Zahlen und Symbole in der Elektronik entschlüsselt

Der Ausdruck numerischer Größen ist etwas, das wir als selbstverständlich hinnehmen. Das ist in der Elektronik sowohl gut als auch schlecht.

Gut, weil wir gewohnt sind, Zahlen für die vielen Berechnungen bei der Analyse elektronischer Schaltungen zu nutzen und zu manipulieren.

Schlecht, weil das spezielle Notationssystem, das wir seit der Grundschule gelernt haben, nicht das System ist, das in modernen elektronischen Rechengeräten intern verwendet wird. Das Erlernen eines anderen Notationssystems erfordert die Überprüfung tief verankerter Annahmen.

Zahlen

Zunächst müssen wir zwischen Zahlen und den Symbolen unterscheiden, die wir zur Darstellung von Zahlen verwenden. Eine Zahl ist eine mathematische Größe, in der Elektronik meist korreliert mit einer physikalischen Größe wie Spannung, Strom oder Widerstand. Es gibt viele Zahlentypen, z. B.:

NATÜRLICHE ZAHLEN:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …

GANZE ZAHLEN (Integers):
−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 …

IRRATIONALE ZAHLEN:
π (≈ 3,1415927),
e (≈ 2,718281828),
Wurzel aus jeder Primzahl

REELLE ZAHLEN:
(Alle eindimensionalen numerischen Werte, negativ und positiv, einschließlich 0, ganzer, ganzzahlig, irrationaler Zahlen)

KOMPLEXE ZAHLEN:
3 − j4, 34,5 ∠ 20°

Verschiedene Zahlentypen finden unterschiedliche Anwendung in der physikalischen Welt. Natürliche Zahlen eignen sich zum Zählen diskreter Objekte (z. B. Anzahl Widerstände in einer Schaltung). Ganze Zahlen werden benötigt, wenn negative Entsprechungen natürlicher Zahlen gefordert sind.

Irrationale Zahlen lassen sich nicht exakt als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen; das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines vollkommenen Kreises (π) ist ein gutes physikalisches Beispiel. Die nicht-ganzzahligen Größen von Spannung, Strom und Widerstand in DC-Schaltungen lassen sich als reelle Zahlen darstellen, in Bruch- oder Dezimalform.

Für die AC-Schaltungsanalyse versagen reelle Zahlen jedoch, da sie die Dualität von Betrag und Phasenwinkel nicht erfassen können – daher wenden wir komplexe Zahlen in kartesischer oder polarer Form an.

Symbole

Um Zahlen zum Verständnis physikalischer Prozesse, für wissenschaftliche Vorhersagen oder Buchführung zu nutzen, brauchen wir eine Möglichkeit, sie symbolisch darzustellen.

Anders ausgedrückt: Wir wissen vielleicht, wie viel Geld auf unserem Konto ist, aber um es zu dokumentieren, brauchen wir ein System, das diese Größe auf Papier (oder in anderer Form) symbolisiert.

Analog und Digital

Es gibt zwei grundlegende Darstellungsweisen: analog und digital. Bei analoger Darstellung wird die Größe so symbolisiert, dass sie unendlich teilbar ist. Bei digitaler Darstellung wird die Größe in diskreten Paketen symbolisiert.

Analoge Darstellung

Sie kennen wahrscheinlich schon eine analoge Darstellung von Geld, ohne es als solche erkannt zu haben. Haben Sie je ein Spendenplakat mit einem Thermometer gesehen, dessen rote Quecksilbersäule den gesammelten Betrag anzeigte? Je mehr Geld, desto höher die Säule.

Dies ist ein Beispiel analoger Zahlendarstellung. Es gibt keine echte Grenze, wie fein die Säulenhöhe unterteilt werden kann, um den Kontostand zu symbolisieren. Die Höhe zu verändern, ändert nicht die Wesensart der Darstellung.

Länge ist eine physikalische Größe, die beliebig fein teilbar ist – ohne praktisches Limit. Der Rechenschieber nutzt dieselbe physikalische Größe – Länge – zur Zahlendarstellung und Rechenoperationen. Er ist ebenfalls ein analoges Gerät.

Digitale Darstellung

Eine digitale Darstellung desselben Geldbetrags, geschrieben mit Standardsymbolen (Ziffern), sieht so aus:

35.955,38 €

Im Gegensatz zur Thermometer-Säule können diese Symbole nicht beliebig fein unterteilt werden: Diese spezifische Ziffernkombination steht für genau einen Wert.

Wird Geld hinzugefügt (+ 40,12 €), müssen andere Symbole für den neuen Stand (35.995,50 €) verwendet werden, oder dieselben Symbole in anderer Anordnung. Das ist digitale Darstellung.

Das Gegenstück zum Rechenschieber (analog) ist auch ein digitales Gerät: der Abakus, mit Perlen, die auf Stäben hin- und herbewegt werden, um numerische Größen zu symbolisieren:

Kontrast: Analog vs. Digital

Gegenüberstellung der beiden Darstellungsmethoden:

ANALOG	DIGITAL
Intuitiv verständlich	Erfordert Training zur Interpretation
Unendlich teilbar	Diskret
Anfällig für Präzisionsfehler	Absolute Präzision

Die Interpretation numerischer Symbole nehmen wir als selbstverständlich hin, weil sie uns seit Jahren beigebracht wird. Würden Sie aber versuchen, einer Person ohne Dezimalzahlkenntnisse eine Menge mitzuteilen, könnte diese das einfache Thermometer-Diagramm noch verstehen!

Unendliche Teilbarkeit vs. Diskretheit und Präzision sind zwei Seiten derselben Medaille. Digitale Darstellung aus einzelnen, diskreten Symbolen (Dezimalziffern, Abakus-Perlen) bedeutet notwendigerweise präzise Stufen. Analoge Darstellung (z. B. Rechenschieber-Länge) besteht nicht aus Einzelschritten, sondern aus einem kontinuierlichen Bewegungsbereich. Die Fähigkeit, eine Zahl unendlich genau zu charakterisieren, erkauft man mit Ungenauigkeit.

Wird ein Rechenschieber angestoßen, entsteht ein Darstellungsfehler. Ein Abakus muss viel härter gestoßen werden, bis Perlen vollständig aus ihrer Position geraten (genug, um eine andere Zahl darzustellen).

Wichtig: Digital heißt nicht notwendigerweise genauer. Eine Digitaluhr liest nicht zwingend präziser als eine analoge – nur die Ablesung ist weniger mehrdeutig.

Die Teilbarkeit analog vs. digital lässt sich an irrationalen Zahlen weiter beleuchten. Zahlen wie π sind irrational, da sie sich nicht exakt als Bruch ganzer Zahlen darstellen lassen.

Obwohl 22/7 oft als Näherung für π gelehrt wird, ist das nur eine Annäherung. Die tatsächliche Zahl π kann durch keine endliche Anzahl Dezimalstellen exakt ausgedrückt werden. Die Ziffern gehen unendlich weiter:

3,1415926535897932384 …

Theoretisch lässt sich ein Rechenschieber (oder Thermometersäule) perfekt auf π einstellen, weil analoge Symbole keine untere Grenze für Vergrößerung/Verkleinerung haben. Zeigt mein Rechenschieber 3,141593 statt 3,141592654, kann ich ihn minimal weiter schieben, um näher an π heranzukommen. Digital (Abakus) bräuchte ich zusätzliche Stäben (Stellen) für höhere Präzision.

Ein Abakus mit 10 Stäben kann nicht mehr als 10 Stellen von π darstellen, egal wie man die Perlen setzt. Für perfekte Darstellung von π bräuchte der Abakus unendlich viele Perlen und Stäbe! Der Trade-off: praktische Begrenzung beim Einstellen und Ablesen analoger Symbole.

Praktisch kann man einen Rechischieber nicht auf die 10. Nachkommastelle ablesen – Skalenteilung zu grob, menschliches Auge zu begrenzt. Ein Abakus hingegen lässt sich fehlerfrei einstellen und ablesen.

Zudem brauchen analoge Symbole einen Standard zum Vergleich für präzise Interpretation. Rechenschieber haben Markierungen entlang der Länge. Selbst das Thermometer-Plakat hat Zahlen entlang der Höhe.

Stellen Sie sich vor, wir kommunizierten Zahlen nur durch Handabstand: 1 = 1 Zoll, 2 = 2 Zoll … 17 = 17 Zoll. Würde jeder 17 Zoll sofort als 17 erkennen? Wohl kaum – manche schätzen 15–16, andere 18–19. (Angler bei Fangberichten mögen Überschätzungen!)

Vielleicht deshalb haben sich digitale Symbole für Zahlen durchgesetzt – besonders für natürliche Zahlen und ganze Zahlen, die im Alltag dominieren.

Mit unseren Fingern haben wir ein sofort verfügbares Symbolsystem für 0–10. Striche auf Papier, Holz oder Stein repräsentieren dieselben Mengen einfach:

Für große Zahlen wird das „Strichlisten“-Zahlensystem aber zu ineffizient.