Tellegens Theorem: Umfassender Leitfaden mit gelösten Beispielen und MATLAB-Simulationen

Tellegens Theorem – Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelösten Beispielen

Was ist Tellegens Theorem?

Das Theorem von Tellegen wurde 1952 vom niederländischen Elektroingenieur und Erfinder Bernard D.H. Tellegen veröffentlicht. Es ist der wichtigste und fundamentalste Satz unter den Netzwerkanalyse-Theoremen. Die meisten anderen Theoreme lassen sich aus diesem ableiten.

Tellegens Theorem basiert auf den Kirchhoffschen Gesetzen. Daher kann es auf Netzwerke angewendet werden, die den Kirchhoffschen Gesetzen gehorchen. Es eignet sich für eine breite Palette von Netzwerken mit linearen oder nicht-linearen, zeitvarianten oder zeitinvarianten, passiven oder aktiven Elementen.

Tellegens Theorem besagt:

Das Theorem basiert auf dem Prinzip der Energieerhaltung. Es wird in chemischen und biologischen Anwendungen verwendet, um das dynamische Verhalten physikalischer Netzwerke zu bestimmen. In der Signalverarbeitung dient es zum Design von Filtern.

• Verwandter Beitrag: Thevenins Theorem – Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelöstem Beispiel

Mathematische Formulierung

Für die allgemeine Analyse betrachten wir ein Netzwerk mit n Elementen. Der momentane Strom durch die Elemente sei i₁, i₂, i₃, …, i_n. Die momentanen Spannungen der Zweige seien v₁, v₂, v₃, …, v_n.

Die momentane Leistung (p₁) des Elements 1 beträgt v₁i₁.

p₁ = v₁ i₁

Die momentane Leistung des Elements 2 (p₂):

p₂ = v₂ i₂

Entsprechend für das n-te Element (p_n):

p_n = v_n i_n

Nach Tellegens Theorem ist die Summe aller momentanen Leistungen null:

p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n = 0

v₁i₁ + v₂i₂ + v₃i₃ + … + v_n i_n = 0

In allgemeiner Form für den k-ten Zweig:

Dabei ist:

• n = Gesamtzahl der Zweige im Netzwerk
• v_k = Momentanspannung des k-ten Zweigs
• i_k = Momentanstrom des k-ten Zweigs
• p_k = Momentanleistung des k-ten Zweigs

Betrachten wir Zweig AB als Zweig k:

Die momentane Spannung v_k:

v_k = v_a – v_b

Der momentane Strom durch den Zweig (a nach b) ist i_k:

i_k = i_ab

Die momentane Leistung p_k:

p_k = v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab ….. (1)

Für die entgegengesetzte Stromrichtung (b nach a):

i_ba = – i_ab

Momentane Spannung:

v_k = v_b – v_a

Momentane Leistung p_k:

p_k = v_k i_k = (v_b – v_a) i_ba ….. (2)

Summation von Gleichung 1 und 2:

2v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba

v_k i_k = ½ [(v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba] ….. (3)

Für n Zweige lässt sich dies schreiben als:

Nach dem Kirchhoffschen Knotensatz ist die algebraische Summe der Ströme an einem Knoten null.

Daher:

Setzen wir dies in Gleichung 4 ein, erhalten wir:

Damit ist bewiesen, dass die Summe der an das Netzwerk gelieferten Leistung null beträgt. Tellegens Theorem ist somit bewiesen. Es folgt auch, dass die Summe der von den Elementen aufgenommenen Leistung gleich der Summe der von den Quellen gelieferten Leistung ist.

• Verwandter Beitrag: Nortons Theorem – Schritt-für-Schritt-Anleitung mit gelöstem Beispiel

Schritte zur Anwendung von Tellegens Theorem

Um ein elektrisches Netzwerk mit Tellegens Theorem zu lösen, folgen Sie diesen Schritten:

Schritt 1: Bestimmen Sie die Anzahl der Zweige im gegebenen Netzwerk. Ermitteln Sie die an jedem Zweig dissipierte Leistung. Dazu benötigen Sie Spannung oder Strom des Zweigs, die Sie mit herkömmlichen Analysemethoden finden.

Schritt 2: Berechnen Sie die momentane Leistung jedes Zweigs.

Schritt 3: Zweige mit Energiequellen sind leistungsliefernde Zweige; Zweige mit anderen Elementen sind leistungsaufnehmende Zweige. Identifizieren Sie diese.

Schritt 4: Weisen Sie leistungsliefernden Zweigen ein positives Vorzeichen und leistungsaufnehmenden Zweigen ein negatives Vorzeichen zu (oder umgekehrt, aber konsistent beibehalten).

Schritt 5: Addieren Sie alle berechneten Leistungen. Die Summe muss stets null ergeben.

• Verwandter Beitrag: SUPERMESH-Schaltkreisanalyse – Schritt für Schritt mit gelöstem Beispiel

Veranschaulichen wir dies an einem Beispiel.

Gelöstes Beispiel zu Tellegens Theorem

Beispiel #1

Beweisen Sie Tellegens Theorem für das folgende Netzwerk.

Lösung:

Schritt 1: Das gegebene Netzwerk hat 5 Zweige. Zur Berechnung der momentanen Leistung benötigen wir den Strom durch jeden Zweig. Wir wenden die Maschenregel (KVL) an.

KVL für Masche 1:

15 = 12I₁ – 3I₂

KVL für Masche 2:

12 = – 3I₂ + 6I₂

Lösen des Gleichungssystems ergibt:

I₁ = 2 A

I₂ = 3 A

Schritt 2: Strom durch Zweig 3:

I₁₂ = I₂ – I₁ = 3 – 2 = 1 A

Nun berechnen wir die Leistung jedes Zweigs:

P₁ = V I₁ = 15 × 2 = 30 W

P₂ = R₁ I₁² = 9 × 4 = 36 W

P₃ = R₁ I₁₂² = 3 × 1 = 3 W

P₄ = R₃ I₂² = 3 × 9 = 27 W

P₅ = V I₂ = 12 × 3 = 36 W

Schritt 3: Zwei Zweige enthalten Quellen (leistungsliefernd), drei Zweige enthalten nur Widerstände (leistungsaufnehmend).

Wir wählen: positive Vorzeichen für leistungsliefernde Zweige (1 und 5), negative für leistungsaufnehmende Zweige (2, 3, 4).

Schritt 4: Vorzeichen entsprechend zugewiesen.

Schritt 5: Summation aller Leistungen:

P₁ – P₂ – P₃ – P₄ + P₅ = 30 – 36 – 3 – 27 + 36 = 0 W

Die Summe der momentanen Leistungen ist null. Tellegens Theorem ist damit bestätigt.

• Verwandter Beitrag: SUPERNODE-Schaltkreisanalyse – Schritt für Schritt mit gelöstem Beispiel

Beispiel #2

Ermitteln Sie die Spannung an der 6-A-Stromquelle mittels Tellegens Theorem.

Lösung:

Schritt 1: Berechnung von Spannung/Strom durch KCL/KVL.

KVL für Masche 2:

–12 = 8I₂ – 6I₁

Strom durch den Zweig mit der Stromquelle: I₁ = 6 A

Einsetzen:

–12 = 8I₂ – 36

24 = 8I₂

I₂ = 3 A

Schritt 2: Strom durch Zweig 2: I₁₂ = I₁ – I₂ = 6 – 3 = 3 A

Leistungen der Zweige:

P₁ = V I₁ = V × 6 = 6V

P₂ = R₁ I₁₂² = 6 × 9 = 54 W

P₃ = R₂ I₂² = 2 × 9 = 18 W

P₄ = V I₂ = –12 × 3 = –36 W

Schritt 3: Zwei Zweige mit Quellen (leistungsliefernd, positives Vorzeichen), zwei Widerstandszweige (leistungsaufnehmend, negatives Vorzeichen).

Schritt 4: P₁ und P₄ positiv; P₂ und P₃ negativ.

Schritt 5: Summation:

P₁ – P₂ – P₃ + P₄ = 0

P₁ – 54 – 18 – 36 = 0 → P₁ = 108 W

Die von der 6-A-Quelle gelieferte Leistung beträgt 108 W. Die Spannung:

P₁ = V I

108 = V × 6

V = 18 V

Die Spannung an der Stromquelle beträgt 18 V.

• Verwandter Beitrag: Leistungstransfertheorem für AC- & DC-Schaltungen

Analyse & Simulation von Tellegens Theorem mit MATLAB

Ziel: Beweis des Tellegen-Theorems für den Schaltkreis aus Beispiel 1.

Voraussetzung: MATLAB

Theorie: Nach Tellegen ist die Summe der momentanen Leistungen aller Zweige null. Zum Beweis berechnen wir die momentane Leistung aller Zweige. Dazu benötigen wir Spannung/Strom aller Zweige (via KCL/KVL oder MATLAB Simulink).

MATLAB Simulink-Modell

Die Abbildung zeigt den Schaltkreis des Beispiels im Simulink-Modell.

Spannungen und Ströme können direkt aus den Displays abgelesen und mit den berechneten Werten verglichen werden.

Berechnung

Nach Ermittlung von Spannung/Strom berechnet man die momentanen Leistungen und summiert sie. Die Summe ist stets null. Die Simulink-Werte stimmen mit den KVL/KCL-Berechnungen überein. Auch experimentell (Steckbrett, Voltmeter, Amperemeter) lassen sich die Werte verifizieren.

Damit ist Tellegens Theorem bewiesen.

• Verwandter Beitrag: Kirchhoffsche Gesetze (KCL & KVL) – Gelöstes Beispiel

Anwendungen von Tellegens Theorem

Dieser fundamentale Satz findet breite Anwendung in der Schaltkreisanalyse:

• Filterdesign in der digitalen Signalverarbeitung
• Stabilitätsanalyse chemischer Anlagen im Chemieingenieurwesen
• Anwendbar auf konzentrierte Systeme mit linear/nicht-linear, aktiv/passiv, zeitvariant/zeitinvariant Elementen
• Biologische Prozesse
• Topologie und Strukturanalyse
• Bestimmung des dynamischen Verhaltens physikalischer Netzwerke

Weitere Tutorials zur Elektroschaltkreisanalyse:

• Superpositionstheorem – Schaltkreisanalyse mit gelöstem Beispiel
• Cramersche Regel Rechner – 2- und 3-Gleichungssysteme für Elektroschaltungen
• Wheatstone-Brücke – Schaltung, Funktionsweise, Herleitung und Anwendungen
• Elektrotechnik- und Elektronik-Rechner
• 5000+ Formeln & Gleichungen der Elektro- und Elektroniktechnik