Mesh aktuelle Methode und Analyse

Die Mesh-Current-Methode , auch bekannt als Loop Current Method , ist der Branch-Current-Methode insofern sehr ähnlich, als sie simultane Gleichungen, das Kirchhoffsche Spannungsgesetz und das Ohmsche Gesetz verwendet, um unbekannte Ströme in einem Netzwerk zu bestimmen. Es unterscheidet sich von der Branch Current-Methode dadurch, dass es nicht Verwenden Sie das Kirchhoffsche Stromgesetz, und es ist normalerweise in der Lage, eine Schaltung mit weniger unbekannten Variablen und weniger gleichzeitigen Gleichungen zu lösen, was besonders schön ist, wenn Sie gezwungen sind, ohne Taschenrechner zu lösen.

Mesh Current, konventionelle Methode

Sehen wir uns an, wie diese Methode bei demselben Beispielproblem funktioniert:

Schleifen identifizieren

Der erste Schritt bei der Mesh-Current-Methode besteht darin, „Schleifen“ innerhalb der Schaltung zu identifizieren, die alle Komponenten umfasst. In unserer Beispielschaltung ist die von B₁ . gebildete Schleife , R₁ , und R₂ wird die erste sein, während die Schleife von B₂ . gebildet wird , R₂ , und R₃ wird der zweite sein. Der seltsamste Teil der Mesh-Current-Methode besteht darin, sich zirkulierende Ströme in jeder der Schleifen vorzustellen. Tatsächlich hat diese Methode ihren Namen von der Idee, dass diese Ströme zwischen Schleifen wie Sätze von sich drehenden Zahnrädern ineinandergreifen:

Die Wahl der Richtung jedes Stroms ist völlig willkürlich, genau wie bei der Branch Current-Methode, aber die resultierenden Gleichungen sind einfacher zu lösen, wenn die Ströme durch sich schneidende Komponenten in die gleiche Richtung fließen (beachten Sie, wie Ströme I₁ und ich₂ gehen beide nach oben durch den Widerstand R₂ , wo sie „ineinandergreifen“ oder sich überschneiden). Wenn die angenommene Richtung eines Maschenstroms falsch ist, hat die Antwort für diesen Strom einen negativen Wert.

Beschrifte die Polaritäten des Spannungsabfalls

Der nächste Schritt besteht darin, alle Polaritäten des Spannungsabfalls an den Widerständen entsprechend den angenommenen Richtungen der Maschenströme zu beschriften. Denken Sie daran, dass das „vorgelagerte“ Ende eines Widerstands immer negativ und das „vorgelagerte“ Ende eines Widerstands positiv zueinander ist, da Elektronen negativ geladen sind. Die Batteriepolaritäten werden natürlich durch ihre Symbolorientierungen im Diagramm bestimmt und können mit den Widerstandspolaritäten (angenommene Stromrichtungen) „übereinstimmen“ oder nicht:

Mit dem Spannungsgesetz von Kirchhoff können wir nun jede dieser Schleifen umgehen und Gleichungen erzeugen, die die Spannungsabfälle und Polaritäten der Komponenten darstellen. Wie bei der Branch Current-Methode bezeichnen wir den Spannungsabfall eines Widerstands als Produkt des Widerstands (in Ohm) und seines jeweiligen Maschenstroms (diese Größe ist zu diesem Zeitpunkt unbekannt). Wenn zwei Ströme ineinandergreifen, schreiben wir diesen Begriff in die Gleichung, wobei der Widerstandsstrom die Summe ist der beiden Eingriffsströme.

Verfolgen der linken Schleife der Schaltung mit Gleichungen

Die linke Schleife der Strecke abfahren, ausgehend von der oberen linken Ecke und gegen den Uhrzeigersinn (die Wahl der Startpunkte und Richtungen ist letztendlich irrelevant), die Polarität zählen, als ob wir ein Voltmeter in der Hand hätten, rotes Kabel auf den Punkt vor uns und schwarzes Blei an der Spitze dahinter, erhalten wir diese Gleichung:

Beachten Sie, dass der mittlere Term der Gleichung die Summe der Maschenströme I₁ . verwendet und ich₂ als Strom durch den Widerstand R₂ . Dies liegt daran, dass die Netzströme I₁ und ich₂ gehen in die gleiche Richtung durch R₂ , und ergänzen sich somit gegenseitig. Verteilen des Koeffizienten von 2 auf I₁ und ich₂ Terme und dann Kombinieren von I₁ Terme in der Gleichung können wir so vereinfachen:

Zu diesem Zeitpunkt haben wir eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Um nach zwei unbekannten Maschenströmen auflösen zu können, müssen wir zwei Gleichungen haben. Wenn wir die andere Schleife der Schaltung verfolgen, können wir eine andere KVL-Gleichung erhalten und haben genügend Daten, um nach den beiden Strömen aufzulösen. Ich bin ein Gewohnheitstier, ich fange in der oberen linken Ecke der rechten Schleife an und folge gegen den Uhrzeigersinn:

Wenn wir die Gleichung wie zuvor vereinfachen, erhalten wir:

Auflösung für das Unbekannte

Mit zwei Gleichungen können wir nun eine von mehreren Methoden verwenden, um die unbekannten Ströme I₁ . mathematisch aufzulösen und ich₂ :

Schaltung neu zeichnen

Zu wissen, dass diese Lösungen Werte für mesh sind Ströme, nicht Zweig Ströme, müssen wir zu unserem Diagramm zurückkehren, um zu sehen, wie sie zusammenpassen, um Ströme durch alle Komponenten zu geben:

Die Lösung von -1 Ampere für I₂ bedeutet, dass wir zunächst von einer falschen Stromrichtung ausgegangen sind. Tatsächlich, I₂ fließt gegen den Uhrzeigersinn bei einem Wert von (positiv) 1 Ampere:

Diese Änderung der Stromrichtung gegenüber der zuerst angenommenen ändert die Polarität der Spannungsabfälle an R₂ und R₃ wegen Strom I₂ . Von hier aus können wir sagen, dass der Strom durch R₁ beträgt 5 Ampere, mit dem Spannungsabfall über R₁ ist das Produkt aus Strom und Widerstand (E=IR), 20 Volt (links positiv und rechts negativ).

Außerdem können wir mit Sicherheit sagen, dass der Strom durch R₃ 1 Ampere, mit einem Spannungsabfall von 1 Volt (E=IR), links positiv und rechts negativ. Aber was passiert bei R₂ ?

Maschenstrom I₁ geht „abwärts“ durch R₂ , während Maschenstrom I₂ geht „aufwärts“ durch R₂ . Um den tatsächlichen Strom durch R₂ . zu bestimmen , wir müssen sehen, wie die Maschenströme I₁ und ich₂ interagieren (in diesem Fall sind sie in Opposition) und addieren sie algebraisch, um einen endgültigen Wert zu erhalten. Da ich₁ geht bei 5 Ampere "ab" und I₂ geht mit 1 Ampere „auf“, das echte Strom durch R₂ muss ein Wert von 4 Ampere sein, nach unten gehend:

Ein Strom von 4 Ampere durch R₂ Der Widerstand von 2 ergibt einen Spannungsabfall von 8 Volt (E=IR), oben positiv und unten negativ.

Vorteil der Netzstromanalyse

Der Hauptvorteil der Mesh Current-Analyse besteht darin, dass sie im Allgemeinen die Lösung eines großen Netzwerks mit weniger unbekannten Werten und weniger gleichzeitigen Gleichungen ermöglicht. Unser Beispielproblem benötigte drei Gleichungen, um die Branch Current-Methode zu lösen, und nur zwei Gleichungen, die die Mesh-Current-Methode verwendet. Dieser Vorteil ist umso größer, je komplexer die Netzwerke werden:

Um dieses Netzwerk mit Zweigströmen zu lösen, müssten wir fünf Variablen festlegen, um jeden einzelnen Strom in der Schaltung zu berücksichtigen (I₁ bis I₅ ). Dies würde fünf Gleichungen für die Lösung erfordern, in Form von zwei KCL-Gleichungen und drei KVL-Gleichungen (zwei Gleichungen für KCL an den Knoten und drei Gleichungen für KVL in jeder Schleife):

Ich nehme an, wenn Sie mit Ihrer Zeit nichts Besseres zu tun haben, als nach fünf unbekannten Variablen mit fünf Gleichungen aufzulösen, könnte es Ihnen nichts ausmachen, die Branch Current-Analysemethode für diese Schaltung zu verwenden. Für diejenigen von uns, die haben Bessere Dinge mit unserer Zeit zu tun, ist die Mesh Current-Methode viel einfacher und erfordert nur drei Unbekannte und drei Gleichungen zum Lösen:

Weniger zu bearbeitende Gleichungen sind ein entscheidender Vorteil, insbesondere wenn eine gleichzeitige Gleichungslösung von Hand (ohne Taschenrechner) durchgeführt wird.

Unausgeglichene Wheatstone-Brücke

Eine andere Art von Schaltung, die sich gut für Mesh Current eignet, ist die unsymmetrische Wheatstone-Brücke. Nehmen Sie zum Beispiel diese Schaltung:

Da die Verhältnisse von R₁ /R₄ und R₂ /R₅ ungleich sind, wissen wir, dass die Spannung am Widerstand R₃ . anliegt , und eine gewisse Menge an Strom durch. Wie zu Beginn dieses Kapitels besprochen, ist diese Art von Schaltung durch normale Serien-Parallel-Analyse irreduzibel und kann nur mit einer anderen Methode analysiert werden.

Wir könnten die Branch Current-Methode auf diese Schaltung anwenden, aber dafür wären sechs Ströme (I₁ bis I₆ ), was zu einem sehr großen Satz gleichzeitig zu lösender Gleichungen führt. Mit der Mesh Current-Methode können wir jedoch für alle Ströme und Spannungen mit viel weniger Variablen auflösen.

Netz zeichnen

Der erste Schritt bei der Mesh-Current-Methode besteht darin, gerade genug Mesh-Ströme zu ziehen, um alle Komponenten in der Schaltung zu berücksichtigen. Wenn man sich unsere Brückenschaltung ansieht, sollte es offensichtlich sein, wo zwei dieser Ströme platziert werden:

Die Richtungen dieser Maschenströme sind natürlich willkürlich. Zwei Maschenströme reichen in dieser Schaltung jedoch nicht aus, da weder I₁ noch I₂ geht durch die Batterie. Wir müssen also einen dritten Maschenstrom hinzufügen, I₃ :

Hier habe ich I₃ gewählt zum Loopen von der Unterseite des Akkus durch R₄ , bis R₁ , und zurück zur Oberseite des Akkus. Dies ist nicht der einzige Weg, den ich für I₃ hätte wählen können , aber es scheint am einfachsten zu sein.

Beschriften Sie die Polaritäten des Spannungsabfalls des Widerstands

Jetzt müssen wir die Polaritäten des Spannungsabfalls des Widerstands beschriften, indem wir jeder der angenommenen Stromrichtungen folgen:

Beachten Sie hier etwas sehr Wichtiges:am Widerstand R₄ stimmen die Polaritäten für die jeweiligen Maschenströme nicht überein. Dies liegt daran, dass diese Netzströme (I₂ und ich₃ ) durchlaufen R₄ in verschiedene Richtungen. Dies schließt die Verwendung der Analysemethode Mesh Current nicht aus, verkompliziert sie jedoch ein wenig. Später werden wir jedoch zeigen, wie man den R₄ . vermeidet aktuellen Zusammenstoß. (Siehe Beispiel unten)

KVL verwenden

Generieren einer KVL-Gleichung für die oberste Schleife der Brücke, ausgehend vom obersten Knoten und im Uhrzeigersinn verfolgend:

In dieser Gleichung repräsentieren wir die gemeinsamen Richtungen von Strömen durch ihre Summen durch gemeinsame Widerstände. Zum Beispiel Widerstand R₃ , mit einem Wert von 100 Ω, hat seinen Spannungsabfall in der obigen KVL-Gleichung durch den Ausdruck 100(I₁ + I₂ ), da beide Ströme I₁ und ich₂ gehe durch R₃ von rechts nach links. Das gleiche gilt für den Widerstand R₁ , wobei der Spannungsabfallausdruck als 150(I₁ + I₃ ), da beide I₁ und ich₃ gehe von unten nach oben durch diesen Widerstand und arbeite so zusammen um seinen Spannungsabfall zu erzeugen.

Das Generieren einer KVL-Gleichung für die untere Schleife der Brücke wird nicht so einfach sein, da wir zwei Ströme haben, die durch den Widerstand R₄ . gegeneinander laufen . So mache ich es (beginne am rechten Knoten und gehe gegen den Uhrzeigersinn):

Beachten Sie, dass der zweite Term in der ursprünglichen Form der Gleichung den Widerstand R₄ . hat 's Wert von 300 Ω multipliziert mit der Differenz zwischen I₂ und ich₃ (I₂ - I₃ ). Auf diese Weise stellen wir den kombinierten Effekt zweier Maschenströme dar, die in entgegengesetzte Richtungen durch dieselbe Komponente fließen. Die Wahl der passenden mathematischen Zeichen ist hier sehr wichtig:300(I₂ - I₃ ) bedeutet nicht dasselbe wie 300(I₃ - I₂ ). Ich habe mich entschieden, 300 zu schreiben (I₂ - I₃ ) weil ich zuerst an I₂ . dachte Wirkung (Erzeugung eines positiven Spannungsabfalls, Messung mit einem imaginären Voltmeter über R₄ , rotes Blei unten und schwarzes Blei oben) und sekundär von I₃ s-Effekt (erzeugt einen negativen Spannungsabfall, rotes Kabel unten und schwarzes Kabel oben). Wenn ich in Bezug auf I₃ gedacht hätte Wirkung zuerst und I₂ sekundär, wenn ich meine imaginären Voltmeter-Leitungen in den gleichen Positionen hielt (rot unten und schwarz oben), wäre der Ausdruck -300(I₃ - I₂ ). Beachten Sie, dass dieser Ausdruck ist mathematisch äquivalent zum ersten:+300(I₂ - I₃ ).

Nun, das kümmert sich um zwei Gleichungen, aber ich brauche noch eine dritte Gleichung, um meinen simultanen Gleichungssatz von drei Variablen, drei Gleichungen, zu vervollständigen. Diese dritte Gleichung muss auch die Spannung der Batterie beinhalten, die bis zu diesem Punkt in keiner der beiden vorherigen KVL-Gleichungen auftaucht. Um diese Gleichung zu generieren, zeichne ich mit meinem imaginären Voltmeter erneut eine Schleife, beginnend am unteren (negativen) Pol der Batterie, im Uhrzeigersinn (wiederum ist die Richtung, in die ich gehe, willkürlich und muss nicht mit der Richtung übereinstimmen.) des Maschenstroms in dieser Schleife):

Auflösung für die Ströme

Auflösen nach I₁ , I₂ , und ich₃ mit der von uns bevorzugten simultanen Gleichungsmethode:

Beispiel: Verwenden Sie Octave, um die Lösung für I₁ . zu finden , I₂ , und ich₃ aus der oben vereinfachten Form von Gleichungen.

Lösung: Geben Sie in Octave, einem Open-Source-Matlab®-Klon, die Koeffizienten in die A-Matrix zwischen eckigen Klammern mit durch Kommas getrennten Spaltenelementen und durch Semikolons getrennten Zeilen ein. Tragen Sie die Spannungen in den Spaltenvektor ein:b. Die unbekannten Ströme:I₁ , ₂ , und ich₃ werden durch den Befehl berechnet:x=A\b. Diese sind im x-Spaltenvektor enthalten.

unsymmetrische Wheatstone-Brücke v1 1 0 r1 1 2 150 r2 1 3 50 r3 2 3 100 r4 2 0 300 r5 3 0 250 .dc v1 24 24 1 .print dc v(1,2) v(1,3) v(3,2) v(2,0) v(3,0) .Ende v1 v(1,2) v(1,3) v(3,2) v(2) v(3) 2.400E+01 6.345E+00 4.690E+00 1.655E+00 1.766E+01 1.931E+01