Aktuelle Methode der Verzweigung

Die erste und einfachste Netzwerkanalysetechnik heißt Branch Current Method . Bei dieser Methode gehen wir von Stromrichtungen in einem Netzwerk aus und schreiben dann Gleichungen, die ihre Beziehungen zueinander durch das Kirchhoffsche und das Ohmsche Gesetz beschreiben. Sobald wir für jeden unbekannten Strom eine Gleichung haben, können wir die simultanen Gleichungen lösen und alle Ströme und damit alle Spannungsabfälle im Netz bestimmen.

Lösung mit der Branch Current-Methode

Lassen Sie uns diese Schaltung verwenden, um die Methode zu veranschaulichen:

Einen Knoten auswählen

Der erste Schritt besteht darin, einen Knoten (Verbindung von Drähten) in der Schaltung auszuwählen, der als Bezugspunkt für unsere unbekannten Ströme verwendet wird. Ich wähle den Knoten aus, der sich rechts von R₁ . anschließt , die Spitze von R₂ , und links von R₃ .

Erraten Sie an diesem Knoten, in welche Richtungen die Ströme der drei Drähte verlaufen, und kennzeichnen Sie die drei Ströme als I₁ , I₂ , und ich₃ , bzw. Bedenken Sie, dass diese Stromrichtungen an dieser Stelle spekulativ sind. Wenn sich herausstellt, dass eine unserer Vermutungen falsch war, wissen wir glücklicherweise, wenn wir mathematisch nach den Strömen auflösen (jede „falsche“ Stromrichtung wird in unserer Lösung als negative Zahlen angezeigt).

Anwenden des Kirchhoffschen Gesetzes (KCL)

Das Kirchhoffsche Stromgesetz (KCL) sagt uns, dass die algebraische Summe der Ströme, die in einen Knoten ein- und austreten, gleich Null sein muss, damit wir diese drei Ströme in Beziehung setzen können (I₁ , I₂ , und ich₃ ) zueinander in einer einzigen Gleichung. Aus Gründen der Konvention bezeichne ich jeden aktuellen Eintritt den Knoten mit positivem Vorzeichen und alle aktuellen ausgehenden der Knoten als negatives Vorzeichen:

Alle Spannungsabfälle beschriften

Der nächste Schritt besteht darin, alle Polaritäten des Spannungsabfalls an den Widerständen entsprechend den angenommenen Stromrichtungen zu beschriften. Die Polarität ist positiv, wo der Strom in den Widerstand eintritt und negativ, wo er den Widerstand verlässt:

Die Polaritäten der Batterie bleiben natürlich entsprechend ihrer Symbologie (kurzes Ende negativ, langes Ende positiv). Es ist in Ordnung, wenn die Polarität des Spannungsabfalls eines Widerstands nicht mit der Polarität der nächsten Batterie übereinstimmt, solange die Polarität der Widerstandsspannung korrekt auf der angenommenen Stromrichtung basiert. In einigen Fällen können wir feststellen, dass der Strom zurück gezwungen wird durch eine Batterie, was genau diesen Effekt verursacht. Hier ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass alle Ihre Widerstandspolaritäten und die nachfolgenden Berechnungen auf den ursprünglich angenommenen Stromrichtungen basieren. Wenn Ihre Annahme falsch ist, wird dies, wie bereits erwähnt, nach dem Lösen der Gleichungen (durch eine negative Lösung) offensichtlich. Die Größe der Lösung wird jedoch immer noch korrekt sein.

Anwenden des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes (KVL)

Kirchhoffs Spannungsgesetz (KVL) sagt uns, dass die algebraische Summe aller Spannungen in einer Schleife gleich Null sein muss, damit wir mehr Gleichungen mit Stromtermen erstellen können (I₁ , I₂ , und ich₃ ) für unsere Simultangleichungen. Um eine KVL-Gleichung zu erhalten, müssen wir die Spannungsabfälle in einer Schleife der Schaltung zählen, als würden wir mit einem echten Voltmeter messen. Ich entscheide mich, zuerst die linke Schleife dieser Runde zu verfolgen, beginnend in der oberen linken Ecke und gegen den Uhrzeigersinn (die Wahl der Startpunkte und Richtungen ist willkürlich). Das Ergebnis sieht so aus:

Nachdem wir unsere Spur der linken Schleife abgeschlossen haben, addieren wir diese Spannungsangaben zu einer Summe von Null:

Natürlich wissen wir noch nicht, wie hoch die Spannung an R₁ ist oder R₂ , daher können wir diese Werte an dieser Stelle nicht als Zahlenwerte in die Gleichung einfügen. Aber wir tun wissen, dass sich alle drei Spannungen algebraisch zu Null addieren müssen, also ist die Gleichung wahr. Wir können noch einen Schritt weiter gehen und die unbekannten Spannungen als das Produkt der entsprechenden unbekannten Ströme (I₁ und ich₂ ) und ihre jeweiligen Widerstände nach dem Ohmschen Gesetz (E=IR) sowie die 0-Terme eliminieren:

Da wir die Ohmwerte aller Widerstände kennen, können wir diese Zahlen einfach in die Gleichung einsetzen, um die Dinge ein wenig zu vereinfachen:

Sie fragen sich vielleicht, warum wir uns die Mühe gemacht haben, diese Gleichung von ihrer ursprünglichen Form (-28 + E_R2 + E_R1 ). Schließlich sind die letzten beiden Terme noch unbekannt. Welchen Vorteil hat es also, sie in unbekannten Spannungen oder als unbekannten Strömen (multipliziert mit Widerständen) auszudrücken? Der Zweck dabei ist, die KVL-Gleichung unter Verwendung der gleichen unbekannten Variablen auszudrücken B. die KCL-Gleichung, denn dies ist eine notwendige Voraussetzung für jedes Verfahren zur Lösung simultaner Gleichungen. Um nach drei unbekannten Strömen aufzulösen (I₁ , I₂ , und ich₃ ), müssen wir drei Gleichungen haben, die diese drei Ströme in Beziehung setzen (nicht Spannungen !) zusammen.

Wenn wir die gleichen Schritte auf die rechte Schleife der Schaltung anwenden (beginnend am ausgewählten Knoten und gegen den Uhrzeigersinn), erhalten wir eine weitere KVL-Gleichung:

Jetzt wissen, dass die Spannung an jedem Widerstand sein kann und so sollte ausgedrückt als Produkt aus dem entsprechenden Strom und dem (bekannten) Widerstand jedes Widerstands, können wir die Gleichung so umschreiben:

Auflösung für das Unbekannte

Jetzt haben wir ein mathematisches System aus drei Gleichungen (eine KCL-Gleichung und zwei KVL-Gleichungen) und drei Unbekannten:

Bei einigen Lösungsmethoden (insbesondere bei allen Methoden, die einen Taschenrechner verwenden) ist es hilfreich, jeden unbekannten Term in jeder Gleichung mit einem konstanten Wert rechts vom Gleichheitszeichen und mit allen „Einheits“-Termen auszudrücken, die mit einem expliziten Koeffizienten ausgedrückt werden von 1. Schreiben Sie die Gleichungen noch einmal um, wir haben:

Mit allen uns zur Verfügung stehenden Lösungstechniken sollten wir eine Lösung für die drei unbekannten Stromwerte finden:

Also, ich₁ ist 5 Ampere, I₂ ist 4 Ampere und I₃ ist ein negatives 1 Ampere. Aber was bedeutet „negativer“ Strom? In diesem Fall bedeutet dies, dass unsere angenommene Richtung für I₃ war das Gegenteil von seinem echten Richtung. Zurück zu unserer ursprünglichen Schaltung können wir den Strompfeil für I₃ . neu zeichnen (und zeichne die Polarität von R₃ . neu Spannungsabfall von ihm passend):

Die Strecke neu zeichnen

Beachten Sie, wie der Strom durch die Batterie 2 nach hinten gedrückt wird (Elektronen fließen „nach oben“) aufgrund der höheren Spannung von Batterie 1 (deren Strom wie gewohnt nach „unten“ zeigt)! Trotz der Tatsache, dass die Polarität von Batterie B2 versucht, Elektronen in diesem Zweig des Stromkreises nach unten zu drücken, werden Elektronen aufgrund der höheren Spannung von Batterie B1 zurückgedrängt. Bedeutet dies, dass immer die stärkere Batterie „gewinnt“ und die schwächere Batterie immer nach hinten mit Strom durchströmt wird? Nein! Es hängt tatsächlich von den relativen Spannungen der Batterien und . ab die Widerstandswerte in der Schaltung. Der einzige sichere Weg, um festzustellen, was vor sich geht, besteht darin, sich die Zeit zu nehmen, das Netzwerk mathematisch zu analysieren.

Berechnen Sie den Spannungsabfall über alle Widerstände hinweg

Da wir nun die Größe aller Ströme in dieser Schaltung kennen, können wir die Spannungsabfälle über alle Widerstände mit dem Ohmschen Gesetz (E=IR) berechnen:

Netzwerk mit SPICE analysieren

Lassen Sie uns nun dieses Netzwerk mit SPICE analysieren, um unsere Spannungswerte zu überprüfen. Wir könnten auch den Strom mit SPICE analysieren, aber da dies das Einfügen zusätzlicher Komponenten in die Schaltung erfordert und wir wissen, dass die Ströme müssen alle gleich sind, entscheide ich mich für die weniger komplexe Analyse. Hier ist eine Neuzeichnung unserer Schaltung, komplett mit Knotennummern für SPICE als Referenz: