MATLAB Transformationen: Laplace, Fourier und FFT erklärt

MATLAB bietet Befehle für die Arbeit mit Transformationen, wie der Laplace- und Fourier-Transformation. Transformationen werden in Wissenschaft und Technik als Werkzeug zur Vereinfachung der Analyse und zur Betrachtung von Daten aus einem anderen Blickwinkel verwendet.

Beispielsweise ermöglicht die Fourier-Transformation die Umwandlung eines als Funktion der Zeit dargestellten Signals in eine Funktion der Frequenz. Die Laplace-Transformation ermöglicht die Umwandlung einer Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung.

MATLAB stellt die Befehle laplace, fourier und fft für die Arbeit mit Laplace-, Fourier- und Schnell-Fourier-Transformationen bereit.

Die Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation einer Funktion der Zeit f(t) wird durch das folgende Integral gegeben:

Die Laplace-Transformation wird auch als Transformation von f(t) nach F(s) bezeichnet. Man kann sehen, dass dieser Transformations- oder Integrationsprozess f(t), eine Funktion der symbolischen Variablen t, in eine andere Funktion F(s) mit einer anderen Variablen s umwandelt.

Die Laplace-Transformation wandelt Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen um. Um eine Laplace-Transformation einer Funktion f(t) zu berechnen, schreiben Sie:

 laplace(f(t)) 

Beispiel

In diesem Beispiel berechnen wir die Laplace-Transformation einiger häufig verwendeter Funktionen.

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie folgenden Code ein:

 syms s t a b w laplace(a) laplace(t^2) laplace(t^9) laplace(exp(-b*t)) laplace(sin(w*t)) laplace(cos(w*t)) 

Beim Ausführen der Datei wird folgendes Ergebnis angezeigt:

 ans = 1/s^2 ans = 2/s^3 ans = 362880/s^10 ans = 1/(b + s) ans = w/(s^2 + w^2) ans = s/(s^2 + w^2) 

Die inverse Laplace-Transformation

MATLAB ermöglicht die Berechnung der inversen Laplace-Transformation mit dem Befehl ilaplace.

Beispielsweise:

 ilaplace(1/s^3) 

MATLAB führt die obige Anweisung aus und zeigt das Ergebnis an:

 ans = t^2/2 

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie folgenden Code ein:

 syms s t a b w ilaplace(1/s^7) ilaplace(2/(w+s)) ilaplace(s/(s^2+4)) ilaplace(exp(-b*t)) ilaplace(w/(s^2 + w^2)) ilaplace(s/(s^2 + w^2)) 

Beim Ausführen der Datei wird folgendes Ergebnis angezeigt:

 ans = t^6/720 ans = 2*exp(-t*w) ans = cos(2*t) ans = ilaplace(exp(-b*t), t, x) ans = sin(t*w) ans = cos(t*w) 

Die Fourier-Transformationen

Fourier-Transformationen transformieren üblicherweise eine mathematische Funktion der Zeit, f(t), in eine neue Funktion, manchmal bezeichnet als oder F, deren Argument Frequenz mit Einheiten Zyklen/s (Hertz) oder Radiant pro Sekunde ist. Die neue Funktion wird dann als Fourier-Transformation und/oder Frequenzspektrum der Funktion f bezeichnet.

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie folgenden Code ein:

 syms x f = exp(-2*x^2); %unsere Funktion ezplot(f,[-2,2]) % Plot unserer Funktion FT = fourier(f) % Fourier-Transformation 

Beim Ausführen der Datei plottet MATLAB den folgenden Graphen:

Das folgende Ergebnis wird angezeigt:

 FT = (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2 

Das Plotten der Fourier-Transformation als:

 ezplot(FT) 

ergibt den folgenden Graphen:

Inverse Fourier-Transformationen

MATLAB bietet den Befehl ifourier zur Berechnung der inversen Fourier-Transformation einer Funktion. Zum Beispiel:

 f = ifourier(-2*exp(-abs(w))) 

MATLAB führt die obige Anweisung aus und zeigt das Ergebnis an:

 f = -2/(pi*(x^2 + 1))