Superpositionsatz meistern: Schritt-für-Schritt-Schaltungsanalyse mit Praxisbeispiel

Superpositionsatz – Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelöstem Beispiel

Was ist der Superpositionsatz?

Der Superpositionsatz löst komplexe Netzwerke mit mehreren Energiequellen. Er bestimmt Spannung und Strom an Bauteilen, indem der Effekt jeder Quelle einzeln berechnet und dann alle Effekte überlagert (addiert) werden.

Der Superpositionsatz besagt:

Man betrachtet immer nur eine unabhängige Quelle zur Zeit. Alle anderen Quellen werden entfernt: Spannungsquellen kurzgeschlossen, Stromquellen geöffnet (ideale Quellen). Bei gegebenen Innenwiderständen müssen diese berücksichtigt werden.

Der Satz gilt nur für Schaltungen, die das Ohmsche Gesetz befolgen (lineare Schaltungen).

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Wann wird der Superpositionsatz angewendet?

Das Netzwerk muss folgende Voraussetzungen erfüllen:

• Lineare Bauteile: Strom proportional zur Spannung (Widerstände), Flusskopplung proportional zum Strom (Spulen). Widerstand, Spule, Kondensator = linear. Diode, Transistor = nicht-linear.
• Bilaterale Elemente: Strombetrag unabhängig von Polarität der Energiequellen.
• Mit Superposition lassen sich Strom durch Element, Spannungsfall am Widerstand, Knotenspannung bestimmen. Nicht die vom Element dissipierte Leistung (Leistung ~ U² oder I² → nicht-linear).

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Schritte zur Anwendung des Superpositionsatzes

Schritt 1: Anzahl unabhängiger Quellen im Netzwerk ermitteln.

Schritt 2: Eine Quelle wählen, alle anderen entfernen. Abhängige Quellen bleiben immer erhalten. Bei idealen Quellen: Spannungsquellen kurzschließen, Stromquellen öffnen. Bei gegebenen Innenwiderständen: diese ersetzen.

Schritt 3: In der reduzierten Schaltung (nur eine unabhängige Quelle) die Antwort (Strom/Spannung) für das betrachtete Element berechnen.

Schritt 4: Schritte 2–3 für alle unabhängigen Quellen wiederholen. Bei drei Quellen → dreimal wiederholen. Jedes Mal Teilergebnis erhalten.

Schritt 5: Alle Teilergebnisse algebraisch summieren → endgültiger Wert für das Element. Für andere Elemente: Schritte wiederholen.

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Superpositionsatz – Gelöstes Beispiel

Beispiel:

Strom I_L durch 8 Ω-Widerstand im gegebenen Netzwerk mittels Superpositionsatz bestimmen.

Lösung:

Schritt 1: Eine Spannungsquelle (28 V), eine Stromquelle (28 A) → Verfahren zweimal wiederholen.

Schritt 2: Zuerst nur 28-V-Spannungsquelle betrachten. Stromquelle durch Öffnen der Klemmen entfernen (ideale Stromquelle → kein Innenwiderstand).

Verbleibende Schaltung:

Schritt 3: Strom I_L1 durch 8 Ω bestimmen (Effekt nur Spannungsquelle).

Durch geöffnete Stromquelle fließt kein Strom durch 10 Ω → nur eine Masche.

KVL anwenden:

28 = 6·I_L1 + 8·I_L1

28 = 14·I_L1

I_L1 = 28/14 = 2 A

Schritt 4: Nun nur Stromquelle betrachten. Spannungsquelle kurzschließen.

Verbleibende Schaltung:

Zwei Maschen: I₁, I₂ Maschenströme. I_L2 gesucht.

KVL Masche 1:

0 = 6·I₁ + 8·I₁ – 8·I₂

14·I₁ – 8·I₂ = 0

Maschenstrom I₂ aus Stromquelle: I₂ = 28 A.

Einsetzen:

14·I₁ – 8·(28) = 0

I₁ = 16 A

8-Ω-Zweig liegt in beiden Maschen → resultierender Strom I_L2:

I_L2 = I₁ – I₂

I_L2 = 16 – 28 = -12 A

Schritt 5: Algebraische Summe beider Effekte:

I_L = I_L1 + I_L2

I_L = 2 + (-12) = -10 A

Richtung nach Pfeil in Abbildung angenommen. Minuszeichen = entgegengesetzte Richtung. Betrag = 10 A.

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Superpositionsatz – Experiment

Experiment zur Verifikation des Superpositionsatzes:

Ziel: Strom durch Widerstände bestimmen und Superpositionsatz verifizieren.

Benötigte Komponenten: DC-Quelle, Widerstände, Digitalmultimeter, Verbindungskabel, Steckbrett (Breadboard) etc.

Theorie: Superpositionsatz bestimmt Strom/Spannung an Elementen bei mehreren Quellen. Antwort = algebraische Summe der Antworten einzelner Quellen.

Zuerst Strom durch Widerstände bei allen Quellen messen. Dann Quellen entfernen, Ströme für einzelne Quellen messen. Summe der Einzelströme = Strom bei allen Quellen.

Versuchsaufbau: Lineare bilaterale Schaltung laut untenstehender Abbildung.

Alle Elemente auf Steckbrett nach Schaltung aufbauen. Amperemeter an alle Widerstände für Strommessung. Zwei Spannungsquellen.

Fall 1: Beide Spannungsquellen aktiv. Ströme durch R₁, R₂, R₃ = I₁, I₂, I₃.

Fall 2: 12-V-Quelle entfernen, Klemmen A' und B' kurzschließen (ideale Quellen → kein Innenwiderstand). Ströme I'₁, I'₂, I'₃ messen.

Fall 3: 9-V-Quelle entfernen, Restschaltung entsprechend. Ströme I''₁, I''₂, I''₃ messen.

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Werte in Beobachtungstabelle eintragen:

Beobachtungstabelle

Quellen-Anschluss	R1	R2	R3
Beide Quellen aktiv	I1	I2	I3
Nur 12 V aktiv	I'1	I'2	I'3
Nur 9 V aktiv	I''1	I''2	I''3

Berechnung:

I₁ = I'₁ + I''₁

I₂ = I'₂ + I''₂

I₃ = I'₃ + I''₃

Zur Verifikation: Algebraische Summe der Einzelströme mit Gesamtstrom (beide Quellen) vergleichen. Bei Übereinstimmung → Superpositionsatz bewiesen.

Fazit: Experiment beweist: Strom durch Widerstand = algebraische Summe der Ströme bei einzelner Energiequelle. Superpositionsatz verifiziert.

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Anwendung des Superpositionsatzes

• Anwendbar auf AC- und DC-Netzwerke.
• Bei vielen unabhängigen Quellen einfache Ermittlung der Netzwerkantwort.
• Ermittlung von Strom und Spannung an Elementen durch individuelle Quelleneffekte und spätere Überlagerung.

Nachteile des Superpositionsatzes

• Nicht anwendbar bei rein abhängigen Quellen (mind. 2 unabhängige nötig).
• Nur für lineare Elemente (nicht für Diode, Transistor etc.).
• Leistung nicht berechenbar (quadratisch → nicht-linear).
• Nicht anwendbar bei spannungs-/stromabhängigen Widerständen (Widerstand muss konstant bleiben).
• Nur für bilaterale Elemente. Wenn Antwort von Stromrichtung abhängt, nicht anwendbar.

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