Millman-Theorem: Schritt-für-Schritt AC- & DC-Schaltungsanalyse mit praktischen Beispielen

Millmanscher Satz für AC- & DC-Schaltungen – Schritt-für-Schritt gelöste Beispiele

Millmanscher Satz

Der Millmansche Satz wird in der Schaltungsanalyse angewendet, wenn ein Netzwerk ausschließlich parallele Zweige aufweist. Er dient zur Berechnung der Spannung am Ende einer Schaltung (bzw. an den parallelen Zweigen). Der Satz ist nur auf Schaltungen mit Parallelnetzwerk anwendbar.

Der Millmansche Satz kombiniert Thévéninschen Satz und Nortonschen Satz. Auch als Parallel-Generator-Satz bekannt. Vorgeschlagen von EE-Professor Jacob Millman – daher der Name.

Der Millmansche Satz besagt:

Man kann die Spannung über den parallelen Zweigen eines gegebenen Netzwerks bestimmen. Der Satz reduziert die Komplexität, wenn mehrere Quellen parallel geschaltet sind (siehe Abbildung).

Nach Millman ist die Spannung an der Last:

• Verwandter Beitrag: Thévéninscher Satz – Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelöstem Beispiel

Mathematische Gleichung

Wie in der Abbildung gezeigt: Schaltung mit n Spannungsquellen (E₁, E₂, E₃, …, E_n) und zugehörigen Innenwiderständen (R₁, R₂, R₃, …, R_n). Nach Millman lässt sich jede Schaltung durch das folgende Ersatzschaltbild ersetzen:

Gesucht: Wert der Ersatzspannungsquelle (E) und Ersatzwiderstand (R). Das obige Schaltbild entspricht dem Thévénin-Ersatzschaltbild. Daher: E = Thévénin-Spannung (V_TH), R = Thévénin-Widerstand (R_TH).

Zur einfacheren Berechnung nutzen wir Nortonsches Ersatzschaltbild: Quellenumformung – alle Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln.

Innenwiderstand in Reihe mit Spannungsquelle. Nach Umformung: Stromquelle parallel zum Innenwiderstand. Schaltung wird zu:

Nach Ohmschem Gesetz: Stromquellenwerte = E₁/R₁, E₂/R₂, …, E_n/R_n. Für Norton-Strom (I_N) Lastklemmen kurzschließen und Strom durch diesen Zweig bestimmen.

An Knoten A₁ teilt sich Strom: Pfad durch R₁ und kurzgeschlossener Zweig. Strom fließt immer durch Pfad geringsten Widerstands → gesamter Strom durch Kurzschluss, Strom durch R₁ = 0.

Gleiches für alle Quellen an Knoten A₂, A₃, …, A_n. Strom durch alle Widerstände = 0.

An Knoten A₂ addiert sich Strom von A₁. An A₃ Strom von A₂ etc. An A_n summiert sich Strom aller Knoten → Gesamtstrom = Norton-Strom (I_N).

Nun Norton-Widerstand (R_N): Alle Energiequellen entfernen (Stromquellen öffnen, Spannungsquellen kurzschließen). Last entfernen für Ersatzwiderstandsberechnung. Verbleibende Schaltung:

Alle Widerstände parallel → Parallelschaltung = Ersatzwiderstand.

R_eq = R_N = R₁ || R₂ || R₃ … || R_n

Werte in Nortonsches Ersatzschaltbild einsetzen:

Umwandlung in Thévénin-Ersatzschaltbild → E und R aus I_N und R_N berechenbar.

Nach Ohmschem Gesetz:

E = I_N × R_N

Allgemeine Form für n Zweige:

Damit haben wir Ersatzspannungsquelle E. Ersatzwiderstand = Norton-Widerstand. Millmansches Ersatzschaltbild (Abb. 2) erhalten.

• Verwandter Beitrag: Nortonscher Satz – Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelöstem Beispiel

Schritte zur Anwendung des Millmanschen Satzes

Schritt 1: Millmanscher Satz nur anwendbar auf Netzwerk/Schaltung mit mehreren parallelen Zweigen. Annahme: Schaltung mit mehreren parallelen Zweigen, je eine Spannungsquelle in Reihe mit Innenwiderstand.

Schritt 2: Liste der Innenwiderstände (bzw. Serienwiderstände) und Spannungsquellen erstellen.

Schritt 3: Ersatzwiderstand (R) an Lastklemmen bei kurzgeschlossenen Spannungsquellen bestimmen.

Schritt 4: Millmanschen Satz anwenden, Spannung (E) an Lastklemmen berechnen. Gleichung 1 nutzen. Dies ist die Lastspannung.

Schritt 5: R und E in Millmansches Ersatzschaltbild (Abb. 2) einsetzen.

Schritt 6: KVL (Maschenregel) auf Masche anwenden, Laststrom bestimmen.

• Verwandter Beitrag: Superpositionsatz – Schaltungsanalyse mit gelöstem Beispiel

DC-Schaltungsanalyse mit Millmanschem Satz

Beispiel #1

Strom und Spannung an Lastklemmen mittels Millmanschem Satz bestimmen.

Schritt 1: Alle vier Zweige parallel → Millman anwendbar.

Schritt 2: Drei Zweige (ohne Lastzweig). Drei Spannungen, drei Widerstände:

E₁ = 12 V, R₁ = 2 Ω

E₂ = 0 V, R₂ = 4 Ω

E₃ = 16 V, R₃ = 4 Ω

Schritt 3: Ersatzwiderstand: Spannungsquellen kurzschließen, Lastklemmen öffnen. Verbleibende Schaltung:

R_eq = 1 Ω

Alle Widerstände parallel → Ersatzwiderstand 1 Ω.

Schritt 4: Millmanschen Satz anwenden.

Drei Zweige → n = 3.

Werte einsetzen:

E = 10 V

Spannung an Lastklemmen = 10 V.

Schritt 5: Werte in Millmansches Ersatzschaltbild einsetzen.

Schritt 6: Nach Ohmschem Gesetz:

I_L = 1 A

Ergebnis: Lastspannung 10 V, Laststrom 1 A.

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AC-Schaltungsanalyse mit Millmanschem Satz

Beispiel #2

Strom und Spannung an Lastklemmen mittels Millmanschem Satz bestimmen.

Schritt 1: Vier Zweige parallel → Millman anwendbar.

Schritt 2: Ohne Lastzweig drei Zweige. Zur Vereinfachung Spannungen und Impedanzen listen. Bei AC: Impedanz statt Widerstand.

Spannungsquellen in Polarform gegeben, Impedanzen in Rechteckform. Spannungen in Rechteckform umrechnen:

V₁ = 12∠60° = 6 + j10,392

V₂ = 9∠0° = 9 + j0

V₃ = 6∠30° = 5,196 + j3

Impedanzen in Rechteckform:

Z₁ = 6 Ω

Z₂ = j6 Ω

Z₃ = -j6 Ω

Schritt 3: Ersatzimpedanz: Spannungsquellen kurzschließen. Verbleibende Schaltung:

Alle Impedanzen parallel → Ersatzimpedanz:

Z_eq = 6 Ω

Schritt 4: Millmanschen Satz anwenden.

Drei Zweige → n = 3.

V = 6 + j10,392 – j9 + j5,196 – 3

V = 3 + j6,588

Effektivwert (RMS) bestimmen:

V = 7,23 V

Schritt 5: Werte in Millmansches Ersatzschaltbild einsetzen.

Schritt 6: Nach Ohmschem Gesetz:

I_L = 0,9 A

• Verwandter Beitrag: Leistungstransfersatz für AC- & DC-Schaltungen

Einschränkungen des Millmanschen Satzes

• Nicht anwendbar bei abhängigen Quellen zwischen unabhängigen Quellen.
• Bei < 2 unabhängigen Quellen nicht nützlich.
• Nicht anwendbar auf Schaltungen mit rein seriellen Elementen.
• Wenn ein Element zwischen den Quellen geschaltet ist, nicht anwendbar.

Anwendungen des Millmanschen Satzes

• Besonders nützlich zur Bestimmung von Lastspannung und -strom bei vielen parallelen Zweigen mit mehreren Spannungsquellen.
• Berechnung einfach, erfordert keine vielen Gleichungen.
• Löst komplexe Schaltungen mit komplexen Elementen (z. B. Op-Amps).

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