MATLAB - Kalkül

MATLAB bietet verschiedene Möglichkeiten zum Lösen von Problemen der Differential- und Integralrechnung, zum Lösen von Differentialgleichungen beliebigen Grades und zum Berechnen von Grenzwerten. Das Beste ist, dass Sie die Graphen komplexer Funktionen einfach zeichnen und Maxima, Minima und andere stationäre Punkte auf einem Graphen überprüfen können, indem Sie die ursprüngliche Funktion sowie ihre Ableitung lösen.

Dieses Kapitel befasst sich mit mathematischen Problemen. In diesem Kapitel werden wir Konzepte vor dem Kalkül erörtern, d. h. das Berechnen von Grenzwerten von Funktionen und das Verifizieren der Eigenschaften von Grenzwerten.

Im nächsten Kapitel Differential , werden wir die Ableitung eines Ausdrucks berechnen und die lokalen Maxima und Minima in einem Diagramm finden. Wir werden auch das Lösen von Differentialgleichungen besprechen.

Schließlich in der Integration Kapitel werden wir die Integralrechnung besprechen.

Grenzwerte berechnen

MATLAB stellt die Grenze bereit Funktion zur Berechnung von Limits. In seiner einfachsten Form, dem Limit Die Funktion nimmt den Ausdruck als Argument und findet die Grenze des Ausdrucks, wenn die unabhängige Variable auf Null geht.

Berechnen wir zum Beispiel den Grenzwert einer Funktion f(x) =(x ³ + 5)/(x ⁴ + 7), da x gegen Null tendiert.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB führt die obige Anweisung aus und gibt das folgende Ergebnis zurück −

ans =
   5/7

Die Grenzfunktion fällt in den Bereich des symbolischen Rechnens; Sie müssen die syms verwenden Funktion, um MATLAB mitzuteilen, welche symbolischen Variablen Sie verwenden. Sie können auch den Grenzwert einer Funktion berechnen, da die Variable zu einer anderen Zahl als Null tendiert. Um lim _x->a zu berechnen (f(x)) verwenden wir den limit-Befehl mit Argumenten. Der erste ist der Ausdruck und der zweite die Zahl, also x nähert sich, hier ist es a .

Lassen Sie uns zum Beispiel den Grenzwert einer Funktion f(x) =(x-3)/(x-1) berechnen, wenn x gegen 1 tendiert.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB führt die obige Anweisung aus und gibt das folgende Ergebnis zurück −

ans =
   NaN

Nehmen wir ein weiteres Beispiel,

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB führt die obige Anweisung aus und gibt das folgende Ergebnis zurück −

ans =
   14

Limits mit Octave berechnen

Es folgt die Oktavversion des obigen Beispiels mit symbolisch Paket, versuchen Sie es auszuführen und vergleichen Sie das Ergebnis −

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave führt die obige Anweisung aus und gibt das folgende Ergebnis zurück −

ans =
   0.7142857142857142857

Überprüfung grundlegender Eigenschaften von Grenzwerten

Der algebraische Grenzwertsatz liefert einige grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten. Diese lauten wie folgt −

Betrachten wir zwei Funktionen −

• f(x) =(3x + 5)/(x - 3)
• g(x) =x ² + 1.

Lassen Sie uns die Grenzen der Funktionen beider Funktionen berechnen, wenn x gegen 5 tendiert, und die grundlegenden Eigenschaften der Grenzen mit diesen beiden Funktionen und MATLAB überprüfen.

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie den folgenden Code ein −

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Wenn Sie die Datei ausführen, wird −

angezeigt

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Verifizierung grundlegender Eigenschaften von Limits mit Octave

Es folgt die Oktavversion des obigen Beispiels mit symbolisch Paket, versuchen Sie es auszuführen und vergleichen Sie das Ergebnis −

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave führt die obige Anweisung aus und gibt das folgende Ergebnis zurück −

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Links- und rechtsseitige Begrenzungen

Wenn eine Funktion für einen bestimmten Wert der Variablen eine Diskontinuität aufweist, existiert die Grenze an diesem Punkt nicht. Mit anderen Worten, die Grenzen einer Funktion f(x) haben eine Diskontinuität bei x =a, wenn der Wert der Grenze, wenn x sich x von der linken Seite nähert, nicht gleich dem Wert der Grenze ist, wenn sich x von der rechten Seite nähert.

Dies führt zum Konzept der linkshändigen und rechtshändigen Grenzen. Eine linkshändige Grenze ist definiert als die Grenze als x -> a von links, d. h. x nähert sich a für Werte von x a von rechts, d. h. x nähert sich a für Werte von x> a. Wenn die linkshändige Grenze und die rechtshändige Grenze nicht gleich sind, existiert die Grenze nicht.

Betrachten wir eine Funktion −

f(x) =(x - 3)/|x - 3|

Wir werden zeigen, dass lim_x->3 f(x) existiert nicht. MATLAB hilft uns, diese Tatsache auf zwei Arten festzustellen −

• Indem man den Graphen der Funktion zeichnet und die Diskontinuität zeigt.
• Indem man die Grenzen berechnet und zeigt, dass beide unterschiedlich sind.

Die linkshändigen und rechtshändigen Grenzen werden berechnet, indem die Zeichenfolgen 'links' und 'rechts' als letztes Argument an den Grenzwertbefehl übergeben werden.

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie den folgenden Code ein −

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Wenn Sie die Datei ausführen, zeichnet MATLAB das folgende Diagramm

Danach wird folgende Ausgabe angezeigt −

l =
   -1
  
r =
   1