Zweigstrom-Methode: Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Lösung von Schaltkreisen

Die Zweigstrom-Methode ist die direkteste Technik zur Analyse linearer elektrischer Netzwerke. Indem man den in jedem Zweig fließenden Strömen Richtungen zuweist und die Kirchhoffschen Gesetze anwendet, kann man ein System simultaner Gleichungen formulieren, das jeden Strom und folglich jeden Spannungsfall im Kreis liefert.

Lösung mit der Zweigstrom-Methode

Unten sehen Sie ein praktisches Beispiel, das den gesamten Prozess durchläuft.

Knoten wählen

Der erste Schritt ist die Wahl eines Referenzknotens – der Verbindungspunkt, an dem die rechte Seite von R₁, die Oberseite von R₂ und die linke Seite von R₃ zusammentreffen. Dieser Knoten dient als Anker für alle nachfolgenden Gleichungen.

An diesem Knoten weisen wir den drei Zweigströmen vorläufig Richtungen zu, bezeichnet als I₁, I₂ und I₃. Diese Richtungen sind spekulativ; jede falsche Annahme offenbart sich als negativer Wert in der Endlösung.

Kirchhoffsches Stromgesetz (KCL) anwenden

KCL besagt, dass die algebraische Summe der in einen Knoten ein- und austretenden Ströme null sein muss. Für unseren gewählten Knoten betrachten wir eintretende Ströme als positiv und austretende als negativ:

Alle Spannungsfälle kennzeichnen

Als Nächstes weisen wir Spannungsfall-Polaritäten an jedem Widerstand basierend auf den angenommenen Stromrichtungen zu. Die positive Polarität liegt dort, wo Strom in den Widerstand eintritt; die negative, wo er austritt:

Batterie-Polaritäten bleiben wie durch ihre Symbole angegeben (kurzes Ende negativ, langes Ende positiv). Es ist akzeptabel, wenn die Spannungspolarität eines Widerstands von der einer nahen Batterie abweicht – solange die Widerstandspolarität der angenommenen Stromrichtung entspricht. Falsche Stromannahmen zeigen sich als negative Lösungen, aber die Beträge bleiben korrekt.

Kirchhoffsches Spannungsgesetz (KVL) anwenden

KVL fordert, dass die algebraische Summe aller Spannungsänderungen entlang jedes geschlossenen Rings null ist. Wir verfolgen den linken Ring gegen den Uhrzeigersinn, beginnend an der linken oberen Ecke:

Die Summation der Spannungsbeiträge ergibt die KVL-Gleichung für den linken Ring:

Da die Widerstandsspannungen zu diesem Stadium unbekannt sind, drücken wir sie als Produkt der zugehörigen Ströme und Widerstände aus (Ohmsches Gesetz, E = IR). Das Einsetzen der bekannten Widerstandswerte vereinfacht die Gleichung:

Wir führen denselben Vorgang für den rechten Ring durch und erhalten eine zweite KVL-Gleichung:

Das Ausdrücken jeder Widerstandsspannung als Produkt aus Strom und Widerstand liefert:

Lösen der Unbekannten

Wir haben nun drei Gleichungen – eine KCL und zwei KVL – mit den drei unbekannten Strömen I₁, I₂ und I₃:

Das Umstellen der Gleichungen, um Konstanten auf der rechten Seite zu isolieren, erleichtert das Lösen:

Das Lösen dieses Systems ergibt:

Somit ist I₁ = 5 A, I₂ = 4 A und I₃ = –1 A. Der negative Wert zeigt an, dass die tatsächliche Richtung von I₃ unserer ursprünglichen Annahme entgegengesetzt ist. Wir können das Diagramm entsprechend korrigieren:

Kreis neu zeichnen

Das aktualisierte Diagramm zeigt Stromfluss entgegen der Orientierung der zweiten Batterie, da die höhere Spannung der ersten Batterie Elektronen rückwärts durch diesen Zweig zwingt. Dieses Ergebnis demonstriert, dass eine stärkere Batterie nicht immer dominiert; die relativen Spannungen und Widerstandswerte bestimmen gemeinsam die finalen Stromrichtungen.

Spannungsfall an allen Widerständen berechnen

Mit den bekannten Stromstärken berechnen wir den Spannungsfall jedes Widerstands mittels Ohmschem Gesetz:

Netzwerk mit SPICE analysieren

Zur Bestätigung unserer analytischen Ergebnisse simulieren wir den Kreis in SPICE. Der folgende Netlist zeigt den Aufbau:

 network analysis example v1 1 0 v2 3 0 dc 7 r1 1 2 4 r2 2 0 2 r3 2 3 1 .dc v1 28 28 1 .print dc v(1,2) v(2,0) v(2,3) .end v1 v(1,2) v(2) v(2,3) 2.800E+01 2.000E+01 8.000E+00 1.000E+00 

Die SPICE-Ausgabe bestätigt die Spannungsfälle: 20 V an R₁, 8 V an R₂ und 1 V an R₃. Alle Werte sind positiv, was anzeigt, dass die Knotennummerierung den analytisch hergeleiteten Polaritäten entspricht.

ZUSAMMENFASSUNG:

• Einen Knoten wählen und Zweigstromrichtungen annehmen.
• KCL-Gleichung für diesen Knoten aufstellen.
• Widerstands-Spannungsfall-Polaritäten basierend auf angenommenen Strömen zuweisen.
• KVL-Gleichungen für jede unabhängige Masche aufstellen, Widerstandsspannungen durch IR ersetzen.
• Das resultierende simultane Gleichungssystem nach den unbekannten Strömen lösen.
• Ist eine Stromlösung negativ, war die angenommene Richtung falsch; Pfeil umkehren und Polarität neu berechnen.
• Alle Widerstandsspannungsfälle via E = IR berechnen.

WEITERFÜHRENDES ARBEITSBLATT:

• Gleichstrom-Zweigstromanalyse Arbeitsblatt