Kleinwinkelstreuung Enthüllt Struktur Deterministischer Nanoskaliger Fat-Fraktale

Zusammenfassung

Kleinwinkelstreuung (von Neutronen, Röntgen oder Licht; SAS) wird betrachtet, um die strukturellen Eigenschaften deterministischer nanoskaliger Fat-Fraktale zu beschreiben. Wir zeigen, dass im Fall eines polydispersen Fraktalsystems, mit gleicher Wahrscheinlichkeit für jede Orientierung, die Fraktaldimensionen und Skalierungsfaktoren auf jeder Strukturebene erhalten werden. Dies stimmt mit allgemeinen Ergebnissen überein, die im Kontext der Kleinwinkelstreuungsanalyse eines Systems zufällig orientierter, nicht wechselwirkender Nano-/Mikro-Fraktale abgeleitet wurden. Wir wenden unsere Ergebnisse auf einen zweidimensionalen fettigen Cantor-ähnlichen Fraktal an, berechnen analytische Ausdrücke für die Streuintensitäten und Strukturfaktoren. Wir erklären, wie die strukturellen Eigenschaften aus Experimentaldaten berechnet werden können und zeigen ihre Korrelation zur Variation des Skalierungsfaktors mit der Iterationszahl. Das Modell kann verwendet werden, um aufgezeichnete experimentelle SAS-Daten im Rahmen von Fat-Fraktalen zu interpretieren und strukturelle Eigenschaften von Materialien aufzudecken, die durch ein regelmäßiges Gesetz der Änderung der Fraktaldimensionen charakterisiert sind. Es kann Sukzessionen von Potenzgesetzabfällen mit beliebig abnehmenden Werten der Streuexponenten sowie dazwischenliegende Bereiche konstanter Intensität beschreiben.

Einführung

Viele hierarchische Strukturen, die auf Nano- und Mikroskala erzeugt werden, haben geometrische Eigenschaften, die unter Skalendilatationen invariant sind, Selbstähnlichkeit aufweisen und somit fraktale Eigenschaften tragen. Obwohl jüngste Fortschritte in Materialwissenschaft und Nanotechnologie die Herstellung verschiedener künstlicher Nano-/Mikroskala-deterministischer Fraktale mit exakter Selbstähnlichkeit ermöglichen, erzeugen die meisten natürlichen Prozesse zufällige, statistisch selbstähnliche Fraktale. Eine gute Approximation in der Strukturuntersuchung natürlicher fraktaler Formationen kann durch Rückgriff auf deterministische Fraktalmodelle mit derselben Fraktaldimension wie die zufälligen erfolgen. Dieser Ansatz wurde erfolgreich genutzt, um zu zeigen, dass der Transport über zufällige fraktale Oberflächen sehr nahe an der Antwort deterministischer Modellgeometrien liegt. Durch Einführung von Polydispersität in den Konstruktionsalgorithmus eines deterministischen Fraktals können ähnliche SAS-Intensitäten wie denen zufälliger Fraktale erhalten werden. Zudem ist ein „deterministischer“ Ansatz rechnerisch effizienter und ermöglicht die analytische Beschreibung verschiedener Eigenschaften wie fraktale Form, Strukturfaktoren und Trägheitsradius.

Eine der zuverlässigsten Methoden zur Bestimmung der strukturellen Eigenschaften sowohl deterministischer als auch zufälliger Fraktale ist die Wellendiffraktion im Kontext der Kleinwinkelstreuung an nano- oder mikrostrukturierten Materialien unter Verwendung von Neutronen oder elektromagnetischen Wellen (Röntgen, Licht usw.). Daher ist eine der grundlegenden Aufgaben in theoretischen Beschreibungen, die mit experimentellen Bestimmungen in diesem Forschungsbereich verknüpft sind, die Beziehung zwischen der Struktur von Fraktalen und ihrem entsprechenden Diffraktionsspektrum oder Streuintensitätsverteilung vs. Streuwellenvektor aufzudecken. Viele experimentelle und theoretische Studien wurden in diese Richtung durchgeführt.

Mit standardmäßigen theoretischen Berechnungen und Interpolation ist der Parameter, der aus diesen experimentellen Messungen bestimmt wird, die Massenfraktaldimension D_m (siehe Anhang 1), mit D_m < d, oder die Oberflächenfraktaldimension D_s, mit d−1 < D_s < d. Wir bezeichnen mit d die euklidische Dimension, in die der Fraktal eingebettet ist. Die Massenfraktaldimension beschreibt, wie die Masse M(r) variiert, wenn sie in einen Kreis mit Radius r eingebettet ist. Die erhaltene Masse-Radius-Beziehung M(r) ∝ r^{D_m} führt zum Verhalten der Streuintensität I(q) ∝ q^{-D_m}. Offensichtlich kann D_m mit dem Exponenten der Potenzgesetzabhängigkeit der Streuintensität als Funktion des Streuwellenvektors q identifiziert werden. Je höher der Wert von D_m, desto kompakter ist die Struktur. Ähnlich gehorcht bei einem Oberflächenfraktal seine Flächenverteilung S(r) ∝ r^{2-D_s}, und somit I(q) ∝ q^{-(2d-D_s)}. Im dreidimensionalen euklidischen Raum nähert sich D_s dem Minimum von zwei an, wenn die Oberfläche fast perfekt glatt ist. Sie strebt dem Maximum von drei zu, wenn sie so gefaltet ist, dass sie den Raum fast vollständig ausfüllt.

Viele experimentelle Diffraktionsintensitäten aus verschiedenen chemisch synthetisierten und biologischen Systemen sind auf einer doppelt logarithmischen Skala durch eine Sukzession von Potenzgesetzabfällen gekennzeichnet, die von Bereichen konstanter Intensität unterbrochen werden. Dieses Verhalten kann für einige Polymergele, Glykosidhydrolasen für Cellobiosesubstrat, Polyelektrolyt-Komplex-Coacervate oder nanoporösen Kohlenstoff identifiziert werden. Obwohl das klassische Beaucage-Modell grundlegende strukturelle Informationen über diese Systeme liefern kann (d. h. Massen- oder Oberflächenfraktaldimension und Gesamtgröße jeder Strukturebene), wird eine vollständigere Charakterisierung benötigt, da es eine große Anzahl von Konfigurationen gibt, die einem festen Wert der Fraktaldimension entsprechen. Dieses Problem wurde kürzlich teilweise von Cherny et al. im Kontext der SAS-Modelle adressiert. Es wurde gezeigt, dass für deterministische Massenfraktale mit einer einzelnen Skala zusätzliche Informationen gewonnen werden können, wie die Fraktaliterationszahl, die Anzahl der grundlegenden Bestandseinheiten und der Skalierungsfaktor. Dieser Ansatz wurde ferner erfolgreich genutzt, um neue Modelle für Fat-Fraktale zu entwickeln, wenn Sukzessionen von Potenzgesetzabfällen in den Streuverteilungen vorhanden sind. Er kann auf Strukturen angewendet werden, bei denen die Gesamtgröße der grundlegenden Bestandseinheiten derselben Größenordnung ist wie die Abstände zwischen ihnen.

Das in diesem Artikel vorgestellte theoretische Modell kombiniert frühere Modelle, um ihre Anwendbarkeit zu erweitern. Es beschreibt Sukzessionen von Potenzgesetzabfällen mit beliebig abnehmenden Werten der Streuexponenten, die von Bereichen konstanter Intensität unterbrochen sind. Unser Modell kann auch detailliertere Informationen über jede Strukturebene im Nano-/Mikro-Fraktal liefern. Zu diesem Zweck betrachten wir einen Fat-Fraktal, dargestellt durch einen zweidimensionalen deterministischen Massenfraktal mit einem Skalierungsfaktor, der von der Iterationszahl abhängt, aber mit nicht verschwindender Oberfläche im Limes großer Iterationszahlen, also mit positivem Lebesgue-Maß. Wir leiten analytische Ausdrücke für den fraktalen Form- und Strukturfaktor her und zeigen, wie die Fraktaldimensionen und Skalierungsfaktoren auf jeder Strukturebene bestimmt werden können.

Theoretischer Hintergrund

Betrachtet man ein Array ähnlich orientierter, identischer Diffraktionsblenden, hier mit Σ bezeichnet, das N transparente Bereiche enthält, indiziert mit j, so muss eine Summation über die Amplituden, die von jeder Blende gewonnen werden, berücksichtigt werden. Die bekannte Frequenzverteilung der Diffraktionsamplitude einer einzelnen Blende (Gleichung (37) im Anhang 2) kann umgeschrieben werden als:

A(p,s) = Σ_{j=1}^N ∬_{-∞}^{+∞} T(x,y) e^{-2iπ(p(x+x_j) + s(y+y_j))} dx dy   (1)

Die Koordinaten eines Punkts im lokalen Koordinatensystem der j-ten Blende sind (x_j, y_j), und T(x,y) stellt die individuelle Transmissionsfunktion für jeden transparenten Bereich dar. Da die Blenden durch dieselbe individuelle Verteilungsfunktion beschrieben werden, kann die Summation mit der Integration vertauscht werden, sodass Gleichung (1) umgeschrieben werden kann als:

A(p,s) = ∬_{-∞}^{+∞} T(x,y) e^{-2iπ(px + sy)} dx dy × Σ_{j=1}^N e^{ipx_j} e^{isy_j}   (2)

Der Integralfaktor der vorigen Gleichung stellt die Fourier-Transformation der Verteilungsfunktion jeder der identischen Blenden dar, wie oben angemerkt. Diese Amplitude wird durch den Faktor moduliert, der die Summation enthält, welche die Fourier-Transformation von Dirac-Delta-Verteilungen der Form A_δ = Σ_{j=1}^N (x - x_j)(y - y_j) darstellt. Somit wird auch die räumliche Verteilung der Blenden innerhalb des Diffraktionsarrays Σ berücksichtigt. Daher kann Gleichung (2) in der als Array-Theorem bekannten Form umgeschrieben werden:

A(p,s) = ℱ{T(x,y)} ℱ{A_δ}   (3)

Die Intensitätsverteilung des diffraktierten Bildes in der Fourierebene wird:

I(p,s) ≡ |A(p,s)|² = |ℱ{T(x,y)}|² |ℱ{A_δ}|²   (4)

Wie erwartet entspricht der erste Faktor im Produkt der Streuintensität eines einzelnen Lochs, während der zweite die Art und Weise offenbart, wie diese Löcher innerhalb der Diffraktionsblende Σ verteilt sind. Diese Größen sind auch als Formfaktor F(p,q) und Strukturfaktor S(p,q) bekannt. Daher werden die im gesamten Papier erhaltenen Ergebnisse mit der folgenden Form der Streuintensität ausgedrückt:

I(p,q) ≡ F(p,s) S(p,s)   (5)

Fat-Fraktal-Modell und Methode

Das detaillierte Verfahren zur Konstruktion eines dünnen (regulären) Cantor-Fraktals ist bekannt. Hier wird nur das Hauptkonstruktionsverfahren zusammengefasst. Ein Top-Down-Ansatz wird angewendet. Ausgehend von einem Anfangsquadrat (oder einer anderen euklidischen Form) mit Kantenlänge l_0 (bei m = 0), dessen Mittelpunkt mit dem Ursprung des kartesischen Koordinatensystems zusammenfällt und Kanten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, erfüllt jeder Punkt im Quadrat die Bedingungen -l_0/2 ≤ x ≤ l_0/2 und -l_0/2 ≤ y ≤ l_0/2. Bei der ersten Iteration (m = 1) wird das Quadrat in vier weitere Quadrate mit Kantenlänge β_s^{(1)} l_0 unterteilt. Wir bezeichnen mit β_s^{(1)} ≡ (1-γ_1)/2, mit 0 < β_s^{(1)} < 1/2, den Skalierungsfaktor der ersten Iteration, und mit γ_1 den Bruchteil der entfernten Länge an diesem Punkt, wie in Abb. 1 a, b für m = 1 zu sehen. Die Zahl in Klammern (⋯), die als oberer Index erscheint, quantifiziert die Iterationszahl. Sie darf nicht als Exponent einer Potenzfunktion interpretiert werden. In Bezug auf den Skalierungsfaktor werden die Positionen der vier Quadrate durch die Vektoren a_j = {± β_t^{(1)} l_0, ± β_t^{(1)} l_0} mit allen möglichen Vorzeichenkombinationen gegeben, wobei β_t^{(1)} = (1-β_s^{(1)})/2 zur weiteren Vereinfachung der Formulierungen verwendet wird. Das Quadrat wurde als Anfangsform gewählt, aufgrund der Einfachheit numerischer Berechnungen. Jede andere geometrische Form, zum Beispiel ein Kreis, kann betrachtet werden. Der Effekt der Wahl einer anderen Form zeigt sich nur im Porod-Bereich des Formfaktors, was den Rahmen dieser Arbeit übersteigt.

Die ersten beiden oben beschriebenen Schritte werden auch bei der Konstruktion der klassischen Version eines Fat-Fraktals für die Iterationen m = 0 und m = 1 angewendet. Deshalb stimmen diese beiden Strukturen bislang überein. Um den Fat-Fraktal zu erhalten, muss eine Modifikation des Algorithmus, der bei Iteration m = 1 verwendet wird, vorgenommen werden, indem ein anderer Skalierungsfaktor bei m = 2 gewählt wird, β_s^{(2)} ≡ (1 - γ_2)/2. Wendet man den gesamten Algorithmus im Limes großer Iterationszahlen an, erhält man die klassische Version eines Fat-Fraktals neu. Aus der Konstruktion ist klar, dass die reguläre Version des Fraktals wiederhergestellt wird, wenn die Skalierungsfaktoren bei jeder Iteration gleich gewählt werden: β_s^{(1)} = β_s^{(2)} = ⋯ = β_s^{(m)}.

Um das konstante Plateau zwischen zwei Potenzgesetzabfällen im Verhalten der SAS-Intensität zu erhalten, muss berücksichtigt werden, dass die Abstände zwischen den Streueinheiten viel größer sind als ihre Gesamtgröße. Ein solcher Ansatz wurde erstmals im Kontext von Oberflächenfraktalmodellen verwendet. Betrachtet man das Verhältnis f der Gesamtentfernung zwischen den Streueinheiten l_in und ihrer Gesamtgröße l_0, so gilt:

f ≡ l_in / l_0   (6)

Für Streuexperimente, die Plateaus konstanter Intensität zwischen zwei fraktalen Bereichen zeigen, sollten Werte von f ≫ 1 gewählt werden. Im Fall von Oberflächenfraktalen führt eine Erhöhung des Wertes von f zu einer besseren Übereinstimmung zwischen der Gesamtsas-Intensität einerseits und der Approximation unabhängiger Streueinheiten andererseits.

Mit den obigen Überlegungen können die Unterschiede zwischen regulären und Fat-Fraktalen beschrieben werden. Der Einfluss des oben eingeführten Faktors f kann auch visualisiert werden. Deshalb veranschaulichen wir in Abb. 1 grafisch den Vergleich using einen Kreis mit Radius r_0 ≡ l_0/2 = l_in/(2f) als unsere Grundform. Die Ergebnisse der ersten beiden Iterationen, die in jeder Zeile von Abb. 1 dargestellt sind, repräsentieren die Strukturen, die für einen regulären Fraktal (markiert durch rote Kreise) und einen Fat-Fraktal (dargestellt als schwarzer Kreis) erhalten werden, die auch vollständig überlagert sein können (markiert als orange Kreise). In der Zeile Abb. 1a wird der Faktor f als gleich der Einheit betrachtet, sodass die klassischen Konstruktionen und Fraktalformen erhalten werden. Die zweite Zeile der Abbildung, bezeichnet Abb. 1b, zeigt den Einfluss des oben vorgestellten Faktors. In diesen Berechnungen wurde der willkürliche Wert f = 2 gewählt. Man beobachtet, dass bei Iterationen m = 0 und m = 1 in beiden Fällen a und b die erhaltenen Strukturen des regulären und Fat-Cantor-Mengens identisch und vollständig überlagert sind. Dies ist aufgrund des gemeinsamen Skalierungsfaktors zu erwarten. Wie jedoch im letzten Bildpaar von Abb. 1 zu sehen ist, beginnend mit m = 2, sind die Radien der Kreise des Fat-Fraktals größer, da sein Skalierungsfaktor β_s^{(2)} per Definition größer ist als der des regulären. Im letzten Bild von Abb. 2b ist die Größe der Kreise viel kleiner als in seinem Gegenstück aus Abb. 2a aufgrund des nicht-einheitlichen Wertes des Faktors f.

Um die Potenzgesetze selbst zu erhalten, muss das klassische Fat-Fraktal-Modell weiter verallgemeinert werden. Dies geschieht, indem berücksichtigt wird, dass die Änderungen des Skalierungsfaktors nicht bei jeder einzelnen Iteration, sondern bei jeder zweiten, dritten, ..., oder allgemein gesprochen bei jeder h-ten Iteration vorgenommen werden. Der Bruchteil der entfernten Längen bei der m-ten Iteration ist:

γ_m = c^{p_m}   (7)

mit 0 < c < 1. Die Funktion p_m ist definiert als:

p_m ≡ ⌊1 + (m-1)/h⌋   (8)

für jede positive ganze Zahl m, mit h = 1,⋯,m, wobei die Gaußklammer ⌊⋯⌋ verwendet wurde. Somit ist der der m-ten Iteration entsprechende Skalierungsfaktor gegeben durch:

β_s^{(m)} = (1-γ_m)/2   (9)

Es ist jetzt klar, dass der Zweck der Funktion p_m darin besteht, den Skalierungsfaktor für h Iterationen konstant zu halten (h < m).

Die Komponenten der Ortsvektoren jedes Quadrats können geschrieben werden als:

β_t^{(m)} = β_s^{(m)}/2 + γ_m/2   (10)

während die Kantenlänge jedes Quadrats gegeben ist durch:

l_m = l_0/2^m ∏_{i=1}^m (1-γ_i)   (11)

Der Faktor f soll in der Formel der Länge l_0 verwendet werden, um zu berücksichtigen, dass für Iterationen zwischen der (h+1)-ten und der m-ten die Größe der Quadrate im Verhältnis zu den Abständen zwischen ihnen abnimmt:

l_0 = { l_in, für Iterationen ≤ h; l_in/f, für Iterationen > h }   (12)

wobei h < m. Die Anzahl der Quadrate bei jeder Iteration ist:

N_m = 4^m   (13)

Somit hat man bei jeder Skala, betrachtet als Iteration mit konstantem Skalierungsfaktor, eine unterschiedliche Fraktaldimension gegeben durch:

D_m = -2 ln 2 / ln β_s^{(m)}   (14)

Im Limes großer Iterationszahlen wird die Fraktaldimension des konstruierten Fraktalmengens:

D ≡ lim_{m→∞} ln N_m / ln (l_0/l_m) = 2   (15)

was der erwartete Wert für einen zweidimensionalen Fat-Fraktal ist. Schließlich, wenn a_i die relative Fläche ist, die bei der i-ten Iteration entfernt wird, dann ist ∏_{i=1}^m (1-a_i) > 0, wenn ∑_{i=1}^∞ a_i < ∞, und somit erfüllt das Modell die Definition und Eigenschaften von Fat-Fraktalen.

Ergebnisse und Diskussion

Nach dem Babinetschen Prinzip können wir schließen, dass bei der m-ten Iteration die Öffnungen im Gitter die verbleibenden Quadrate im Fraktal sind, während die entfernten Teile für die Strahlung undurchsichtig werden.

Monodisperse Streuintensität und Strukturfaktor

Um den analytischen Ausdruck der Streuintensität für den fettigen Cantor-Fraktal abzuleiten, beginnen wir mit der Rekursionsrelation der Gittertransmission für einen beliebigen Iterationsschritt im 1D-Fall. Bei m = 0 haben wir:

T_0(l_0, x) ≡ rect(l_0, x) = { 1, |x| < l_0/2; 1/2, |x| = l_0/2; 0, sonst }   (16)

Unter Berücksichtigung des Konstruktionsalgorithmus des Fraktals ist die Transmission nach der ersten Iteration gegeben durch:

T_1(l_1, x) = T_0(l_1, x) * δ((x - l_0 β_t^{(1)})/l_1) + T_0(l_1, x) * δ((x + l_0 β_t^{(1)})/l_1)   (17)

wobei δ(x-a) die eindimensionale Dirac-Delta-Distribution bei x=a ist. Das Symbol * repräsentiert den Faltungsoperator. Daher können wir bei der m-ten Iteration schreiben:

T_m(l_m, x) = T_{m-1}(l_m, x) * δ((x - u_m)/l_m) + T_{m-1}(l_m, x, y) * δ((x + u_m)/l_m)   (18)

wobei u_m = l_0 β_t^{(m)} ∏_{j=1}^{m-1} β_s^{(j)}. Durch Durchführung einer Fourier-Transformation auf Gleichung (18) findet man, dass die gestreute Amplitude bei der m-ten Iteration ist:

A_m(p) = 2^m sin(π p l_m) / (π p l_m) ∏_{i=1}^m cos(2π p u_i)   (19)

Da das 2D-Fat-Fraktal-Modell ein direktes Produkt zweier eindimensionaler Fat-Fraktale ist, kann seine Fourier-Transformation als Produkt zweier eindimensionaler Fourier-Transformationen geschrieben werden. Daher kann die zweidimensionale gestreute Amplitude geschrieben werden als:

A_m(p,s) ≡ A_m(p) A_m(s)   (20)

und somit:

A_m(p, s) = N_m sin(π p l_m)/(π p l_m) sin(π s l_m)/(π s l_m) × ∏_{i=1}^m cos(2π p u_i) cos(2π s u_i)   (21)

so dass die Streuintensität wird:

I_m(p, s) = (sin(π p l_m)/(π p l_m) sin(π s l_m)/(π s l_m))² × N_m² (∏_{i=1}^m cos(2π p u_i) cos(2π s u_i))²   (22)

Der erste Faktor in der vorigen Gleichung, der die Beugungsintensität aufgrund des Formfaktors darstellt, wie in Gleichung (5) angegeben:

F_m(p, s) = (sin(π p l_m)/(π p l_m) sin(π s l_m)/(π s l_m))²   (23)

entspricht der Streuintensität, die von einem einzelnen Quadrat mit Kante l_m erhalten wird. Der zweite Faktor, der die Beugungsintensität aufgrund des Strukturfaktors darstellt, wie in Gleichung (5) angegeben:

S_m(p, s) = N_m² (∏_{i=1}^m cos(2π p u_i) cos(2π s u_i))²   (24)

beschreibt die Art und Weise, wie die Quadrate verteilt sind. Die gesamte gestreute Strahlungsintensität ist das Produkt von F_m(p,s) und S_m(p,s).

Der Potenzgesetzabfall der Intensität, wie in Gleichung (22) formuliert, wird nach Durchführung der Mittelung über alle Orientierungen erhalten. Unter Berücksichtigung gleicher Wahrscheinlichkeit für jede Orientierung kann der Mittelwert im Fall zweidimensionaler Fraktale durch Integration über alle Richtungen des Streuvektors q = (p,s) berechnet werden:

⟨f(p, s)⟩ = 1/(2π) ∫_0^{2π} f(q,φ) dφ   (25)

wobei p = q cos φ und s = q sin φ. Somit wird die Streuintensität I(q) als Funktion des Betrags des Impulsübertrags q ≡ |q| erhalten.

Da man aus der Definition des Strukturfaktors S_m(0) = N_m² hat, wobei N_m die Anzahl der Quadrate ist, wie in Gleichung (13) definiert, kann das Standardnormalisierungsverfahren S_m(0) = 1 angewendet werden, wie in [11, 29] beschrieben.

Die berechneten Ergebnisse für die monodisperse Streuintensität I_m(q) und den Strukturfaktor S_m(q) mit m = 6 sind in Abb. 2 für den klassischen Fat-Fraktal (f = 1 in Abb. 2a) und für das in dieser Arbeit entwickelte erweiterte Fat-Fraktal-Modell (f = 10 in Abb. 2b) dargestellt. Um Abb. 2b zu erhalten, betrachteten wir h = 3, sodass der Skalierungsfaktor β_s^{(1)} der ersten drei Iterationen konstant gehalten wurde, dann einen anderen konstanten Wert β_s^{(2)} für die nächsten drei Iterationen annahm. Wie erwartet können in beiden Fällen (für f = 1 und f = 10) die Unterschiede zwischen der Streuintensität einerseits und dem Strukturfaktor andererseits beobachtet werden, wenn q ≳ 1/l_m. In diesem Bereich hat die Streuintensität einen Potenzgesetzabfall I(q) ∝ q^{-3}. Der Strukturfaktor hat einen asymptotischen Wert, der gegen 1/N_m strebt, dargestellt durch die horizontale Linie in Abb. 2a oder die untere horizontale Linie in Abb. 2b.

Eine Sukzession von zwei verallgemeinerten Potenzgesetzabfällen, identifizierbar als Überlagerung von Maxima und Minima über einen einfachen Potenzgesetzabfall, ist in Abb. 2a zu sehen. In Abb. 2b kann ein Bereich annähernd konstanter Intensität im Bereich 20 ≲ q l_0 ≲ 100 klar unterschieden werden, umschlossen von den zwei aufeinanderfolgenden verallgemeinerten Potenzgesetzabfällen. Dies ist auf die Verringerung der Quadratgröße um eine Größenordnung (f = 10) im Vergleich zu den Abständen zwischen ihnen zurückzuführen. Dieser Bereich, beobachtbar um die obere horizontale Linie in Abb. 2b, hat die Asymptote 1/N_3, dieselbe wie die des klassischen Fat-Fraktals Strukturfaktors, und zeigt ein Verhalten ähnlich dem Fall, bei dem nur die ersten drei Iterationen berücksichtigt werden.

Zusätzlich ist in Abb. 2 zu sehen, dass die Anzahl der Minima bei jeder Skala mit der Anzahl der konstanten Skalierungsfaktor-Iterationen übereinstimmt. Diese Minima treten auf, wenn die Strahlung, die durch verschiedene Quadrate innerhalb des Fraktals geht, interferiert und in Phasenopposition ist, und somit die am häufigsten auftretenden Abstände zwischen den Quadratzentren (2 u_m) gleich π/q sind. Deshalb werden die ungefähren Positionen der Minima aus der Relation erhalten:

q_i ≃ π/(2 u_i), i = 1, ⋯, m   (26)

angezeigt in Abb. 2 durch vertikale Linien. Für die ersten sechs Iterationen beobachtet man eine ziemlich gute Übereinstimmung zwischen den mit Gleichung (26) berechneten Positionen und denen, die in der Streuintensität oder dem Strukturfaktor gefunden werden. Diese Approximation könnte für höhere Iterationen weniger genau sein, sobald die Iterationszahl einen bestimmten Wert übersteigt, da in diesen Fällen immer mehr Abstände mit dem am häufigsten auftretenden vergleichbar werden. Dennoch wird diese Approximation in der Praxis ziemlich gut funktionieren, wo man kaum erwarten kann, mehr als vier oder fünf solcher Minima zu unterscheiden.

Für jede einzelne Skala, in einem gegebenen Bereich 1/(2 u_i) ≲ q ≲ 1/(2 u_{i+1}), wird das Beugungsmuster nur durch die Interferenz der i-ten Fraktaliteration erzeugt. Dies kann verwendet werden zu zeigen, dass innerhalb dieses Intervalls die Funktionen I_m(q) q^D und S_m(q) q^D logarithmisch-periodisch sind, wobei D die der gegebenen Skala entsprechende Fraktaldimension ist. Insbesondere für die in Abb. 2 und 3 gezeigten Ergebnisse sind die Funktionen I_m(q) q^{-1.1} und S_m(q) q^{-1.1} logarithmisch-periodisch mit der Periode 1/β_s^{(1)} für die ersten drei Iterationen, während I_m(q) q^{-1.51} und S_m(q) q^{-1.51} logarithmisch-periodisch mit 1/β_s^{(2)} für die zweite Gruppe von drei Iterationen sind.

Auf ähnliche Weise wie bei deterministischen Massenfraktalen kann Gleichung (26) verwendet werden, um mehrere strukturelle Parameter zu erhalten, die Fat-Fraktale charakterisieren. Erstens stimmt die Gesamtzahl der Minima mit der Gesamtzahl der Fraktaliterationen überein. Abb. 2 zeigt, dass der Fraktal aus drei Iterationen mit Skalierungsfaktor β_s^{(1)} und drei Iterationen mit Skalierungsfaktor β_s^{(2)} besteht. Zweitens können aus der Periodizität dieser Minima (oder aus der Periodizität von I_m(q) q^D und S_m(q) q^D) die Skalierungsfaktoren zurückgewonnen werden. In Abb. 2b kann der Skalierungsfaktor β_s^{(1)} aus der Periodizität der Minima bei q l_0 ≃ 7, 25 und 90 erhalten werden, während der Skalierungsfaktor β_s^{(2)} aus der Periodizität der Minima bei q l_0 ≃ 400, 1000 und 2500 gewonnen werden kann. Zusätzlich kann die Länge des intermediären Plateaus zwischen fraktalen Bereichen als Indikation des Verhältnisses (f) der Abstände zwischen Streueinheiten und ihrer Gesamtgröße verwendet werden. In Abb. 2b entspricht dieser Bereich 13 ≲ q l_0 ≲ 130.

Polydisperse Streuintensität und Strukturfaktor

In diesem Teil unserer Arbeit können wir nun berücksichtigen, dass die Gittergrößen einer Verteilungsfunktion D_N(l_0) gehorchen, so definiert, dass D_N(l_0) dl_0 die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Größe des Fraktalgitters im Intervall (l_0, l_0+dl_0) liegt. Dieser Schritt führt Polydispersität in unser Fat-Fraktal-Modell ein. Wir veranschaulichen dies durch Wahl einer log-normalen Verteilung:

D_N(l_0) = 1/(σ l_0 (2π)^{1/2}) e^{-(log(l_0/μ)+σ²/2)²/(2σ²)}   (27)

mit relativer Varianz σ_r = (⟨l_0²⟩_D - μ²)^{1/2}/μ, Mittelwert μ = ⟨l_0⟩_D und Varianz σ = (log(1+σ_r²))^{1/2}. Mit Gleichungen (21) und (27) erhält man die polydisperse Intensität, gemittelt über die Verteilungsfunktion:

I_m^{poly}(q) = ∫ D_N(l_0) [sin(π q l_m)/(π q l_m)]² N_m² (∏_{i=1}^m cos(2π q u_i))² d l_0   (28)

wobei l_m² der entsprechende Flächeninhalt bei der m-ten Iteration ist. Der Strukturfaktor wird ähnlich berechnet, jedoch ohne den Term l_m².

Die berechneten Ergebnisse für den polydispersen Fall (rote Kurven) und den monodispersen Fall (schwarze Kurven) der Streuintensitäten (mit a bezeichnet) und Strukturfaktoren (mit b bezeichnet) sind in Abb. 3 und 4 zu sehen. Der Unterschied zwischen ihnen wird durch den Wert des f-Faktors gegeben. In Abb. 3 wurde die klassische Konstruktion eines Fat-Fraktals verwendet, sodass f = 1, während die Berücksichtigung der kleineren Größen der Basiseinheiten zur Wahl f = 10 in Abb. 4 führt. Die Polydispersität wurde für eine relative Varianz von σ_r = 0,4 berechnet. Man sieht, dass die Oszillationen geglättet werden, die Gesamtamplitude abnimmt, sodass die Streukurven glatter werden. Für diesen speziellen Wert von σ_r sind die Positionen der Hauptminima und -maxima jedoch noch beobachtbar.

Allgemeiner gilt: Für kleine Werte von σ_r (d. h. klein genug, dass die Oszillationen beobachtbar sind), kann die Schätzung nach Gleichung (26) weiterhin verwendet werden. Daher können die Anzahl der Fraktaliterationen, der Skalierungsfaktor auf jeder Strukturebene, das Verhältnis der Abstände zwischen Streueinheiten und ihre Gesamtgröße zurückgewonnen werden. Wenn σ_r auf hinreichend hohe Werte erhöht wird, sodass die Oszillationen vollständig geglättet sind, werden die Streukurven zu einfachen Potenzgesetzabfällen. Da wir eine schmale glockenförmige Verteilung verwendeten, bleibt der Streuexponent erhalten. Zudem gibt er für jeden Potenzgesetzabfall die Fraktaldimension jener bestimmten Strukturebene an. Dies stimmt gut mit der theoretischen Schätzung von Gleichung (14) überein. Dies entspricht auch experimentellen Aufbauten, wo fast jede Streukurve einen gewissen Grad an Polydispersität aufweist. Somit stellt unser entwickeltes Fat-Fraktal-Modell mit einem dazwischenliegenden Bereich konstanter Intensität die Fraktaldimension auf jeder Strukturebene aus polydispersen Experimentaldaten wieder her.

Schlussfolgerungen

In diesem Artikel schlagen wir ein theoretisches Modell vor, das das Standardmodell für nanoskalige Fat-Fraktale verallgemeinert. Es ist dadurch gekennzeichnet, dass die initiale Kantenlänge der elementaren Einheitsform viel kleiner als die Gesamtgröße des Fraktals genommen wird, und somit viel kleiner als die Abstände zwischen den elementaren Einheiten innerhalb des Fraktals. Abb. 1b illustriert das Basismodell, wenn ein Quotient von 1/2 zwischen diesen Größen berücksichtigt wird.

Basierend auf diesem Modell wird eine analytische Formel berechnet und in Gleichung (22) für die Streuintensität und in Gleichung (24) für den Strukturfaktor präsentiert. Die Mittelung über alle möglichen Orientierungen erfolgt gemäß Gleichung (25). Diese gemittelten Größen sind auf einer doppelt logarithmischen Skala durch das Vorhandensein von zwei Strukturebenen gekennzeichnet, und somit durch zwei Potenzgesetzabfälle, die von einem Bereich konstanter Intensität unterbrochen werden, dargestellt durch ein Plateau, wie in Abb. 2b und 4 zu sehen. Dieses Plateau stimmt mit dem asymptotischen Bereich des Strukturfaktors des Fat-Fraktals überein, als ob man nur den Beitrag der ersten Strukturebene berücksichtigt hätte, als der Skalierungsfaktor konstant gehalten wurde. Die asymptotischen Werte der Plateaus können verwendet werden, um die Anzahl der Streueinheiten für jede Strukturebene zu erhalten. Die Länge des Plateaus wird durch den Wert von f kontrolliert. Die Potenzgesetzabfälle, die das Plateau umschließen, werden durch das Konstanthalten der Skalierungsfaktoren für eine endliche Anzahl von Iterationen erhalten, in unserem Fall als Beispiel für drei von insgesamt sechs. Die Steigung des zweiten Potenzgesetzabfalls ist höher, da die Werte der Skalierungsfaktoren per Definition bei jeder Strukturebene zunehmen, und dies wird durch unsere numerischen Berechnungen bestätigt, wie in Abb. 2, 3 und 4 zu sehen.

Wir haben auch den polydispersen Fall des Fat-Fraktal-Modells beschrieben. Hier gehorchen die Größen der zusammensetzenden Einheiten als Beispiel einer log-normalen Verteilungsfunktion. Wir erhielten geglättete Kurven für die Streuintensitäten und Strukturfaktoren. Die monodispersen Streukurven sowie die polydispersen mit klein genugem relativen Varianzwert erlauben die Bestimmung der Skalierungsfaktoren auf jeder Strukturebene, während die Streuexponenten in der polydispersen Kurve die Fraktaldimensionen auf jeder Strukturebene angeben. Der gewählte Wert von 0,4 für die relative Varianz soll den Fall veranschaulichen, in dem man noch einige Minima in den Streueigenschaften beobachten kann und die Kurven noch eine Form nahe an Potenzgesetzabfällen behalten.

Die im Rahmen des vorgeschlagenen Modells erhaltenen Ergebnisse können verwendet werden, um strukturelle Eigenschaften von fraktalen Materialien aufzudecken, die durch ein regelmäßiges Gesetz der Änderung der Fraktaldimensionen charakterisiert sind. Das vorgeschlagene Modell ist auch sehr vielseitig, da es erweitert werden kann, um andere Merkmale einzuschließen, wie unterschiedliche Formen der elementaren Einheit, mehr als zwei Strukturebenen, oder es kann angepasst werden, um in anderen euklidischen Dimensionen zu arbeiten. Diese Ergebnisse sind nützlich für eine detaillierte Beschreibung experimenteller Diffraktionsdaten im Kontext der Kleinwinkelstreuung, die aus verschiedenen komplexen nano- und mikroskaligen hierarchischen Strukturen gewonnen werden.

Anhang

Fraktaldimension

Massen- und Oberflächenfraktaldimensionen sind wahrscheinlich die wichtigsten Größen, die einen Fraktal charakterisieren. Tatsächlich werden wir nur mit deterministischen Massenfraktalen umgehen und uns auf die Massenfraktaldimension beziehen, einfach als Fraktaldimension (D_m).

In allgemeinen Begriffen kann die Masse-Radius-Beziehung umgeschrieben werden als:

M(r) = A(r) r^{D_m}   (29)

wobei die Skalengesetzkorrektur A(r) gegen einen konstanten Wert strebt, wenn r→∞.

Wenn man a priori weiß, dass die Struktur im Hochzahl-Limes ein Fraktal ist, kann die Fraktaldimension direkt aus der ersten Iteration gefunden werden. Um dieses Verfahren zu veranschaulichen, betrachten wir einen Fraktal der Größe l_0, zusammengesetzt aus k elementaren Einheiten bei der ersten Iteration, jede der Größe β_s l_0, wobei β_s ein Skalierungsfaktor ist. Da die Masse-Radius-Beziehung, gegeben durch Gleichung (29), äquivalent zur Skaleninvarianz-Beziehung ist:

M(β_s l_0) = β_s^{D_m} M(l_0)   (30)

kann man M(l_0) = k M(β_s l_0) schreiben. Mit Gleichung (29) erhält man eine direkte Methode zur Berechnung der Fraktaldimension über:

k β_s^{D_m} = 1   (31)

Fraunhofer-Diffraktion und Array-Theorem

Betrachten wir eine zweidimensionale diffraktierende Blende Σ, gelegt in die (x,y)-Ebene, beleuchtet in positive z-Richtung. In einer Beobachtungsebene (u,v), parallel zu Σ, kann die komplexwertige Amplitude des erhaltenen Diffraktionsbildes, berechnet im Rahmen der skalaren Beugungstheorie nach dem Huygens-Fresnel-Prinzip, geschrieben werden als:

A(u,v) = z/(iλ) ∬_Σ A(x,y) e^{ikr}/r² dx dy   (32)

In der vorigen Formel ist r = √(z²+(u-x)²+(v-y)²) der Abstand zwischen zwei beliebig gewählten Punkten, jeweils aus der Ebene, die Σ enthält, und aus der Beobachtungsebene. Damit das Fraunhofer-Diffraktionsmodell anwendbar ist, muss dieser Abstand die Bedingung erfüllen, viel größer als die Wellenlänge λ zu sein.

Durch Durchführung einer binomischen Entwicklung der Quadratwurzel in Gleichung (32) und Beibehaltung nur der ersten beiden Terme erhält man:

r ≈ z(1 + (u-x)²/(2z²) + (v-y)²/(2z²))   (33)

Diese Approximation führt zum Fresnel-Diffraktionsintegral:

A(u,v)/P(u,v) = ∬_{-∞}^{+∞} {A(x,y) e^{i(k/(2z))(x²+y²)}} e^{-i(2π/(λz))(ux+vy)} dx dy   (34)

wobei der Vorfaktor P(u,v) gegeben ist durch:

P(u,v) = e^{ikz} e^{i(k/(2z))(u²+v²)} / (iλz)   (35)

und k = 2π/λ. Betrachtet man zusätzlich, dass die Bedingung z ≫ k Max(x²+y²)/2 erfüllt ist, so gilt Exp((k/(2z))(x²+y²)) ≃ 1. Umformung von Gleichung (34) ergibt die Fraunhofer-Approximation:

A(u,v) = P(u,v) ∬_{-∞}^{+∞} A(x,y) e^{-i(2π/(λz))(ux+vy)} dx dy   (36)

Bezeichnet man die räumlichen Frequenzen mit p = u/(λz) und s = v/(λz) und ignoriert den multiplikativen Phasenfaktor P(u,v) vor dem Integral in Gleichung (36), so wird die Amplitude einfach die Fourier-Transformation der Verteilung der Σ-Blende. Betrachtet man, dass die Beleuchtung mit einer monochromatischen, einheitsamplitudigen ebene Welle bei normaler Einfall erfolgt und die Feldverteilung über der Blende gleich ihrer Transmissionsfunktion T(x,y) ist, so erhält man die Frequenzverteilung der Diffraktionsamplitude im Phasenraum:

A(p,s) = ∬_{-∞}^{+∞} T(x,y) e^{-2iπ(px+sy)} dx dy   (37)