Rechteckwellensignale verstehen: Grundlagen und Anwendungen

Es wurde festgestellt, dass jede sich wiederholende, nicht-sinusoidale Wellenform einer Kombination aus DC-Spannung, Sinuswellen und/oder Cosinuswellen (Sinuswellen mit 90 Grad Phasenverschiebung) bei verschiedenen Amplituden und Frequenzen gleichgesetzt werden kann.

Dies gilt egal, wie seltsam oder konvolut die Wellenform auch sein mag. Solange sie sich regelmäßig über die Zeit wiederholt, ist sie auf diese Reihe von Sinuswellen reduzierbar.

Insbesondere wurde festgestellt, dass Rechteckwellen mathematisch äquivalent zur Summe einer Sinuswelle bei derselben Frequenz plus einer unendlichen Reihe von ungeraden Vielfachen der Frequenz mit abnehmender Amplitude sind:

Diese Wahrheit über Wellenformen mag auf den ersten Blick zu seltsam erscheinen, um geglaubt zu werden. Wenn eine Rechteckwelle tatsächlich eine unendliche Reihe von Sinuswellen-Harmonischen ist, die zusammengeaddiert werden, steht zu vermuten, dass wir dies beweisen können, indem wir mehrere Sinuswellen-Harmonischen zusammenaddieren, um eine annähernde Rechteckwelle zu erzeugen.

Diese Überlegung ist nicht nur stichhaltig, sondern leicht mit SPICE demonstrierbar.

Der Kreis, den wir simulieren werden, ist nichts weiter als mehrere Sinuswellen-AC-Spannungsquellen mit den richtigen Amplituden und Frequenzen, die in Reihe geschaltet sind. Wir werden SPICE verwenden, um die Spannungswellenformen über successive Additionen von Spannungsquellen darzustellen, wie folgt:

Eine Rechteckwelle wird durch die Summe von Harmonischen angenähert.

In dieser speziellen SPICE-Simulation habe ich die 1., 3., 5., 7. und 9. harmonische Spannungsquelle in Reihe summiert für insgesamt fünf AC-Spannungsquellen. Die Grundfrequenz beträgt 50 Hz und jede Harmonische ist natürlich ein ganzzahliges Vielfaches dieser Frequenz.

Die Amplitudenwerte (Spannung) sind keine zufälligen Zahlen; sie wurden durch die in der Frequenzreihe gezeigten Gleichungen ermittelt (der Bruch 4/π multipliziert mit 1, 1/3, 1/5, 1/7 usw. für jede der steigenden ungeraden Harmonischen).

building a squarewave
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1st harmonic (50 Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3rd harmonic
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5th harmonic
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7th harmonic
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9th harmonic
r1 5 0 10k
.tran 1m 20m
.plot tran v(1,0) Plot 1st harmonic
.plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics
.plot tran v(3,0) Plot 1st + 3rd + 5th harmonics
.plot tran v(4,0) Plot 1st + 3rd + 5th + 7th harmonics
.plot tran v(5,0) Plot 1st + ... + 9th harmonics
.end

Ich werde die Analyse schrittweise von hier aus erzählen und erklären, worauf wir schauen. In diesem ersten Plot sehen wir die Grundfrequenz-Sinuswelle von 50 Hz für sich allein. Es ist nichts als eine reine Sinusform, ohne zusätzlichen harmonischen Inhalt. Dies ist die Art von Wellenform, die von einer idealen AC-Stromquelle erzeugt wird:

Reine 50 Hz Sinuswelle.

Als Nächstes sehen wir, was passiert, wenn diese saubere und einfache Wellenform mit der dritten Harmonischen (dreimal 50 Hz, also 150 Hz) kombiniert wird. Plötzlich sieht sie nicht mehr wie eine saubere Sinuswelle aus:

Summe der 1. (50 Hz) und 3. (150 Hz) Harmonischen approximiert eine 50 Hz Rechteckwelle.

Die Anstiegs- und Abfallzeiten zwischen positiven und negativen Zyklen sind jetzt viel steiler, und die Wellenkämme nähern sich einer flachen Form wie eine Rechteckwelle. Beobachten Sie, was passiert, wenn wir die nächste ungerade Harmonische hinzufügen:

Summe der 1., 3. und 5. Harmonischen approximiert Rechteckwelle.

Die auffälligste Änderung hier ist, wie die Wellenkämme noch flacher geworden sind. Es gibt mehrere Täler und Kämme an jedem Ende der Welle, aber diese Täler und Kämme sind kleiner in Amplitude als zuvor. Sehen Sie wieder, was passiert, wenn wir die nächste ungerade Harmonische Wellenform zum Mix hinzufügen:

Summe der 1., 3., 5. und 7. Harmonischen approximiert Rechteckwelle.

Hier sehen wir, wie die Welle an jedem Peak flacher wird. Schließlich, indem wir die 9. Harmonische hinzufügen, die fünfte Sinuswellenspannungsquelle in unserem Kreis, erhalten wir dieses Ergebnis:

Summe der 1., 3., 5., 7. und 9. Harmonischen approximiert Rechteckwelle.

Das Endergebnis der Addition der ersten fünf ungeraden harmonischen Wellenformen (alle mit den richtigen Amplituden) ist eine enge Annäherung an eine Rechteckwelle. Der Punkt dabei ist zu veranschaulichen, wie wir eine Rechteckwelle aus mehreren Sinuswellen bei verschiedenen Frequenzen aufbauen können, um zu beweisen, dass eine reine Rechteckwelle tatsächlich äquivalent zu einer Reihe von Sinuswellen ist.

Wenn eine Rechteckwellen-AC-Spannung auf einen Kreis mit reaktiven Komponenten (Kondensatoren und Spulen) angewendet wird, reagieren diese Komponenten so, als wären sie mehreren Sinuswellenspannungen unterschiedlicher Frequenzen ausgesetzt, was sie in der Tat sind.

Die Tatsache, dass sich wiederholende, nicht-sinusoidale Wellen einer bestimmten Reihe von additiven DC-Spannungen, Sinuswellen und/oder Cosinuswellen entsprechen, ist eine Folge der Funktionsweise von Wellen: eine fundamentale Eigenschaft aller wellenbezogenen Phänomene, elektrisch oder anderweitig.

Der mathematische Prozess, eine nicht-sinusoidale Welle in diese Bestandteilsfrequenzen zu zerlegen, heißt Fourier-Analyse, deren Details weit über den Rahmen dieses Textes hinausgehen. Computeralgorithmen wurden jedoch entwickelt, um diese Analyse mit hoher Geschwindigkeit an realen Wellenformen durchzuführen, und ihre Anwendung in der AC-Leistungsqualität und Signalanalyse ist weit verbreitet.

SPICE hat die Fähigkeit, eine Wellenform zu sampeln und sie mittels eines Fourier-Transformations-Algorithmus in ihre Bestandteilsinuswellen-Harmonischen zu zerlegen, wobei die Frequenzanalyse als Zahlentabelle ausgegeben wird. Lassen Sie uns dies an einer Rechteckwelle ausprobieren, von der wir bereits wissen, dass sie aus ungeraden-harmonischen Sinuswellen besteht:

squarewave analysis netlist
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.tran 1m 40m
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end

Die pulse Option in der Netlist-Zeile, die die Spannungsquelle v1 beschreibt, weist SPICE an, eine quadratförmige „Puls“-Wellenform zu simulieren, in diesem Fall eine symmetrische (gleiche Zeit für jeden Halbzyklus) mit einem Spitzenwert von 1 Volt. Zuerst plotten wir die zu analysierende Rechteckwelle:

Rechteckwelle für SPICE Fourier-Analyse

Als Nächstes drucken wir die von SPICE für diese Rechteckwelle generierte Fourier-Analyse:

fourier components of transient response v(1)
dc component = -2.439E-02
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
total harmonic distortion = 43.805747 percent

Plot der Fourier-Analyse-Ergebnisse.

Hier hat SPICE die Wellenform in ein Spektrum sinusförmiger Frequenzen bis zur neunten Harmonischen zerlegt, plus eine kleine DC-Spannung, bezeichnet als DC component.

Ich musste SPICE die Grundfrequenz mitteilen (für eine Rechteckwelle mit 20 Millisekunden Periode beträgt diese Frequenz 50 Hz), damit es wusste, wie die Harmonischen zu klassifizieren sind. Beachten Sie, wie klein die Werte für alle geraden Harmonischen (2., 4., 6., 8.) sind und wie die Amplituden der ungeraden Harmonischen abnehmen (1. ist größte, 9. ist kleinste).

Dieselbe Technik der „Fourier-Transformation“ wird oft in computergestützter Leistungsinstrumentierung verwendet, um die AC-Wellenform(en) zu sampeln und den Harmonischengehalt zu bestimmen. Ein gängiger Computer-Algorithmus (Abfolge von Programmschritten zur Aufgabenerfüllung) dafür ist die Schnelle Fourier-Transformation oder FFT-Funktion.

Sie müssen sich nicht genau damit befassen, wie diese Computerroutinen funktionieren, aber seien Sie sich ihrer Existenz und Anwendung bewusst.

Dieselbe mathematische Technik, die in SPICE zur Analyse des Harmonischengehalts von Wellen verwendet wird, kann auf die technische Analyse von Musik angewendet werden: das Zerlegen eines bestimmten Klangs in seine bestandteilsinuswellen-Frequenzen.

Tatsächlich haben Sie vielleicht bereits ein Gerät gesehen, das genau das tut, ohne zu realisieren, was es war! Ein Graphic Equalizer ist ein Stück High-Fidelity-Stereoausrüstung, das die Natur des Harmonischengehalts von Musik steuert (und manchmal anzeigt).

Ausgestattet mit mehreren Knöpfen oder Schiebern kann der Equalizer die Amplitude bestimmter Frequenzen in Musik selektiv abschwächen (reduzieren), um den Klang für den Hörer „anzupassen“. Typischerweise gibt es ein „Balkendiagramm“-Display neben jedem Steuerhebel, das die Amplitude jeder bestimmten Frequenz anzeigt.

Hi-Fi Audio Graphic Equalizer.

Ein Gerät, das ausschließlich dazu gebaut ist, die Amplituden jedes Frequenzbereichs für ein gemischtfrequentes Signal anzuzeigen – nicht zu steuern – wird typischerweise als Spektrumanalysator bezeichnet.

Das Design von Spektrumanalysatoren kann so einfach sein wie ein Satz „Filter“-Schaltungen (siehe nächstes Kapitel für Details), die die verschiedenen Frequenzen voneinander trennen, oder so komplex wie ein spezieller Digitalcomputer, der einen FFT-Algorithmus ausführt, um das Signal mathematisch in seine harmonischen Komponenten aufzuteilen.

Spektrumanalysatoren sind oft darauf ausgelegt, extrem hochfrequente Signale zu analysieren, wie sie von Funktransmittern und Computernetzwerk-Hardware erzeugt werden. In dieser Form haben sie oft ein Aussehen wie ein Oszilloskop:

Spektrumanalysator zeigt Amplitude als Funktion der Frequenz.

Wie ein Oszilloskop verwendet der Spektrumanalysator einen CRT (oder ein Computerdisplay, das einen CRT nachahmt), um einen Plot des Signals anzuzeigen.

Im Gegensatz zum Oszilloskop ist dieser Plot Amplitude über Frequenz statt Amplitude über Zeit. Im Wesentlichen gibt ein Frequenzanalysator dem Bediener einen Bode-Plot des Signals: etwas, was ein Ingenieur als Frequenzbereichs-Analyse bezeichnen könnte, im Gegensatz zu einer Zeitbereichs-Analyse.

square wave
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.option limpts=1001
.tran 1m 1
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end
fourier components of transient response v(1)
dc component = 9.999E-03
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399