Rechteckwellensignale

Es wurde festgestellt, dass jede sich wiederholende, nicht-sinusförmige Wellenformen können mit einer Kombination von Gleichspannung, Sinuswellen und/oder Kosinuswellen (Sinuswellen mit einer Phasenverschiebung von 90 Grad) bei verschiedenen Amplituden und Frequenzen gleichgesetzt werden.

Dies gilt unabhängig davon, wie seltsam oder verworren die fragliche Wellenform sein mag. Solange es sich im Laufe der Zeit regelmäßig wiederholt, ist es auf diese Reihe von Sinuswellen reduzierbar.

Insbesondere wurde festgestellt, dass Rechteckwellen mathematisch der Summe einer Sinuswelle bei derselben Frequenz plus einer unendlichen Reihe von Sinuswellen mit ungeradzahliger Frequenz bei abnehmender Amplitude entsprechen:

Diese Wahrheit über Wellenformen mag zunächst zu seltsam erscheinen, um sie zu glauben. Wenn jedoch eine Rechteckwelle tatsächlich eine unendliche Reihe von Sinuswellenoberwellen addiert ist, liegt es nahe, dass wir dies beweisen sollten, indem wir mehrere Sinuswellenoberwellen addieren, um eine enge Annäherung an eine Rechteckwelle zu erhalten.

Diese Argumentation ist nicht nur stichhaltig, sondern lässt sich mit SPICE leicht demonstrieren.

Die Schaltung, die wir simulieren werden, besteht aus mehreren Sinuswellen-Wechselspannungsquellen mit den richtigen Amplituden und Frequenzen, die in Reihe geschaltet sind. Wir verwenden SPICE, um die Spannungswellenformen über aufeinanderfolgende Additionen von Spannungsquellen wie folgt darzustellen:

Eine Rechteckwelle wird durch die Summe der Harmonischen angenähert.

In dieser speziellen SPICE-Simulation habe ich die Spannungsquellen der 1., 3., 5., 7. und 9. Harmonischen in Reihe für insgesamt fünf Wechselspannungsquellen summiert. Die Grundfrequenz beträgt 50 Hz und jede Harmonische ist natürlich ein ganzzahliges Vielfaches dieser Frequenz.

Die Amplituden-(Spannungs-)Zahlen sind keine Zufallszahlen; sie wurden vielmehr durch die in der Frequenzreihe gezeigten Gleichungen ermittelt (der Bruch 4/π multipliziert mit 1, 1/3, 1/5, 1/7 usw. für jede der ansteigenden ungeraden Harmonischen).

Erstellen einer Rechteckwelle v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1. Harmonische (50 Hz) v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3. Harmonische v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5. Harmonische v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7. Harmonische v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9. Harmonische r1 5 0 10k .tran 1m 20m .plot tran v(1,0) Plot 1. Harmonische .plot tran v(2,0) Plot 1. + 3. Harmonische .plot tran v(3,0) Plot 1. + 3. + 5. Harmonische .plot tran v(4,0) Plot 1. + 3. + 5. + 7. Harmonische .plot tran v(5,0) Plot 1st + . . . + 9. Harmonische .Ende 

Von hier aus werde ich die Analyse Schritt für Schritt erzählen und erklären, was wir uns ansehen. In diesem ersten Diagramm sehen wir die Grundfrequenz-Sinuswelle von 50 Hz allein. Es ist nichts anderes als eine reine Sinusform ohne zusätzlichen harmonischen Inhalt. Dies ist die Art von Wellenform, die von einer idealen Wechselstromquelle erzeugt wird:

Reine 50 Hz Sinuswelle.

Als nächstes sehen wir, was passiert, wenn diese saubere und einfache Wellenform mit der dritten Harmonischen (dreimal 50 Hz oder 150 Hz) kombiniert wird. Plötzlich sieht es nicht mehr wie eine saubere Sinuswelle aus:

Die Summe der 1. (50 Hz) und 3. (150 Hz) Harmonischen entspricht ungefähr einer 50 Hz-Rechteckwelle.

Die Anstiegs- und Abfallzeiten zwischen positiven und negativen Zyklen sind jetzt viel steiler, und die Wellenberge werden eher flach wie eine Rechteckwelle. Beobachten Sie, was passiert, wenn wir die nächste ungerade harmonische Frequenz hinzufügen:

Summe der 1., 3. und 5. Harmonischen nähert sich der Rechteckwelle.

Die auffälligste Veränderung hier ist, dass die Wellenberge noch mehr abgeflacht sind. An jedem Ende der Welle gibt es mehrere Senken und Kuppen, aber diese Senken und Kuppen haben eine kleinere Amplitude als zuvor. Sehen Sie sich noch einmal an, wie wir die nächste ungerade harmonische Wellenform zum Mix hinzufügen:

Die Summe der 1., 3., 5. und 7. Harmonischen nähert sich der Rechteckwelle an.

Hier können wir sehen, wie die Welle bei jedem Gipfel flacher wird. Schließlich addieren wir die 9. Harmonische, die fünfte Sinusspannungsquelle in unserer Schaltung, und erhalten dieses Ergebnis:

Die Summe der 1., 3., 5., 7. und 9. Harmonischen nähert sich der Rechteckwelle.

Das Endergebnis der Addition der ersten fünf ungeraden harmonischen Wellenformen (natürlich alle mit den richtigen Amplituden) ist eine enge Annäherung an eine Rechteckwelle. Der Punkt dabei ist zu veranschaulichen, wie wir eine Rechteckwelle aus mehreren Sinuswellen mit unterschiedlichen Frequenzen aufbauen können, um zu beweisen, dass eine reine Rechteckwelle tatsächlich einer Reihe entspricht von Sinuswellen.

Wenn eine Rechteckwellen-Wechselspannung an einen Stromkreis mit reaktiven Komponenten (Kondensatoren und Induktivitäten) angelegt wird, reagieren diese Komponenten, als ob sie mehreren Sinusspannungen unterschiedlicher Frequenz ausgesetzt wären, was sie auch tatsächlich sind.

Die Tatsache, dass sich wiederholende, nicht-sinusförmige Wellen einer bestimmten Reihe von additiven Gleichspannungs-, Sinus- und/oder Kosinuswellen entsprechen, ist eine Folge der Funktionsweise von Wellen:eine grundlegende Eigenschaft aller wellenbezogenen Phänomene, elektrisch oder anderweitig.

Der mathematische Prozess, eine nicht-sinusförmige Welle in diese konstituierenden Frequenzen zu reduzieren, wird als Fourier-Analyse bezeichnet , deren Einzelheiten den Rahmen dieses Textes sprengen würden. Es wurden jedoch Computeralgorithmen entwickelt, um diese Analyse mit hohen Geschwindigkeiten an realen Wellenformen durchzuführen, und ihre Anwendung in der Wechselstromqualität und Signalanalyse ist weit verbreitet.

SPICE hat die Fähigkeit, eine Wellenform abzutasten und sie durch eine Fourier-Transformation in ihre konstituierenden Sinuswellen-Oberwellen zu reduzieren Algorithmus, der die Frequenzanalyse als Zahlentabelle ausgibt. Versuchen wir dies an einer Rechteckwelle, von der wir bereits wissen, dass sie aus ungeradzahligen harmonischen Sinuswellen besteht:

Netzliste für die Rechteckwellenanalyse v1 1 0 Impuls (-1 1 0,1m 0,1m 10m 20m) r1 1 0 10k .tran 1m 40m .plot tran v(1,0) .vier 50 v(1,0) .Ende 

Der Puls Option in der Netzlistenzeile zur Beschreibung der Spannungsquelle v1 weist SPICE an, eine rechteckige „Puls“-Wellenform zu simulieren, in diesem Fall eine, die symmetrisch ist (gleiche Zeit für jede Halbwelle) und eine Spitzenamplitude von 1 Volt hat. Zuerst zeichnen wir die zu analysierende Rechteckwelle:

Squarewave für die SPICE-Fourier-Analyse

Als Nächstes drucken wir die von SPICE für diese Rechteckwelle generierte Fourier-Analyse:

Fourier-Komponenten der transienten Reaktion v(1) Gleichstromkomponente =-2.439E-02 harmonische Frequenz fouriernormiert phasennormiert keine (hz) Komponente Komponente (Grad) Phase (Grad) 1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000 2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195 3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390 4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585 5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780 6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976 7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171 8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366 9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561 Gesamtklirrfaktor =43,805747 Prozent 

Darstellung der Fourier-Analyseergebnisse.

Hier (Abbildung oben) hat SPICE die Wellenform in ein Spektrum von Sinusfrequenzen bis zur neunten Harmonischen unterteilt, plus eine kleine Gleichspannung mit der Bezeichnung DC-Komponente .

Ich musste SPICE die Grundfrequenz mitteilen (für eine Rechteckwelle mit einer Periode von 20 Millisekunden beträgt diese Frequenz 50 Hz), damit es die Oberwellen klassifizieren konnte. Beachten Sie, wie klein die Zahlen für alle geraden Harmonischen (2., 4., 6., 8.) sind und wie die Amplituden der ungeraden Harmonischen abnehmen (1. ist die größte, 9. ist die kleinste).

Dieselbe Technik der "Fourier-Transformation" wird häufig in computergestützten Leistungsinstrumenten verwendet, wobei die Wechselstromwellenform(en) abgetastet und deren Oberwellengehalt bestimmt wird. Ein gängiger Computeralgorithmus (Abfolge von Programmschritten zur Ausführung einer Aufgabe) hierfür ist die Fast Fourier Transform oder FFT Funktion.

Sie müssen sich nicht genau darum kümmern, wie diese Computerroutinen funktionieren, aber Sie müssen sich ihrer Existenz und Anwendung bewusst sein.

Dieselbe mathematische Technik, die in SPICE verwendet wird, um den harmonischen Inhalt von Wellen zu analysieren, kann auf die technische Analyse von Musik angewendet werden:Zerlegen eines bestimmten Klangs in seine konstituierenden Sinuswellenfrequenzen.

Tatsächlich haben Sie vielleicht schon ein Gerät gesehen, das genau das kann, ohne zu wissen, was es war! Ein grafischer Equalizer ist ein HiFi-Stereogerät, das die Art des harmonischen Inhalts von Musik steuert (und manchmal anzeigt).

Ausgestattet mit mehreren Knöpfen oder Schiebehebeln ist der Equalizer in der Lage, die Amplitude bestimmter in der Musik vorkommender Frequenzen selektiv zu dämpfen (zu reduzieren), um den Klang zum Wohle des Hörers „anzupassen“. Normalerweise befindet sich neben jedem Bedienhebel ein „Balkendiagramm“, das die Amplitude jeder bestimmten Frequenz anzeigt.

Hi-Fi-Audio-Grafik-Equalizer.

Ein Gerät, das ausschließlich dazu gebaut ist, die Amplituden jedes Frequenzbereichs für ein Mischfrequenzsignal anzuzeigen – nicht zu kontrollieren – wird normalerweise als Spektrumanalysator bezeichnet .

Das Design von Spektrumanalysatoren kann so einfach sein wie ein Satz von „Filter“-Schaltkreisen (siehe nächstes Kapitel für Details), die die verschiedenen Frequenzen voneinander trennen, oder so komplex wie ein spezieller digitaler Computer mit einem FFT-Algorithmus, um das Signal mathematisch in seine harmonischen Komponenten aufteilen.

Spektrumanalysatoren sind häufig darauf ausgelegt, extrem hochfrequente Signale zu analysieren, wie sie beispielsweise von Funksendern und Computernetzwerkhardware erzeugt werden. In dieser Form haben sie oft das Aussehen eines Oszilloskops:

Der Spektrumanalysator zeigt die Amplitude als Funktion der Frequenz an.

Wie ein Oszilloskop verwendet der Spektrumanalysator eine CRT (oder eine Computeranzeige, die eine CRT nachahmt), um eine grafische Darstellung des Signals anzuzeigen.

Im Gegensatz zu einem Oszilloskop ist dieses Diagramm die Amplitude über der Frequenz statt Amplitude über Zeit . Im Wesentlichen liefert ein Frequenzanalysator dem Operator ein Bode-Diagramm des Signals:etwas, das ein Ingenieur als Frequenzbereich bezeichnen könnte statt einer Zeitdomäne Analyse.

Der Begriff „Domäne“ ist mathematisch:ein ausgeklügeltes Wort, um die horizontale Achse eines Graphen zu beschreiben. Somit ist die Darstellung der Amplitude (vertikal) über der Zeit (horizontal) eines Oszilloskops eine „Zeitbereichs“-Analyse, während die Darstellung der Amplitude (vertikal) über der Frequenz (horizontal) eines Spektrumanalysators eine „Frequenzbereichs“-Analyse ist.

Wenn wir SPICE verwenden, um die Signalamplitude (entweder Spannungs- oder Stromamplitude) über einen Frequenzbereich aufzuzeichnen, führen wir eine Frequenzdomäne . durch Analyse.

Bitte beachten Sie, dass die Fourier-Analyse aus der letzten SPICE-Simulation nicht „perfekt“ ist. Idealerweise sollten die Amplituden aller geraden Harmonischen absolut Null sein, ebenso wie die DC-Komponente. Auch dies ist nicht so sehr eine Eigenart von SPICE, sondern eine Eigenschaft von Wellenformen im Allgemeinen.

Eine Wellenform unendlicher Dauer (unendliche Anzahl von Zyklen) kann mit absoluter Präzision analysiert werden, aber je weniger Zyklen dem Computer zur Analyse zur Verfügung stehen, desto ungenauer ist die Analyse. Nur wenn wir eine Gleichung haben, die eine Wellenform in ihrer Gesamtheit beschreibt, kann die Fourier-Analyse sie auf eine bestimmte Reihe von Sinuswellenformen reduzieren.

Je seltener eine Welle Zyklen durchläuft, desto unsicherer ist ihre Frequenz. Wenn man dieses Konzept auf die Spitze treibt, hat ein kurzer Puls – eine Wellenform, die nicht einmal einen Zyklus abschließt – tatsächlich keine Frequenz , sondern fungiert vielmehr als unendlicher Frequenzbereich. Dieses Prinzip gilt allen wellenbasierte Phänomene, nicht nur Wechselspannungen und -ströme.

Es genügt zu sagen, dass die Anzahl der Zyklen und die Gewissheit der Frequenzkomponente(n) einer Wellenform in direktem Zusammenhang stehen.

Wir könnten die Genauigkeit unserer Analyse hier verbessern, indem wir die Welle für viele Zyklen immer weiter schwingen lassen, und das Ergebnis wäre eine Spektrumanalyse, die dem Ideal besser entspricht. In der folgenden Analyse habe ich der Kürze halber das Wellenformdiagramm weggelassen – es ist nur eine wirklich lange Rechteckwelle:

Rechteckwelle v1 1 0 Impuls (-1 1 0,1m 0,1m 10m 20m) r1 1 0 10k .option limpts=1001 .tran 1m 1 .plot tran v(1,0) .vier 50 v(1,0) .Ende Fourier-Komponenten der Übergangsantwort v(1) Gleichstromkomponente =9,999E-03 harmonische Frequenz fouriernormiert phasennormiert keine (hz) Komponente Komponente (Grad) Phase (Grad) 1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000 2 1.000E+02 1.999E-02 0,015704 86,382 88,182 3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600 4 2.000E+02 1.997E-02 0,015688 82.764 84.564 5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200 6 3.000E+02 1,994E-02 0,015663 79,146 80.946 7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800 8 4.000E+02 1,989E-02 0,015627 75,529 77,329 9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399

Verbesserte Fourier-Analyse.

Beachten Sie, wie diese Analyse (Abbildung oben) eine geringere Gleichspannung und geringere Amplituden für jede der Sinuswellen mit gerader harmonischer Frequenz zeigt, alles weil wir den Computer mehr Zyklen der Welle abtasten lassen. Auch hier ist die Ungenauigkeit der ersten Analyse nicht so sehr ein Fehler in SPICE, sondern eine grundlegende Eigenschaft von Wellen und der Signalanalyse.

RÜCKBLICK:

• Rechteckwellen entsprechen einer Sinuswelle mit derselben (Grund-)Frequenz, die zu einer unendlichen Reihe von ungeradzahligen Sinuswellenharmonischen mit abnehmender Amplitude hinzugefügt wird.
• Es gibt Computeralgorithmen, die in der Lage sind, Wellenformen abzutasten und ihre konstituierenden sinusförmigen Komponenten zu bestimmen. Die Fourier-Transformation Algorithmus (insbesondere die Fast Fourier Transform , oder FFT ) wird häufig in Computerschaltkreis-Simulationsprogrammen wie SPICE und in elektronischen Messgeräten zur Bestimmung der Stromqualität verwendet.

VERWANDTE ARBEITSBLÄTTER:

• Arbeitsblatt für Rechteckwellensignale

Einführung in Mischfrequenz-Wechselstromsignale Andere Wellenformen