Genaue Energieabschätzung von Superkondensatoren mittels fraktionaler Differentialmodelle

Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden neue Ergebnisse zur Verwendung ausschließlich von Spannungsmessungen an Superkondensator-Anschlüssen zur Abschätzung der akkumulierten Energie vorgestellt. Zu diesem Zweck wird eine Studie basierend auf der Anwendung fraktionaler Ordnungsmodelle von Superkondensator-Lade-/Entladekreisen durchgeführt. Parameterschätzungen der Modelle werden dann verwendet, um die in dem Superkondensator akkumulierte Energiemenge zu bewerten. Die erhaltenen Ergebnisse werden mit experimentell bestimmter Energie verglichen, indem Spannung und Strom an den Superkondensator-Anschlüssen gemessen werden. Alle Tests werden für verschiedene Eingangssignalformen und -parameter wiederholt. Sehr hohe Konsistenz zwischen geschätzten und experimentellen Ergebnissen bestätigt vollständig die Eignung des vorgeschlagenen Ansatzes und somit die Anwendbarkeit des fraktionalen Kalküls zur Modellierung der Superkondensator-Energiespeicherung.

Hintergrund

Heute sind Superkondensatoren Hauptkomponenten vieler Geräte und Systeme, z. B. Notstrom- und Energierückgewinnungssysteme sowie Automobilanwendungen, Hybridfahrzeuge und viele andere. Die Fähigkeit, Ladung ohne chemische Reaktionen zu speichern, verleiht ihnen hunderte Male höhere Lade-/Entladezyklen im Vergleich zu typischen Batterien [1]. Zusätzlich machen hohe Lade-/Entladeraten sie effektiv für Anwendungen in Energierückgewinnungssystemen, z. B. in Transport oder erneuerbaren Energiequellen [2, 3]. In all diesen Anwendungen ist der Schlüsselparameter die Information über die Menge der im Superkondensator akkumulierten Energie [4, 5]. Leider kann die bekannte Beziehung für typische Kondensatoren, die diese Information erlaubt, nämlich (1/2)CU², nicht verwendet werden [6]. Die Menge der akkumulierten Energie kann nicht allein auf Basis der Spannung an den Kondensatoranschlüssen bestimmt werden. Der Hauptgrund ist der Diffusionsprozess, der mit der Ladungsumverteilung verbunden ist [1, 7]. Deshalb haben viele Forscher versucht, ein Superkondensatormodell zu bestimmen, das die Abschätzung des Verhaltens eines realen Systems erlaubt. Derzeit nehmen Forscher hauptsächlich Kombinationen typischer elektronischer Elemente an, z. B. RC-Vierpole oder Reihen- und Parallelschaltungen solcher Elemente. Alle diese Modelle setzen jedoch eine Beziehung zwischen Superkondensatorstrom und Spannung an seinen Anschlüssen in Form einer typischen, ganzzahligen Differentialgleichung voraus [3-5, 7].

Doch es stellt sich heraus, dass völlig neue Möglichkeiten für die Energieabschätzung in solchen Systemen durch Anwendung des fraktionalen Kalküls [8, 9] erzielt werden können. Der nichtganzzahlige Differenzial-Integralkalkül wurde vor über 300 Jahren vorgeschlagen, aber wichtige Implementierungsfragen sind mit dem Aufkommen von Computern und ihrer Nutzung in der Modellierung diskret-zeitlicher dynamischer Systeme verbunden [10-14]. Die Anwendung des fraktionalen Kalküls auf das Problem der Superkondensator-Parameterschätzung ist nicht neu. Es gibt viele Publikationen auf diesem Gebiet [15-25]. Die Autoren führen die Parameterschätzung sowohl im Frequenz- als auch im Zeitbereich durch [26].

Diese Arbeit ist eine erweiterte Version der Konferenzpräsentation des Autors [27], in der ein fraktionaler-Ordnungsansatz kurz zur Abschätzung der im Superkondensator akkumulierten Energie eingeführt wurde.

Genaue Parameterschätzung von Superkondensatoren ist auch von größter Bedeutung für die Bewertung ihrer Zuverlässigkeit [28-31]. Permanente Degradationsprozesse im Superkondensator können den äquivalenten Serienwiderstand und die Kapazität verändern. Daher ermöglicht die genaue Bestimmung dieser Parameter basierend auf der vorgeschlagenen Methode auch eine genaue Bewertung der Kondensatorleistung.

Dieser Artikel beginnt mit einigen Vorarbeiten zum fraktionalen Integrations- und Differenzialkalkül. Anschließend wird die Parameterschätzungsmethode vorgestellt, die während der Tests verwendet wurde, und eine neue Energiemessmethode basierend auf dem fraktionalen Kalkül vorgeschlagen. Der Ergebnis- und Diskussionsabschnitt präsentiert die berechnete Energie für verschiedene Szenarien und vergleicht sie mit Referenzwerten (gemessen). Schlussfolgerungen und Beiträge werden im Schlussfolgerungsabschnitt zusammengefasst.

Methoden

Die Verwendung poröser Materialien in Superkondensatoren und die spezifische Art der Ladungsspeicherung führen dazu, dass traditionelle Ansätze auf Basis ganzzahliger Ableitungsmodelle nicht genau genug sind. Viele Forscher haben verschiedene Lösungen in Form von Kombinationen typischer RC-Elemente mit konstanten oder variablen Werten vorgeschlagen [4, 7]. Aber es zeigt sich, dass definitiv bessere Präzision durch nichtganzzahlige Differentialkalkül für die Definition der Beziehungen zwischen Superkondensatorstrom und Spannung erzielt werden kann [17, 19]. Zudem kann eine solche Lösung in einer sehr einfachen Modellstruktur resultieren, während sehr hohe Genauigkeit bereitgestellt wird [18].

Fraktionaler Differenzial-Integralkalkül

Der fraktionale Differentialkalkül ist seit über 300 Jahren bekannt. Erst in den letzten Jahren hat er an Popularität in der Modellierung physikalischer Phänomene und Prozesse gewonnen. Man glaubt, dass die Beschreibung von Dynamik mit einer Ableitung oder Integral nichtganzzahliger Ordnung eine der effektivsten Methoden für die Modellierung realer Eigenschaften vieler komplexer Phänomene und industrieller Prozesse sein kann, besonders basierend auf neuartigen Materialien und Technologien [10, 12, 13, 32-34].

Der nichtganzzahlige Differential- oder Integralkalkül ist eine Verallgemeinerung des klassischen Kalküls auf Ordnung α, die zur Menge der reellen Zahlen \(\mathcal {R}\) gehört. Der Differenzial-Integraloperator der Ordnung \(\alpha \in \mathcal {R}\) der Funktion f(t) auf dem Intervall [a,t] kann wie folgt geschrieben werden:

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)= \left\{ {\begin{array}{l c l} {\frac{\mathrm{d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} & \text{für} & \alpha>0\\ f(t) & \text{für} & \alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} & \text{für} & \alpha<0,\\ \end{array}} \right. \tag{1} $$

unter der Annahme, dass die Funktion f(t) vielfach differenzierbar und integrierbar ist. Für den Operator (1) gibt es viele Definitionen seiner Realisierung. Solche Definitionen unterscheiden sich in Eigenschaften und Anwendungsbereichen. Die beliebtesten sind die Riemann-Liouville-, Caputo- und Grünwald-Letnikov (GL) Definitionen [34]. Letztere wird in dieser Arbeit in der Form verwendet:

$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) = {\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh), \tag{2} $$

wobei der Binomialkoeffizient \(\alpha \choose j\) wie folgt definiert ist:

$$ {\alpha \choose j}= \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \text{für} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-j+1)}{j!} & \text{für} & j>0. \end{array} \right. \tag{3} $$

Um ein fraktionales Modell an diskreten Zeitpunkten zu erhalten, wird die GL-Definition in diskreter Form vereinfacht zu:

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) = \frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-j). \tag{4} $$

Es gibt mehrere Diskretisierungsschemata für die GL-Gl. (4). Die beliebtesten sind Rückwärtsdifferenzen (Euler), Trapez (Tustin) und Al-Alaoui-Operatoren. Mit Eulers Methode kann die fraktionale Ableitung an diskreten Zeitpunkten k dargestellt werden als:

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots. \tag{5} $$

Die unendliche Summe vorheriger Samples muss in realen Systemen auf einen endlichen Wert begrenzt werden aufgrund begrenzten Speichers und begrenzter Rechenzeit. Nun ist die abgeschnittene oder endlich-lange diskretzeitliche Approximation der GL:

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots, \tag{6} $$

wo f(l)=0 für l<0 und L die Länge des Modells (6) ist [23]. Die Reduzierung der Sample-Anzahl verringert die Berechnungsgenauigkeit. Dies ist wichtig für Systeme, die in kontinuierlicher Zeit arbeiten. Andere Lösungen sind Algorithmen, die fraktionale Differenzial-Integrale mit ganzzahligen Ordnungsmodellen approximieren. Ein Beispiel sind Oustaloup-rekursive Filter [35]. Ein weiterer effektiver endlich-langer Modell ist das FFLD, eine Kombination des abgeschnittenen Modells (6) und einer Laguerre-basierten Differenz [24, 36, 37].

Alle Identifikationsergebnisse sowie Energiemessungen werden basierend auf allen Samples im (langen) Beobachtungsfenster L erhalten, d. h. mit maximaler Genauigkeit. Abbildung 1 zeigt die Sprungantworten von Integration und Differentiation basierend auf (6), für k=0,1,…,L und verschiedene Werte der Integrations-/Differenzierungsordnung α. Durch Annahme verschiedener Werte der Ordnung α können unterschiedliche physikalische Prozesse, besonders diffusive, genauer modelliert werden.

Sprungantworten für integrierende (a) und differenzierende (b) Modelle mit verschiedenen Ordnungen α.

Parameterschätzung für fraktionales Modell

Die Ergebnisse aller Energiemessungen und Identifikationsverfahren in dieser Arbeit wurden für einen Superkondensator erzielt, der von einer gesteuerten Spannungsquelle geladen wurde. In einem solchen System muss der Superkondensatorstrom i_C(t) durch einen Widerstand R begrenzt werden, der in Reihe mit dem Superkondensator C geschaltet ist (Abb. 2). Die Schätzung aller Superkondensatorparameter basiert auf der Vierpol-Antwort u_C(t) auf einen Spannungssprung u(t) am Eingang. Die Wahl des geeigneten Ableitungsordnungswerts α erlaubt die Berücksichtigung eines Superkondensatormodells der physikalischen Phänomene, die mit Diffusionsprozessen während Lade- und Entladevorgängen verbunden sind. Der Parallelwiderstand r_P ermöglicht zusätzlich die Modellierung des Leckstroms. Mit fraktionalem Differentialkalkül für die Superkondensatormodellierung kann die Modellstruktur von geringer Komplexität sein. Für einen von der Spannungsquelle geladenen Superkondensator besteht ein Modell aus nur zwei Elementen, d. h. einem einfachen RC-Vierpol (Abb. 2a). Für niedrige Kapazitäten ist der Serienwiderstand r_S von Bedeutung (Abb. 2b), während der Leckstrom I_L zusätzlich durch den Parallelwiderstand r_P dargestellt werden kann (Abb. 2c). Mit fraktionalem Kalkül zur Superkondensatormodellierung kann die Beziehung zwischen Spannung an den Kondensatoranschlüssen und seinem Strom wie folgt ausgedrückt werden:

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, \tag{7} $$

Superkondensator RC-Modelle, Basismodell (a), erweitert mit Serienwiderstand (b), und mit zusätzlichem Parallelwiderstand (c).

wobei der Operator d^α/dt^α einen Differentiationsoperator der Ordnung α bedeutet und die SI-Einheit von C_α [F/sec^1−α] ist. Die grundlegende Superkondensatorkonfiguration in Abb. 2a kann als träges System erster Ordnung behandelt und durch die fraktionale Übertragungsfunktion dargestellt werden:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, \tag{8} $$

wo T=RC_α. Unter Berücksichtigung des Serienwiderstands r_S (Abb. 2b) wird der Kreis als phasenverzögerndes Korrektursystem mit der Übertragungsfunktion behandelt (vgl. [24]):

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1}s^{\alpha}+1}, \tag{9} $$

wo T₁=C_α(R+r_S) und T₂=r_SC_α. Zusätzlich, unter Berücksichtigung des Parallelwiderstands r_P für den Leckstrom I_L (Abb. 2c), kann die Systemübertragungsfunktion als:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, \tag{10} $$

ausgedrückt werden, wo K=R/r_P+1, T₁=C(Rr_s/r_P+R+r_S) und T₂=r_SC. Im Zeitbereich kann Gl. (10) als:

$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u(t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}. \tag{11} $$

Die Zeitantwort des durch (11) definierten Modells wurde durch Transformation in die in Abb. 3 graphisch dargestellte Form erhalten, wo Integrations- und Differentiationsoperationen fraktionaler Ordnung α sind. Dieses Modell wurde während des Parameterschätzungsprozesses des Superkondensators verwendet. Der getestete Superkondensator wurde mit dem in Abb. 4a dargestellten System identifiziert. Das Steuerverfahren des Gesamtsystems wurde mit Matlab/Simulink Software mit xPC Toolbox entwickelt. Das System bestand aus einem Desktop-PC (xPC Target) mit installierter Messkarte NI-DAQ und Master-Computer (xPC Host). Die Computer waren über Ethernet vernetzt. Der Superkondensator wurde durch eine (spannungsgesteuerte) Spannungsquelle (Abb. 4b) mit Stromwirkungsgrad bis ± 3 A geladen und entladen. Das Messsystem wurde mit einer Abtastfrequenz von 100 Hz betrieben, während alle Mess- und analogen Steuersignale mit 16-Bit-Auflösung verarbeitet wurden [25].

Matlab-Struktur des Superkondensatormodells im Zeitbereich

Struktur des Messsystems (a) und Superkondensator-Lade-/Entladeschema (b)

Die Hauptmethode zur Bestimmung der dynamischen Eigenschaften eines Systems basiert auf der Analyse der Sprungantwort [38]. In Bezug auf das Systemmodell erlaubt diese Methode die Schätzung seiner Parameter. Für diese Studie wurde ein Sprungsignal mit verschiedenen Spannungen (0,5/1,0/1,5/2,0/2,7 V) und konstanter Dauer (500 s) verwendet (siehe Abb. 5 und Tabelle 2). Andererseits ist eine typische Anwendung von Superkondensatoren die Akkumulation oder Abgabe von Energie in Energiesysteme. In diesem Fall ist die Spannungsänderungsrate eher gering. Um dies zu simulieren, wurde ein 400 mVpp und 0,03 rad/s Signal mit 2 V Offset verwendet (Abb. 6). Zusätzlich, um den Einfluss von Spannungs- und Frequenzänderungen auf geschätzte Parameter zu untersuchen, wurden verschiedene Werte der Letzteren verwendet (siehe Tabelle 3).

Sprungantworten für getesteten Superkondensator und sein fraktionales Modell (a) und Modellantwortfehler (b)

Sinuswellenantworten für getesteten Superkondensator und sein fraktionales Modell (a) und Modellantwortfehler (b)

Es gibt mehrere Methoden zur Parameterschätzung. Das Hauptziel des Identifikationsverfahrens im Zeitbereich, das in dieser Arbeit angewendet wurde, war die Schätzung des Vektors unbekannter Parameter θ=[α,C_α,r_S,r_P] des fraktionalen Modells, dargestellt durch (11). Die Methode der kleinsten Quadrate wurde verwendet, um den Anfangsfehler zu minimieren. Ein Optimierungskriterium beinhaltete die Minimierung des Standardfehlers \(\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}\), wo

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), \tag{12} $$

wobei u_C(k) die Ausgangsspannung ist, die vom getesteten System zum Zeitpunkt k gemessen wird, während \(\hat {u}_{C}(k)\) die Ausgangsspannung des betrachteten Modells für das Eingangssignal u(k) ist. Das Identifikationsproblem reduziert sich nun auf das Finden eines Parametervektors θ∈Θ_ad, der das Quadratkriterium J so minimiert, dass

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J= \sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\}, \tag{13} $$

wo Θ_ad die Menge der zulässigen Parameterwerte bezeichnet und N die Simulationszeit bedeutet. Es gibt viele Optimierungsalgorithmen, die das Problem (13) lösen können. Die in dieser Arbeit vorgestellten Ergebnisse wurden durch Implementierung des genetischen Algorithmus in der Matlab-Umgebung erzielt.

Energiemessung

Eine Änderung der im Superkondensator gespeicherten Energie hängt von der dem Kondensator pro Zeiteinheit zugeführten Leistung ab und kann wie folgt beschrieben werden:

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. \tag{14} $$

Indem die dem Kondensator zugeführte Leistung als Produkt von Strom und Spannung an den Kondensatoranschlüssen ausgedrückt wird, kann die Energieänderung zum gegebenen Zeitpunkt t wie folgt ausgedrückt werden:

$$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. \tag{15} $$

Die Gesamtenergie während des Zeitintervalls [t₁,t₂] kann durch Integration der Energieänderungen über jenes Intervall erhalten werden:

$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. \tag{16} $$

Unter Berücksichtigung von Gl. (7) kann die Gesamtspeicherenergie bestimmt werden als:

$$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. \tag{17} $$

Unter Annahme t₁=0 und \(E_{t_{1}}=0\) ist die im Superkondensator während des Zeitintervalls [0,t] gespeicherte Gesamtenergie:

$$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau)}{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. \tag{18} $$

Beachten Sie, dass für α=1 Gl. (18) auf die klassische reduziert werden kann:

$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. \tag{19} $$

Ergebnisse und Diskussion

Zunächst wurde das Verfahren zur Schätzung des Parametervektors des Superkondensatormodells unter Verwendung des fraktionalen Kalküls durchgeführt. Die Schätzung basierte auf dem in Abb. 2c dargestellten System, das einen Spannungssprung oder eine Sinuswelle am Eingang erzeugte. Die Modellantworten wurden basierend auf (11) berechnet. Die Ergebnisse der beiden Identifikationsverfahren sind sehr ähnlich, insbesondere bei fraktionaler Kapazität C_α und fraktionaler Ordnung α (siehe Tabelle 1). Einige Unterschiede in den Schätzungen des Serienwiderstands r_S können ein Ergebnis seiner Frequenzabhängigkeit sein. Das Sprungsignal besteht aus vielen Hochfrequenzharmonischen, während die Sinuswelle nur eine – die 0,03 rad/s – hat. Die präsentierten Ergebnisse wurden für den kommerziellen Superkondensator Samwha Green-Cap EDLC(DB) erzielt, mit 2,7 V Nennspannung, 100 F Nennkapazität und 8 mΩ maximalem äquivalenten Serienwiderstand (r_S) bei 1 kHz.

Abbildungen 5a und 6a zeigen die gemessene Superkondensatorspannung und die berechneten Modellantworten für Sprung- und Sinussignale, während Abb. 5b und 6b den Modellantwortfehler zeigen.

Alle erzielten Ergebnisse zeigen hohe Konsistenz zwischen Modellantworten und realen Messungen, obwohl relativ einfache Modelle vorgeschlagen wurden. Einige Diskrepanzen können daraus resultieren, dass Modellparameter im System eines mit Stromquelle geladenen und entladenen Superkondensators geschätzt werden sollten [25]. Auch sehr hohe Schätzungen von r_P könnten darauf hindeuten, dass dieser Widerstand aus dem Superkondensatormodell in Abb. 2c ausgeschlossen werden könnte. Diese sehr hohen Schätzungen und ihre großen Diskrepanzen für verschiedene Eingänge deuten darauf hin, dass die verwendeten Tests zur Schätzung dieses Parameters nicht geeignet sind. Das Modell (10) wurde als allgemeinste Form verwendet. Um jedoch alle seine Parameter genau zu bestimmen, waren andere Verfahren und Tests notwendig. Der Wert von r_P charakterisiert den Leckstrom I_L und sollte mit konstantem Spannungssignal, aber für sehr lange Zeit – in der Größenordnung mehrerer Dutzend Stunden – bestimmt werden.

Obwohl das Hauptziel der Studie die Energiemessung war, beeinflussten verschiedene Anregungsbedingungen die Parameterschätzungen stark (siehe Tabelle 2). So änderte die Erhöhung der Sprungamplitude die fraktionale Integrationsordnung signifikant als Resultat des zunehmenden Effekts der Diffusionsphänomene im Superkondensator. Aus Tabelle 2 ist auch ersichtlich, dass der Superkondensator stark nichtlinear ist. Als Folge der Integrationsordnungsänderungen wird auch die Variation der fraktionalen Kapazität beobachtet. Dies gilt auch für sinusförmige Anregung. Die Werte der geschätzten Parameter – besonders α und C_α – hängen von Amplitude und Frequenz ab (siehe Tabelle 3). Für niedrige Frequenzen ist der Amplitudenwert wichtig, während für höhere Frequenzen der Superkondensator sich verhält, als wäre er mit konstanter Spannung angeregt.

Energiemessung

Abbildungen 7a und 8a zeigen gemessene Werte der Spannung und des Stroms des Superkondensators für die Konfiguration wie in Abb. 4b dargestellt. Diese Werte wurden für die Berechnung der im Kondensator gespeicherten Gesamtenergie verwendet (markiert als E₁ in Abb. 7b und 8b) gemäß (16). Genau wie bei Parameteridentifikationsprozessen wurden die Berechnungen sowohl für Spannungssprung als auch Sinuswelle am Systemeingang durchgeführt. Die so für jeden Zeitpunkt t berechnete Energie wurde mit Energie verglichen, die basierend auf Spannung und Kapazität gemäß (19) berechnet wurde (markiert als E₃ in Abb. 7b und 8b) und Energie, die mit fraktionalem Kalkül berechnet wurde (markiert als E₂ in Abb. 7b und 8b) gemäß (18). Für Gl. (19) wurde ein Nennwert des Superkondensators verwendet (C_n), während in (18) der Wert aus dem Schätzprozess in Tabelle 1 genutzt wurde. Abbildung 7b zeigt Messergebnisse und Energieberechnungen für Spannungssprung, während Abb. 8b dieselben Größen für Sinuswelle zeigt. Ähnliche Berechnungen wurden für verschiedene Spannungssprünge und sinusförmige Anregungen durchgeführt. Abbildung 9a, b zeigt ein Beispiel für gemessene und berechnete Energien für zwei Spannungssprünge von 0,5 V und 2,7 V. Abbildung 10 zeigt Energieänderungen für ein sinusförmiges Signal mit Frequenz 0,03 rad/s und verschiedenen Amplituden 0,1/0,25/0,5 und 0,7 V. Man sieht, dass die Unterschiede in den bestimmten Energiewerten den Unterschieden in den geschätzten Werten der fraktionalen Ordnung α entsprechen. Je größer der Unterschied vom Wert −1, desto größer der Unterschied in den berechneten Energien.

Sprungantworten für Superkondensatorspannung und -strom (a) und berechnete Energiewerte (b)

Sinusantworten für Superkondensatorspannung und -strom (a) und berechnete Energiewerte (b)

Energiemengen berechnet für Sprunganregungen von 0,5 V (a) und 2,7 V (b)

Energiemengen berechnet für sinusförmige Anregungen mit Frequenz 0,03 rad/s und Amplituden 0,1 V (a), 0,25 V (b), 0,5 V (c) und 0,7 V (d)

Diskussion

Die Verwendung poröser Materialelektroden in Superkondensatoren in Form von aktivem Kohlenstoff, isoliert durch einen sehr dünnen Separator, und die Nutzung von Ladungsspeichermechanismen als sogenannte Doppelschicht, führt zu enormer Kapazitätssteigerung. Allerdings führen neue Materialien und Designlösungen dazu, dass traditionelle mathematische Berechnungen in Form ganzzahliger Ableitungen und Integrale ungenau erscheinen. Die durchgeführten Messungen und Berechnungen beweisen die fraktionale Natur von Superkondensatoren. Durch korrekte Schätzung der nichtganzzahligen Ordnung α von Ableitung/Integral kann man Phänomene und Prozesse im Superkondensator präzise mit einfachen mathematischen Modellen modellieren.

Unter Berücksichtigung des realen Wertes der akkumulierten Energie, bestimmt durch (16), unterschätzt das ganzzahlige Ordnungsmodell mit Nennparametern (19) die Energiemenge, während das fraktionale Modell (18) fast denselben Wert anzeigt.

Die durchgeführten Tests und Messungen bezogen sich auf Laden und Entladen des Superkondensators durch eine Spannungsquelle. Unter industriellen Bedingungen werden Superkondensatoren meist durch Stromquellen geladen und entladen. Dies kann die Natur des Systems ändern, da der Kondensator kein träges System mehr ist, sondern ein typisches integrierendes wird. Dennoch deuten auch Messungen des Autors auf Diffusionsprozesse in solchen Fällen hin. Jedenfalls wird die Nützlichkeit der Grünwald-Letnikov Ableitung/Integral hier bestätigt. Ein weiteres Problem betrifft die Implementierung des GL-Differenzial-Integraloperators als z. B. endliche oder abgeschnittene GL-Differenz (6), was rechnerisch aufwendig sein kann. In zukünftiger Forschung werden wir die Oustaloup [35] und FFLD [24, 36, 37] Approximatoren vergleichen, um das Implementierungsproblem effektiv zu lösen.

Die Energiemenge im Superkondensator, berechnet nur aus dem gemessenen Wert der Klemmenspannung und unter Verwendung des Modells (19), ist nicht angemessen. Das Modell (19) ist nur gültig, wenn der Kondensatorstrom durch die ganzzahlige Ableitung der Kondensatorspannung charakterisiert ist (i_C(t)=du_C(t)/dt). Dies trifft für Superkondensatoren aufgrund ihrer Konstruktion und verwendeter spezieller Materialien nicht zu. Dasselbe Problem tritt bei sehr großen Superkondensatoren auf, die durch Stromquelle geladen werden. Es gibt auch recht neue Elemente wie Super-Batterien. In all diesen Anwendungen werden Stromänderungen nicht durch die ganzzahlige Ableitung der Klemmenspannung charakterisiert als Folge der spezifischen Eigenschaften dieser Elemente.

Schlussfolgerungen

In dieser Arbeit wurde ein neuer Ansatz zur Abschätzung der im Superkondensator akkumulierten Energiemenge vorgestellt. Die Analyse wurde unter Ausnutzung bestimmter einzigartiger Eigenschaften fraktionaler Ordnungsmodelle durchgeführt. Es wurde gezeigt, dass die Anwendung solch anspruchsvoller Modellierung zu sehr genauen Ergebnissen führt, die auch dann erzielt werden können, wenn die Modelle selbst nicht von hoher Komplexität sind. Dies ist auf die natürliche Fähigkeit nichtganzzahliger Ordnungsdynamik zurückzuführen, Diffusionsprozesse zu modellieren, genau wie die Ladungsumverteilung in Superkondensatoren. Die Ergebnisse dieser Arbeit haben die fraktionale Natur von Superkondensatoren bestätigt.