Q-Faktor und Bandbreite in Resonanzkreisen verstehen: Theorie, Berechnungen und praktisches Design

Der Q- oder Gütefaktor eines Resonanzkreises quantifiziert seine Selektivität und Energieeffizienz. Ein höherer Q bedeutet eine schmalere Bandbreite, was für Filterung, Abstimmung und HF-Design entscheidend ist.

Mathematisch ist Q das Verhältnis der in den reaktiven Elementen gespeicherten Leistung zur in der resistiven Komponente dissipierten Leistung:

Q = P_gespeichert / P_dissipiert = I²X / I²R = X/R
wo: X = kapazitiver oder induktiver Blindwiderstand bei Resonanz
R = Serienwiderstand

Dieser Ausdruck gilt für Reihenresonatoren und für Parallelresonatoren, wenn der Serienwiderstand der Spule dominiert. In der Praxis begrenzt der Gleichstromwiderstand der Spule den erreichbaren Q.

Hinweis: Einige Texte präsentieren die Formel mit vertauschtem X und R für einen Parallelresonator mit großem Parallelwiderstand. Unsere Formel ist korrekt für den häufigen Fall eines kleinen Serienwiderstands in der Spule.

In einem Reihenresonator kann die Spannung über der Spule oder dem Kondensator Q-mal die gesamte angelegte Spannung erreichen. In einem Parallelresonator kann der Strom durch die reaktiven Elemente Q-mal den gesamten angelegten Strom erreichen.

Reihenresonanzkreise

Bei Resonanz verhält sich ein Reihenresonator wie ein reiner Widerstand: der induktive und kapazitive Blindwiderstand heben sich auf, sodass nur der Serienwiderstand die Impedanz bestimmt. Dies ergibt die minimale Impedanz und den maximalen Strom.

Unterhalb der Resonanz erscheint der Kreis kapazitiv, da der Blindwiderstand des Kondensators dominiert. Oberhalb der Resonanz erscheint er induktiv, da der Blindwiderstand der Spule wächst.

Bei Resonanz erscheint der Reihenresonanzkreis rein resistiv. Unterhalb der Resonanz wirkt er kapazitiv; darüber induktiv.

Impedanz ist bei Resonanz minimal in einem Reihenresonanzkreis.

Der Spitzenstrom kann durch Anpassung des Serienwiderstands abgestimmt werden, was wiederum Q und die Breite der Resonanzkurve ändert. Ein niedrigwiderständiger, hoch-Q-Kreis ergibt einen scharfen, schmalen Peak; ein hochwiderständiger, niedrig-Q-Kreis erzeugt eine breite, sanfte Antwort.

Bandbreite ist direkt mit Q und der Resonanzfrequenz verknüpft:

BW = f_c / Q

Ein hoch-Q-Resonanzkreis hat eine schmale Bandbreite im Vergleich zu einem niedrig-Q-Kreis.

Die Bandbreite ist definiert als der Frequenzbereich zwischen den 0,707 (≈70,7%) Stromamplitudenpunkten, was den Halbleistungspunkten entspricht, da P = I²R.

Bandbreite, Δf, wird zwischen den 70,7%-Amplitudenpunkten eines Reihenresonanzkreises gemessen.

BW = Δf = f_h - f_l = f_c / Q
wo: f_h = oberer Bandkantenfrequenz
f_l = unterer Bandkantenfrequenz
f_c = Mitten- (Resonanz-) Frequenz

Im obigen Beispiel beträgt der 100%-Strompunkt 50 mA. Der 70,7%-Pegel ist 35,4 mA. Die Bandkanten lesen sich als 291 Hz (f_l) und 355 Hz (f_h). Die Bandbreite beträgt 64 Hz, und die Halbleistungspunkte liegen ±32 Hz um die Mittenfrequenz:

BW = Δf = 355 Hz - 291 Hz = 64 Hz
f_l = f_c - Δf/2 = 323 Hz - 32 Hz = 291 Hz
f_h = f_c + Δf/2 = 323 Hz + 32 Hz = 355 Hz
Q = f_c / BW = 323 Hz / 64 Hz ≈ 5

Parallelresonanzkreise

Ein Parallelresonator erreicht seine maximale Impedanz bei Resonanz. Unterhalb der Resonanz verhält er sich induktiv, da der niedrigere Impedanz der Spule mehr Strom zieht. Oberhalb der Resonanz verhält er sich kapazitiv, da der niedrigere Impedanz des Kondensators dominiert.

Ein Parallelresonanzkreis ist bei Resonanz resistiv, unterhalb induktiv, oberhalb kapazitiv.

Da Spannung gleich Impedanz mal Strom ist (V = I·Z), erreicht die Spannung ihren Peak bei Resonanz, wo die Impedanz am höchsten ist.

Parallelresonanzkreis: Impedanz peak bei Resonanz.

In der Praxis erzeugt ein niedriger Q – verursacht durch einen hohen Serienwiderstand in der Spule – einen bescheidenen, breiten Peak. Ein hoher Q – erreicht mit einem niedrigwiderständigen, dicken Draht – ergibt einen ausgeprägten, schmalen Peak. Die Anpassung der Wicklung und des Drahtquerschnitts der Spule beeinflusst Q direkt.

Parallelresonanzantwort variiert mit Q.

Die Bandbreite eines Parallelresonators wird zwischen den Halbleistungsspannungspunkten (70,7% Impedanzpunkte) gemessen. Da Leistung ∝ V², repräsentieren diese Punkte das 50%-Leistungsniveau.

Bandbreite, Δf, wird zwischen den 70,7%-Impedanzpunkten eines Parallelresonanzkreises gemessen.

Im Beispiel beträgt der 100%-Impedanzpunkt 500 Ω. Der 70,7%-Pegel ist 354 Ω. Die Bandkanten lesen sich als 281 Hz (f_l) und 343 Hz (f_h). Die Bandbreite beträgt 62 Hz, und die Halbleistungspunkte liegen ±31 Hz um die Mittenfrequenz:

BW = Δf = 343 Hz - 281 Hz = 62 Hz
f_l = f_c - Δf/2 = 312 Hz - 31 Hz = 281 Hz
f_h = f_c + Δf/2 = 312 Hz + 31 Hz = 343 Hz
Q = f_c / BW = 312 Hz / 62 Hz ≈ 5

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Resonanz Arbeitsblatt
• Algebraische Substitution für Elektrische Kreise Arbeitsblatt