Polynome in MATLAB verstehen: Darstellung und Auswertung

MATLAB stellt Polynome als Zeilenvektoren dar, die Koeffizienten in absteigender Potenzreihenfolge enthalten. Zum Beispiel könnte die Gleichung P(x) = x⁴ + 7x³ - 5x + 9 dargestellt werden als:

p = [1 7 0 -5 9];

Polynome auswerten

Die Funktion polyval wird verwendet, um ein Polynom an einem bestimmten Wert auszuwerten. Zum Beispiel, um unser vorheriges Polynom p an der Stelle x = 4 auszuwerten, geben Sie ein:

Live Demo

 p = [1 7 0 -5 9]; polyval(p,4) 

MATLAB führt die obigen Anweisungen aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 ans = 693 

MATLAB bietet auch die Funktion polyvalm zur Auswertung eines Matrix-Polynoms. Ein Matrix-Polynom ist ein Polynom mit Matrizen als Variablen.

Zum Beispiel erstellen wir eine quadratische Matrix X und werten das Polynom p an der Stelle X aus:

Live Demo

 p = [1 7 0 -5 9]; X = [1 2 -3 4; 2 -5 6 3; 3 1 0 2; 5 -7 3 8]; polyvalm(p, X) 

MATLAB führt die obigen Anweisungen aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 ans = 2307 -1769 -939 4499 2314 -2376 -249 4695 2256 -1892 -549 4310 4570 -4532 -1062 9269 

Nullstellen von Polynomen finden

Die Funktion roots berechnet die Nullstellen eines Polynoms. Zum Beispiel, um die Nullstellen unseres Polynoms p zu berechnen, geben Sie ein:

Live Demo

 p = [1 7 0 -5 9]; r = roots(p) 

MATLAB führt die obigen Anweisungen aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 r = -6.8661 + 0.0000i -1.4247 + 0.0000i 0.6454 + 0.7095i 0.6454 - 0.7095i 

Die Funktion poly ist die inverse Funktion von roots und gibt die Polynomkoeffizienten zurück. Zum Beispiel:

 p2 = poly(r) 

MATLAB führt die obigen Anweisungen aus und gibt folgendes Ergebnis zurück:

 p2 = Columns 1 through 3: 1.00000 + 0.00000i 7.00000 + 0.00000i 0.00000 + 0.00000i Columns 4 and 5: -5.00000 - 0.00000i 9.00000 + 0.00000i 

Polynomiale Kurvenanpassung

Die Funktion polyfit findet die Koeffizienten eines Polynoms, das eine Menge von Daten im Sinne der kleinsten Quadrate anpasst. Wenn x und y zwei Vektoren sind, die die x- und y-Daten enthalten, die an ein Polynom n-ten Grades angepasst werden sollen, dann erhalten wir das anpassende Polynom, indem wir schreiben:

 p = polyfit(x,y,n) 

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie folgenden Code ein:

Live Demo

 x = [1 2 3 4 5 6]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4 978.67]; %Daten p = polyfit(x,y,4) %Polynom erhalten % Berechnen Sie die Werte der polyfit-Schätzung über einen feineren Bereich, % und plotten Sie die Schätzung über den echten Datenwerten zum Vergleich: x2 = 1:.1:6; y2 = polyval(p,x2); plot(x,y,'o',x2,y2) grid on 

Beim Ausführen der Datei zeigt MATLAB folgendes Ergebnis an:

 p = 4.1056 -47.9607 222.2598 -362.7453 191.1250 

Und plottet den folgenden Graphen: