Einfluss von Widerstand auf Resonanz in Reihen-Parallel-LC-Kreisen

In idealen LC-Netzwerken mit vernachlässigbarem Widerstand wird die Resonanzfrequenz ausschließlich durch die Spulen- und Kondensatorwerte bestimmt, was entweder unendliche Impedanz in einem parallelen (Tank-) Kreis oder null Impedanz in einer Reihenschaltung ergibt. Sobald jedoch signifikanter Widerstand hinzugefügt wird, gilt die einfache Resonanzbedingung nicht mehr, und das tatsächliche Resonanzverhalten verschiebt sich.

In den folgenden Beispielen behalten wir den Kondensator bei 10 µF und die Spule bei 100 mH – dieselben Werte wie in früheren Berechnungen – während wir verschiedene resistive Elemente hinzufügen, um zu beobachten, wie sich der Resonanzpunkt verschiebt.

Resonanzfrequenz eines hochohmigen Kreises

Unsere Lehrbuchgleichung sagt eine Resonanz von 159,155 Hz voraus. Die folgenden SPICE-Simulationen zeigen die Frequenz, bei der der Strom sein Extremum erreicht, wenn Widerstand hinzugefügt wird.

Parallel-LC-Kreis mit einem Widerstand in Reihe zur Spule.

resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
c1 1 0 10u
r1 1 2 100
l1 2 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Ergebnis: Der minimale Strom tritt bei 136,8 Hz auf, eine Verschiebung nach unten von den berechneten 159,2 Hz.

Das Hinzufügen eines kleinen Reihenwiderstands (Rbogus) auf der Kondensatorseite vermeidet SPICE-Konvergenzprobleme und veranschaulicht eine andere Verschiebung:

resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 100
c1 2 0 10u
rbogus 1 3 1e-12
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 400
.plot ac i(v1)
.end

Ergebnis: Der minimale Strom tritt nun bei ungefähr 180 Hz auf, eine Aufwärtsverschiebung.

Reihen-LC-Kreise mit Parallelwiderstand

Wir fügen nun einen signifikanten Widerstand parallel entweder zur Spule oder zum Kondensator ein. Ein kleiner 1-Ω-Widerstand (R1) ist ebenfalls in Reihe enthalten, um den Gesamtstrom bei Resonanz zu begrenzen.

Reihen-LC mit einem 100-Ω-Widerstand parallel zur Spule.

resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 1
c1 2 3 10u
l1 3 0 100m
r2 3 0 100
.ac lin 20 100 400
.plot ac i(v1)
.end

Ergebnis: Der Strompeak verschiebt sich auf ungefähr 178,9 Hz, eine Aufwärtsverschiebung.

Mit dem 100-Ω-Widerstand parallel zum Kondensator:

Reihen-LC mit einem 100-Ω-Widerstand parallel zum Kondensator.

resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 1
c1 2 3 10u
r2 2 3 100
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Ergebnis: Der maximale Strom erscheint nun bei 136,8 Hz, eine Abwärtsverschiebung.

Antiresonanz verstehen

Die systematische Verschiebung der Resonanz durch hinzugefügten Widerstand wird als Antiresonanz bezeichnet. Das in den vier SPICE-Beispielen beobachtete Muster ist konsistent:

• Parallel-LC (Tank):
  • R in Reihe mit L → Frequenz nach unten
  • R in Reihe mit C → Frequenz nach oben
• Reihen-LC:
  • R parallel zu L → Frequenz nach oben
  • R parallel zu C → Frequenz nach unten

Aufgrund der komplementären Rollen von Spulen und Kondensatoren erzeugt Widerstand in Reihe mit einem Element dieselbe Verschiebung wie Widerstand parallel zum anderen. Die Verschiebungsmagnitude ist identisch, und die Impedanzplots sind Spiegelbilder.

Der Skin-Effekt

Reale Spulen enthalten signifikanten Widerstand aufgrund ihrer langen Wicklungen. Dieser Widerstand steigt mit der Frequenz aufgrund des Skin-Effekts – AC-Strom neigt dazu, nahe der Leiteroberfläche zu fließen, was den effektiven Querschnitt verringert und somit den Widerstand erhöht.

Kernverluste in Eisenkernspulen

Eine weitere Widerstandsquelle ist die Erzeugung von Wirbelströmen im Eisenkern, wenn sich der magnetische Fluss ändert. Diese „Kernverluste“ verhalten sich wie eine zusätzliche resistive Last, die durch laminierte Kerne und hochwertige Magnetmaterialien gemildert, aber nicht vollständig eliminiert werden kann.

RLC-Kreise

Wenn alle drei Elemente – Widerstand, Spule und Kondensator – in Reihe geschaltet sind, bleibt die Resonanzfrequenz unverändert, selbst wenn der Reihenwiderstand groß ist. Das SPICE-Ergebnis bestätigt dies:

Reihen-RLC: Resonanz bei 159,2 Hz; erhöhter Widerstand verbreitert nur den Peak.

series rlc circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 100
c1 2 3 10u
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Ergebnis: Der Strommaximum bleibt bei 159,2 Hz, was bestätigt, dass Resonanz erhalten bleibt.

Antiresonanz dämpfende Wirkung

In einem verlustfreien Tankkreis oszilliert die Energie unendlich, ähnlich wie ein reibungsfreies Pendel. Reale Kreise leiden jedoch unter Energieverlusten durch Widerstand, Kernverluste oder Strahlung, was den Oszillationsabfall bewirkt. Antiresonanz kann absichtlich eingeführt werden, um unerwünschte Oszillationen zu dämpfen, beispielsweise durch Hinzufügen eines Widerstands parallel zu Streukapazität.

Betrachten Sie einen L/R-Zeitverzögerungskreis:

Wenn der Schalter schließt, lädt die Spule mit einer Zeitkonstante von L/R. In der Praxis kann Streukapazität zwischen den Spulenwicklungen und der umgebenden Schaltung Klingeln erzeugen. Das Hinzufügen ausreichender Widerstand erzeugt Antiresonanz, dissipiert Energie und verhindert lang anhaltende Oszillationen.

Dasselbe Prinzip gilt in mechanischen Systemen – Stoßdämpfer in Fahrzeugen dissipieren kinetische Energie, um Resonanzschwingungen zu unterdrücken.

Zusammenfassung

• Hinzugefügter Widerstand kann Resonanz verschieben – dieses Phänomen heißt Antiresonanz.
• Spulenwiderstand steigt mit Frequenz aufgrund des Skin-Effekts, und Eisenkernspulen leiden auch unter Kernverlustwiderstand.
• In einem echten Reihen-RLC-Kreis bleibt die Resonanz bei der durch L und C vorhergesagten Frequenz; Widerstand beeinflusst nur die Bandbreite.

Verwandte Arbeitsblätter

• Resonanz Arbeitsblatt