MATLAB für Analysis: Differentialgleichungen, Integrale & Grenzwerte lösen

MATLAB bietet verschiedene Möglichkeiten, Probleme der Differential- und Integralrechnung zu lösen, Differentialgleichungen beliebigen Grades zu lösen und Grenzwerte zu berechnen. Am besten können Sie die Graphen komplexer Funktionen einfach plotten und Maxima, Minima und andere stationäre Punkte auf einem Graphen überprüfen, indem Sie die ursprüngliche Funktion sowie ihre Ableitung lösen.

Dieses Kapitel behandelt Probleme der Analysis. In diesem Kapitel besprechen wir Präkalkül-Konzepte, d. h. die Berechnung von Funktionsgrenzwerten und die Überprüfung der Eigenschaften von Grenzwerten.

Im nächsten Kapitel Differentialrechnung berechnen wir die Ableitung eines Ausdrucks und finden lokale Maxima und Minima auf einem Graphen. Wir werden auch das Lösen von Differentialgleichungen besprechen.

Schließlich besprechen wir im Kapitel Integration die Integralrechnung.

Grenzwerte berechnen

MATLAB bietet die Funktion limit zur Berechnung von Grenzwerten. In ihrer einfachsten Form nimmt die limit-Funktion einen Ausdruck als Argument und findet den Grenzwert des Ausdrucks, wenn die unabhängige Variable gegen null geht.

Beispiel: Berechnen wir den Grenzwert der Funktion f(x) = (x³ + 5)/(x⁴ + 7), wenn x gegen null strebt.

 syms x limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7)) 

MATLAB führt die Anweisung aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 ans = 5/7 

Die limit-Funktion gehört zum symbolischen Rechnen; Sie müssen die syms-Funktion verwenden, um MATLAB mitzuteilen, welche symbolischen Variablen Sie verwenden. Sie können auch den Grenzwert einer Funktion berechnen, wenn die Variable gegen eine andere Zahl als null strebt. Um lim _x→a(f(x)) zu berechnen, verwenden wir den limit-Befehl mit Argumenten. Das erste ist der Ausdruck, die zweite ist die Zahl, der x sich nähert, hier a.

Beispiel: Berechnen wir den Grenzwert der Funktion f(x) = (x-3)/(x-1), wenn x gegen 1 strebt.

 limit((x - 3)/(x-1),1) 

MATLAB führt die Anweisung aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 ans = NaN 

Nehmen wir ein weiteres Beispiel:

 limit(x^2 + 5, 3) 

MATLAB führt die Anweisung aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 ans = 14 

Grenzwerte mit Octave berechnen

Folgendes ist die Octave-Version des obigen Beispiels mit dem symbolic-Paket. Führen Sie es aus und vergleichen Sie das Ergebnis:

 pkg load symbolic symbols x = sym("x"); subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0) 

Octave führt die Anweisung aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 ans = 0.7142857142857142857 

Überprüfung grundlegender Eigenschaften von Grenzwerten

Der algebraische Grenzwertsatz stellt einige grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten bereit. Diese sind wie folgt:

Betrachten wir zwei Funktionen:

• f(x) = (3x + 5)/(x - 3)
• g(x) = x² + 1.

Berechnen wir die Grenzwerte der Funktionen, wenn x gegen 5 strebt, für beide Funktionen und überprüfen die grundlegenden Eigenschaften der Grenzwerte mit diesen beiden Funktionen und MATLAB.

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie folgenden Code ein:

 syms x f = (3*x + 5)/(x-3); g = x^2 + 1; l1 = limit(f, 4) l2 = limit (g, 4) lAdd = limit(f + g, 4) lSub = limit(f - g, 4) lMult = limit(f*g, 4) lDiv = limit (f/g, 4) 

Beim Ausführen der Datei wird folgendes angezeigt:

 l1 = 17 l2 = 17 lAdd = 34 lSub = 0 lMult = 289 lDiv = 1 

Überprüfung grundlegender Eigenschaften von Grenzwerten mit Octave

Folgendes ist die Octave-Version des obigen Beispiels mit dem symbolic-Paket. Führen Sie es aus und vergleichen Sie das Ergebnis:

 pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = (3*x + 5)/(x-3); g = x^2 + 1; l1 = subs(f, x, 4) l2 = subs (g, x, 4) lAdd = subs (f+g, x, 4) lSub = subs (f-g, x, 4) lMult = subs (f*g, x, 4) lDiv = subs (f/g, x, 4) 

Octave führt die Anweisung aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 l1 = 17.0 l2 = 17.0 lAdd = 34.0 lSub = 0.0 lMult = 289.0 lDiv = 1.0 

Links- und rechtsseitige Grenzwerte

Wenn eine Funktion an einer bestimmten Stelle der Variablen eine Unstetigkeit aufweist, existiert der Grenzwert an dieser Stelle nicht. Anders ausgedrückt: Die Grenzwerte einer Funktion f(x) haben eine Unstetigkeit bei x = a, wenn der Wert des Grenzwerts, wenn x sich von der linken Seite nähert, nicht gleich dem Wert des Grenzwerts ist, wenn x sich von der rechten Seite nähert.

Dies führt zum Konzept der links- und rechtsseitigen Grenzwerte. Ein linksseitiger Grenzwert ist definiert als der Grenzwert für x → a von links, d. h. x nähert sich a für Werte von x < a. Ein rechtsseitiger Grenzwert ist definiert als der Grenzwert für x → a von rechts, d. h. x nähert sich a für Werte von x > a. Wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht gleich sind, existiert der Grenzwert nicht.

Betrachten wir eine Funktion:

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Wir zeigen, dass lim_x→3 f(x) nicht existiert. MATLAB hilft uns, diese Tatsache auf zwei Arten zu belegen:

• Durch Plotten des Graphen der Funktion und Anzeigen der Unstetigkeit.
• Durch Berechnen der Grenzwerte und Anzeigen, dass beide unterschiedlich sind.

Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte werden berechnet, indem die Zeichenketten 'left' und 'right' als letztes Argument an den limit-Befehl übergeben werden.

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie folgenden Code ein:

 f = (x - 3)/abs(x-3); ezplot(f,[-1,5]) l = limit(f,x,3,'left') r = limit(f,x,3,'right') 

Beim Ausführen der Datei zeichnet MATLAB den folgenden Plot:

Danach wird folgende Ausgabe angezeigt:

 l = -1 r = 1