Zahlensysteme
Römische Ziffern
Die Römer entwickelten ein System, das eine wesentliche Verbesserung gegenüber Rautezeichen darstellte, da es eine Vielzahl von Symbolen (oder Chiffren) verwendete ) um immer größere Mengen darzustellen.
Die Notation für 1 ist der Großbuchstabe I. Die Notation für 5 ist der Großbuchstabe V. Andere Chiffren besitzen steigende Werte:
Wenn eine Chiffre von einer anderen Chiffre mit gleichem oder geringerem Wert direkt rechts davon begleitet wird und keine Chiffren größer sind als diese andere Chiffre rechts von dieser anderen Chiffre, wird der Wert dieser anderen Chiffre zur Gesamtmenge addiert.
Daher symbolisiert VIII die Zahl 8, und CLVII symbolisiert die Zahl 157. Wenn andererseits eine Chiffre von einer anderen Chiffre mit geringerem Wert direkt links begleitet wird, wird der Wert dieser anderen Chiffre subtrahiert vom ersten. Daher symbolisiert IV die Zahl 4 (V minus I) und CM symbolisiert die Zahl 900 (M minus C).
Sie haben vielleicht bemerkt, dass die Abspannsequenzen für die meisten Spielfilme einen Hinweis auf das Produktionsdatum in römischen Ziffern enthalten. Für das Jahr 1987 würde es lauten:MCMLXXXVII. Zerlegen wir diese Zahl von links nach rechts in ihre Bestandteile:
Sind Sie nicht froh, dass wir dieses Zahlensystem nicht verwenden? Große Zahlen sind auf diese Weise sehr schwer zu bezeichnen, und die Werte links vs. rechts / Subtraktion vs. Addition können auch sehr verwirrend sein.
Ein weiteres großes Problem bei diesem System besteht darin, dass es keine Möglichkeit gibt, die Zahl Null oder negative Zahlen darzustellen, beides sehr wichtige Konzepte in der Mathematik.
Die römische Kultur war jedoch in Bezug auf die Mathematik pragmatischer als die meisten anderen und entschied sich nur dafür, ihr Zahlensystem so weit zu entwickeln, wie es für den Gebrauch im täglichen Leben erforderlich war.
Place Value
Eine der wichtigsten Ideen in der Numerierung verdanken wir den alten Babyloniern, die (soweit wir wissen) die ersten waren, die das Konzept der Chiffrenposition oder des Stellenwerts für die Darstellung größerer Zahlen entwickelten.
Anstatt neue Chiffren zu erfinden, um größere Zahlen darzustellen, wie es die Römer taten, verwendeten sie dieselben Chiffren wieder und platzierten sie von rechts nach links an unterschiedlichen Positionen.
Unser eigenes dezimales Zahlensystem verwendet dieses Konzept, wobei nur zehn Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9) in „gewichteten“ Positionen verwendet werden, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
Jede Chiffre repräsentiert eine ganzzahlige Größe und jede Stelle von rechts nach links in der Notation repräsentiert eine multiplizierende Konstante oder Gewicht , für jede ganze Zahl.
Wenn wir zum Beispiel die Dezimalschreibweise „1206“ sehen, wissen wir, dass diese in ihre konstituierenden Gewichtsprodukte als solche zerlegt werden kann:
Jede Chiffre wird als Ziffer bezeichnet im dezimalen Zahlensystem, und jedes Gewicht oder jeder Stellenwert ist das Zehnfache des Werts direkt rechts.
Wir haben also einen Einen Stelle, eine Zehnerstelle, eine Hunderte Platz, Tausender Platz usw., von rechts nach links arbeitend.
Im Moment fragen Sie sich wahrscheinlich, warum ich mich bemühe, das Offensichtliche zu beschreiben. Wer muss wissen, wie Dezimalzählen funktioniert, nachdem Sie Mathematik so fortgeschritten wie Algebra und Trigonometrie studiert haben?
Der Grund dafür ist, andere Zahlensysteme besser zu verstehen, indem Sie zuerst das Wie und Warum des bereits gewohnten Systems kennen.
Das dezimale Zahlensystem verwendet zehn Ziffern und Stellengewichte, die Vielfache von zehn sind. Was wäre, wenn wir ein Zahlensystem mit derselben Strategie der gewichteten Stellen erstellen würden, außer mit weniger oder mehr Ziffern?
Binäre Numerierung
Das binäre Zahlensystem ist ein solches System. Anstelle von zehn verschiedenen Chiffriersymbolen, bei denen jede Gewichtskonstante das Zehnfache der vorherigen ist, haben wir nur zwei Chiffriersymbole und jede Gewichtskonstante ist zweimal so viel wie der davor.
Die zwei zulässigen Chiffriersymbole für das binäre Zahlensystem sind „1“ und „0“, und diese Chiffren sind von rechts nach links in doppelten Gewichtswerten angeordnet. Ganz rechts sind die Einen Stelle, genau wie bei der Dezimalschreibweise. Wenn wir nach links gehen, haben wir die Zweien Platz, die Vier Platz, die Acht Platz, die Sechzehn Platz und so weiter.
Zum Beispiel kann die folgende Binärzahl genau wie die Dezimalzahl 1206 als Summe jedes Chiffrierwertes mal seiner jeweiligen Gewichtskonstante ausgedrückt werden:
Dies kann ziemlich verwirrend werden, da ich eine Zahl mit binärer Numerierung (11010) geschrieben habe und dann ihre Stellenwerte und die Summe in Standard-Dezimalzahlenform (16 + 8 + 2 =26) angezeigt habe. Im obigen Beispiel mischen wir zwei verschiedene Arten von numerischer Notation.
Um unnötige Verwirrung zu vermeiden, müssen wir angeben, welche Numerierungsform wir beim Schreiben (oder Tippen!) verwenden. Normalerweise geschieht dies in tiefgestellter Form mit einer „2“ für binär und einer „10“ für dezimal, also die binäre Zahl 110102 ist gleich der Dezimalzahl 2610 .
Die tiefgestellten Zeichen sind keine mathematischen Operationssymbole wie hochgestellte Zeichen (Exponenten). Sie geben lediglich an, welches Zahlensystem wir verwenden, wenn wir diese Symbole für andere Personen zum Lesen schreiben. Wenn Sie "310 . sehen ”, bedeutet dies nur die Zahl Drei, die mit dezimal geschrieben wird Nummerierung.
Wenn Sie jedoch "3 10 . sehen “ bedeutet das etwas ganz anderes:drei hoch zehn (59.049). Wenn kein Index angezeigt wird, wird wie üblich davon ausgegangen, dass die Chiffre(n) eine Dezimalzahl darstellt.
Im Allgemeinen wird die Anzahl der Verschlüsselungstypen (und daher der Stellenwertmultiplikator), die in einem Zahlensystem verwendet werden, als Basis dieses Systems bezeichnet. Binär wird als Numerierung zur „Basis zwei“ und dezimal als „Basis zehn“ bezeichnet.
Außerdem bezeichnen wir jede Chiffreposition im Binärformat als Bit anstatt das bekannte Wort Ziffer im Dezimalsystem verwendet.
Warum sollte nun jemand die binäre Numerierung verwenden? Das Dezimalsystem mit seinen zehn Ziffern ist sehr sinnvoll, da wir zehn Finger haben, an denen wir zwischen unseren beiden Händen abzählen können. (Es ist interessant, dass einige alte zentralamerikanische Kulturen Zahlensysteme mit einer Basis von zwanzig verwendeten.
Vermutlich haben sie mit beiden Fingern und Zehen gezählt!!). Der Hauptgrund dafür, dass das binäre Zahlensystem in modernen elektronischen Computern verwendet wird, liegt jedoch in der einfachen elektronischen Darstellung von zwei Chiffrierzuständen (0 und 1).
Mit einer relativ einfachen Schaltung können wir mathematische Operationen an Binärzahlen durchführen, indem wir jedes Bit der Zahlen durch eine Schaltung darstellen, die entweder eingeschaltet (Strom) oder ausgeschaltet (kein Strom) ist. Genau wie beim Abakus, bei dem jeder Stab eine andere Dezimalziffer darstellt, fügen wir einfach mehr Schaltkreise hinzu, um uns mehr Bits zu geben, um größere Zahlen zu symbolisieren.
Die binäre Numerierung eignet sich auch gut zum Speichern und Abrufen numerischer Informationen:auf Magnetbändern (Eisenoxidflecken auf dem Band werden entweder für eine binäre „1“ magnetisiert oder für eine binäre „0“ entmagnetisiert), optische Platten (ein Laser -gebrannte Grube in der Aluminiumfolie, die eine binäre „1“ darstellt, und ein unverbrannter Fleck, der eine binäre „0“ darstellt, oder eine Vielzahl anderer Medientypen.
Bevor wir genau lernen, wie all dies in digitalen Schaltungen gemacht wird, müssen wir uns mit binären und anderen zugehörigen Zahlensystemen vertraut machen.
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