Knotenpotentialmethode meistern für präzise Schaltkreisanalyse

Die Knotenpotentialmethode löst unbekannte Spannungen an Schaltkreisknoten durch ein System von KCL-Gleichungen. Diese Analyse wirkt ungewöhnlich, da sie Spannungsquellen durch äquivalente Stromquellen ersetzt. Auch werden Widerstandswerte in Ohm durch äquivalente Leitwerte in Siemens ersetzt, G = 1/R. Das Siemens (S) ist die Einheit der Leitfähigkeit und hat die veraltete Mho-Einheit abgelöst. Jedenfalls gilt S = Ω⁻¹. Und S = Mho (veraltet).

Methode zur Knotenpotential-Berechnung

Wir starten mit einem Kreis mit konventionellen Spannungsquellen. Ein gemeinsamer Referenzknoten E₀ wird gewählt. Die Knotenpotentiale E₁ und E₂ werden bezüglich dieses Punkts berechnet.

Ersetzen von Spannungsquellen und zugehörigen Reihenschaltern durch äquivalente Stromquellen und Parallelwiderstände ergibt den modifizierten Kreis. Ersetzen Sie Widerstands-Leitwerte in Siemens für Widerstand in Ohm.

 I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
 I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
 G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0,5 S
 G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0,25 S
 G3 = 1/R3 = 1/2,5 Ω = 0,4 S
 G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0,2 S
 G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1,0 S

Die parallelen Leitwerte (Widerstände) können durch Addition der Leitwerte kombiniert werden. Wir werden den Kreis jedoch nicht neu zeichnen. Der Kreis ist bereit für die Anwendung der Knotenpotentialmethode.

 GA = G1 + G2 = 0,5 S + 0,25 S = 0,75 S
 GB = G4 + G5 = 0,2 S + 1 S = 1,2 S

Zur Herleitung einer allgemeinen Knotenpotentialmethode schreiben wir einmalig ein Paar KCL-Gleichungen in Abhängigkeit der unbekannten Knotenpotentiale V₁ und V₂, um ein Muster für das Aufstellen von Gleichungen durch Inspektion zu illustrieren.

 GAE1 + G3(E1 - E2) = I1 (1)
 GBE2 - G3(E1 - E2) = I2 (2)
 (GA + G3)E1 - G3E2 = I1 (1)
 -G3E1 + (GB + G3)E2 = I2 (2)

Die Koeffizienten des letzten Gleichungspaars wurden umgeordnet, um ein Muster zu zeigen. Die Summe der an den ersten Knoten angeschlossenen Leitwerte ist der positive Koeffizient der ersten Spannung in Gleichung (1). Die Summe der an den zweiten Knoten angeschlossenen Leitwerte ist der positive Koeffizient der zweiten Spannung in Gleichung (2). Die anderen Koeffizienten sind negativ und repräsentieren Leitwerte zwischen den Knoten. Für beide Gleichungen ist die rechte Seite gleich der jeweiligen Stromquelle, die mit dem Knoten verbunden ist. Dieses Muster erlaubt das schnelle Aufstellen der Gleichungen durch Inspektion. Dies führt zu einer Regelsammlung für die Knotenpotentialmethode.

Knotenpotential-Regeln:

• Spannungsquellen in Reihe mit einem Widerstand in eine äquivalente Stromquelle mit parallelgeschaltetem Widerstand umwandeln.
• Widerstandswerte in Leitwerte umrechnen.
• Einen Referenzknoten wählen (E₀).
• Unbekannte Spannungen (E₁)(E₂) ... (E_N) den verbleibenden Knoten zuweisen.
• Für jeden Knoten 1,2, ... N eine KCL-Gleichung aufstellen. Der positive Koeffizient der ersten Spannung in der ersten Gleichung ist die Summe der an den Knoten angeschlossenen Leitwerte. Der Koeffizient für die zweite Spannung in der zweiten Gleichung ist die Summe der an jenen Knoten angeschlossenen Leitwerte. Wiederholen für den Koeffizienten der dritten Spannung, dritte Gleichung usw. Diese Koeffizienten liegen auf einer Diagonalen.
• Alle anderen Koeffizienten aller Gleichungen sind negativ und repräsentieren Leitwerte zwischen Knoten. Die erste Gleichung, der zweite Koeffizient ist der Leitwert von Knoten 1 zu Knoten 2, der dritte Koeffizient der Leitwert von Knoten 1 zu Knoten 3. Negative Koeffizienten für andere Gleichungen entsprechend eintragen.
• Die rechte Seite der Gleichungen ist die Stromquelle, die mit dem jeweiligen Knoten verbunden ist.
• Das Gleichungssystem nach den unbekannten Knotenpotentialen lösen.

Beispiel der Knotenpotentialmethode

Beispiel: Gleichungen aufstellen und Knotenpotentiale mit den numerischen Werten der obigen Abbildung lösen.

Lösung:

 (0,5+0,25+0,4)E1 -(0,4)E2 = 5
 -(0,4)E1 +(0,4+0,2+1,0)E2 = -4
 (1,15)E1 -(0,4)E2 = 5
 -(0,4)E1 +(1,6)E2 = -4
 E1 = 3,8095
 E2 = -1,5476

Die Lösung der zwei Gleichungen kann mit einem Taschenrechner oder Octave (nicht gezeigt) erfolgen. Die Lösung wird mit SPICE basierend auf dem ursprünglichen Schaltbild mit Spannungsquellen verifiziert. Zwar hätte der Kreis mit den Stromquellen simuliert werden können.

 V1 11 0 DC 10
 V2 22 0 DC -4
 r1 11 1 2
 r2 1 0 4
 r3 1 2 2,5
 r4 2 0 5
 r5 2 22 1
 .DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1
 .print DC V(1) V(2)
 .end

 v(1) v(2)
 3.809524e+00 -1.547619e+00

Ein weiteres Beispiel mit drei Knoten. Wir listen die Leitwerte nicht im Schaltbild auf. Jedoch gilt G₁ = 1/R₁, usw.

Es gibt drei Knoten, für die wir durch Inspektion Gleichungen aufstellen. Beachten Sie, dass die Koeffizienten positiv sind für Gleichung (1) E₁, Gleichung (2) E₂ und Gleichung (3) E₃. Dies sind die Summen aller an die Knoten angeschlossenen Leitwerte. Alle anderen Koeffizienten sind negativ und repräsentieren einen Leitwert zwischen Knoten. Die rechte Seite der Gleichungen ist die zugehörige Stromquelle, 0,136092 A für die einzige Stromquelle an Knoten 1. Die anderen Gleichungen sind auf der rechten Seite null mangels Stromquellen. Wir sind zu faul, die Leitwerte für die Widerstände im Diagramm zu berechnen. Daher sind die subscripted G's die Koeffizienten.

 (G1 + G2)E1 -G1E2 -G2E3 = 0,136092
 -G1E1 +(G1 + G3 + G4)E2 -G3E3 = 0
 -G2E1 -G3E2 +(G2 + G3 + G5)E3 = 0

Wir sind so faul, dass wir reziproke Widerstände und Summen reziproker Widerstände in die Octave-„A“-Matrix eingeben und Octave die Leitwertmatrix nach „A=“ berechnen lassen. Die initiale Eingabezeile war so lang, dass sie in drei Zeilen aufgeteilt wurde. Dies unterscheidet sich von früheren Beispielen. Die eingegebene „A“-Matrix wird durch beginnende und endende eckige Klammern begrenzt. Spaltenelemente sind durch Leerzeichen getrennt. Zeilen durch „new line“ getrennt. Kommas und Semikolons sind als Separatoren nicht nötig. Zwar wird der Stromvektor bei „b“ semikolon-getrennt, um einen Spaltenvektor der Ströme zu erzeugen.

 octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
 > -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
 > -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
 A =
 0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
 -0.0066667 0.0200000 -0.0100000
 -0.0200000 -0.0100000 0.0340000

 octave:13> b = [0.136092;0;0]
 b =
 0.13609
 0.00000
 0.00000

 octave:14> x=A\b
 x =
 24.000
 17.655
 19.310

Beachten Sie, dass die „A“-Matrix-Diagonalkoeffizienten positiv sind, dass alle anderen Koeffizienten negativ sind.

Der Lösungsvektor als Spannungsvektor liegt bei „x“. E₁ = 24,000 V, E₂ = 17,655 V, E₃ = 19,310 V. Diese drei Spannungen vergleichen sich mit den vorherigen Maschenstrom- und SPICE-Lösungen zum unausgeglichenen Brückenproblem. Dies ist kein Zufall, denn die 0,13609-A-Stromquelle wurde absichtlich so gewählt, dass sie die 24 V liefert, die in jenem Problem als Spannungsquelle diente.

Zusammenfassung

• Gegeben ein Netzwerk aus Leitwerten und Stromquellen löst die Knotenpotentialmethode unbekannte Knotenpotentiale aus KCL-Gleichungen.
• Siehe die obigen Regeln für Details zum Aufstellen der Gleichungen durch Inspektion.
• Die Einheit des Leitwerts G ist das Siemens S. Leitwert ist der Kehrwert des Widerstands: G = 1/R

WEITERFÜHRENDE ARBEITSBLÄTTER:

• Präzise Diodenschaltungen Arbeitsblatt
•  Kirchhoffsche Gesetze Arbeitsblatt