Gleichungssysteme meistern: Substitutions- und Additionsverfahren Schritt für Schritt

Was sind simultane Gleichungen und Gleichungssysteme?

Die Begriffe simultane Gleichungen und Gleichungssysteme beschreiben Situationen, in denen zwei oder mehr unbekannte Variablen durch gleich viele Gleichungen miteinander verknüpft sind.

Beispiel:

Für dieses Gleichungssystem existiert genau eine Wertekombination für x und y, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Jede Gleichung für sich genommen hat unendlich viele Lösungen (x,y), aber gemeinsam gibt es nur eine einzige Lösung. Grafisch wird dies deutlich:

Jede Gerade stellt ein Kontinuum von Punktepaaren dar, die die jeweilige Gleichung lösen. Der Schnittpunkt der beiden linearen Funktionen x + y = 24 und 2x - y = -6 liegt bei x = 6 und y = 18.

Das grafische Lösen ist jedoch bei größeren Systemen unpraktisch – insbesondere ab drei Variablen, wo sich drei Ebenen im dreidimensionalen Raum schneiden würden.

Lösen mit dem Substitutionsverfahren

Das Substitutionsverfahren ist oft der intuitivste Einstieg.

Zweivariablen-Beispiel

Schritt 1: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen:

Schritt 2: Diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen:

Schritt 3: Die resultierende Gleichung mit nur einer Variablen lösen:

Schritt 4: Den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen (oder die umgestellte) einsetzen:

Erweiterung auf drei Variablen

Das Prinzip bleibt gleich, der Rechenaufwand steigt. Beispiel:

Da die erste Gleichung die einfachsten Koeffizienten hat (1, −1, 1), lösen wir sie nach x auf:

Diesen Ausdruck setzen wir in die anderen beiden Gleichungen ein:

Nach Vereinfachung erhalten wir ein Zweier-System:

Nun wenden wir Substitution erneut an: erste Gleichung nach z auflösen:

Einsetzen in die zweite Gleichung:

Daraus folgt y = 4. Rücksubstitution ergibt z = 12 und schließlich x = 2.

Lösen mit dem Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)

Beim Additionsverfahren werden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt.

Einfaches Beispiel

Addieren wir die beiden Gleichungen links- und rechtsseitig:

Übrig bleibt 3x = 18, also x = 6:

y ergibt sich durch Einsetzen in eine der Originalgleichungen zu y = 18.

Fall mit notwendiger Vorvervielfachung

Einfaches Addieren bringt keine Vereinfachung:

Lösung: Die untere Gleichung mit −2 multiplizieren, damit sich die y-Terme aufheben:

Addition mit der oberen Gleichung:

Daraus: x = 3:

Rücksubstitution liefert y:

Additionsverfahren bei drei Variablen

Analog zum Substitutionsverfahren: System schrittweise auf zwei Gleichungen mit zwei Variablen reduzieren, dann auf eine Gleichung mit einer Variablen.

Die erste Gleichung (Koeffizienten 1, 1, 1) eignet sich gut als Werkzeug. Um 3x in der mittleren Gleichung zu eliminieren, multiplizieren wir die erste mit −3 und addieren:

Für −5x in der unteren Gleichung multiplizieren wir die erste mit 5 und addieren:

Nun haben wir zwei Gleichungen in y und z:

Multiplikation der oberen Gleichung mit 4 eliminiert z:

Daraus: 13y = 52 → y = 4. Rücksubstitution ergibt z = 12 und x = 2.

Weiterführende Arbeitsblätter

• Simultaneous Equations for Circuit Analysis Worksheet