesamten Begriff „ABC“ im ursprünglichen Ausdruck darstellen kann.

Die nächste Regel sieht ähnlich aus wie die erste, die in diesem Abschnitt gezeigt wird, ist aber tatsächlich ganz anders und erfordert einen clevereren Beweis:

Beachten Sie, wie die letzte Regel (A + AB =A) verwendet wird, um den ersten „A“-Term im Ausdruck „zu entvereinfachen“, indem das „A“ in ein „A + AB“ geändert wird.

Auch wenn dies wie ein Rückschritt erscheinen mag, hat es sicherlich dazu beigetragen, den Ausdruck auf etwas Einfacheres zu reduzieren!

Manchmal müssen wir in der Mathematik „rückwärts“ gehen, um die eleganteste Lösung zu finden.

Zu wissen, wann man einen solchen Schritt tun sollte und wann nicht, gehört zur Kunstform der Algebra, so wie ein Sieg in einer Schachpartie fast immer kalkulierte Opfer erfordert.

Eine andere Regel beinhaltet die Vereinfachung eines Produkt-von-Summen-Ausdrucks:

Und der entsprechende Beweis:

Zusammenfassend sind hier die drei neuen Regeln der booleschen Vereinfachung, die in diesem Abschnitt erläutert werden:

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt zur Booleschen Algebra