Einfluss der elastischen Steifigkeit und Oberflächenhaftung auf das Prellen von Nanopartikeln

Hintergrund

Der wohl grundlegendste Prozess der Granularmechanik ist die Kollision zweier Körner. Bei großen Korngeschwindigkeiten trennen sich die Körner nach dem Stoß wieder, und das Stoßergebnis kann durch die klassische Mechanik inelastischer Stöße charakterisiert werden. Bei kleinen Korngeschwindigkeiten bleiben die Körner jedoch kleben. Die Grenze zwischen klebenden und abprallenden Kollisionen [1] kann als Abprallgeschwindigkeit v . bezeichnet werden _b . Dieser Parameter ist besonders wichtig für Nanokörner und findet beispielsweise in der Astrophysik Anwendung, wo er in die Beschreibung der kollisionsbedingten Staubaggregation eingeht [2, 3].

Die makroskopische Kontaktmechanik wurde verwendet, um eine Vorhersage für v . abzuleiten _b . Es basiert auf der Johnson-Kendall-Roberts (JKR)-Theorie [4], die den Zusammenstoß zweier adhäsiver Kugeln unter Verwendung der elastischen Steifigkeit und der Oberflächenadhäsion als grundlegende physikalische Eingaben beschreibt. Quantitativ werden diese Größen durch den Einrückungsmodul E . beschrieben _ind =E /(1−ν ² ), wobei E ist der Young-Modul und ν die Poisson-Zahl und durch die Oberflächenenergie γ . Mit dem Kugelradius R und die Massendichte ρ , lautet die Aufprallgeschwindigkeit zweier identischer Kugeln [1, 5, 6]

Der Wert der Konstanten C hängt stark von den Annahmen der Energiedissipation während der Kollision ab und wird diskutiert, um Werte zwischen 0,3 und 60 anzunehmen [1, 7].

Die Gültigkeit dieser Vorhersage wurde überwiegend im Hinblick auf ihre Größenabhängigkeit untersucht [1, 5–8]. Mit abnehmender Korngröße werden Haftkräfte wichtiger und die Prellgeschwindigkeit steigt. Tatsächlich finden Experimente mit Nanokörnern (Ag- und NaCl-Körnern) [9] v _b bei Korngrößen von einigen 10 nm im Bereich von 1 m/s liegen, bei kleineren Körnern stark ansteigend. Atomistische Simulationen basierend auf Molekulardynamik (MD) haben den vorhergesagten R . bestätigt ^−5/6 Abhängigkeit für Kollisionen zwischen amorphen Siliziumdioxidkörnern der Größe R =15–25 nm [7].

Bisher war die vorhergesagte Abhängigkeit von v _b zu den Materialparametern E _ind und γ wurde nicht im Detail getestet. Dies ist im Experiment nicht einfach zu bewerkstelligen, da sich verschiedene Materialien in der Regel in beiden Mengen unterscheiden. Mit MD können wir jedoch Modellmaterialien konstruieren, die identische Eigenschaften haben, sich aber nur in einem Aspekt unterscheiden, entweder E _ind oder γ . In dieser Arbeit wählen wir ein Modell für Cu [10], variieren aber die Materialparameter großzügig um bis zu einer Größenordnung von den realen Werten. Da wir in diesem System kein Prellen für amorphe Nanopartikel finden, konzentrieren wir uns auf kristalline (fcc) Körner.

Methoden/Experimental

Wir nutzen das Morsepotential,

um die Wechselwirkung zwischen zwei Atomen des Abstands r . zu beschreiben . Die drei Morseparameter D , α , und r ₀ bestimmt die Gitterkonstante a , der Volumenmodul B , und die Kohäsionsenergie E _coh eines Schüttgutes fcc.

Aus Gründen der Bestimmtheit fixieren wir die Gitterkonstante auf a =3,615 Å (geeignet für Cu) in dieser Studie und übernehmen auch die Atommasse von Cu, um die Massendichte ρ . zu halten in Gl. (1) behoben. Das Potenzial wird bei r . abgeschnitten _c =2,5a; somit wechselwirken 12 benachbarte Schalen, darunter insgesamt 248 Atome, mit jedem Atom. Für B . werden 100 Potenziale bewertet im Bereich von 403 bis 1008 GPa und E _coh im Bereich von 0,35 bis 3,54 eV. Beachten Sie, dass die hier untersuchten Volumenmodule größer und die Kohäsionsenergien kleiner sind als die Werte von echtem Cu (B =134,4 GPa, E _coh =3,54 eV [11]), da wir bei den reellen Werten kein Prellen beobachtet haben.

Wir bestimmen den Eindruckmodul E _ind für einachsige Spannungen in (100)-Richtung aus dem Young-Modul und der Poisson-Zahl in dieser Richtung ([12], S. 32). Abbildung 1 a zeigt die Abhängigkeit von E _ind auf B . Wir sehen, dass diese Größen einer linearen Beziehung gehorchen; bei konstantem Volumenmodul lässt eine Abnahme der Kohäsionsenergie E _ind erhöhen.

Materialparameter. Abhängigkeit von a der Einrückungsmodul E _ind auf dem Volumenmodul B und von b die Oberflächenenergie γ über die Kohäsionsenergie E _coh

Die Oberflächenenergie von (100)-Facetten wird aus der Energiedifferenz eines Volumenkristalls und eines Kristalls mit offener (100)-Oberfläche berechnet, indem durch die Fläche der offenen Oberfläche geteilt wird [13]. Abbildung 1 b zeigt, dass γ ist ungefähr proportional zu E _coh; Abweichungen sind nur bei kleineren Steifigkeiten und stark verklebten Materialien sichtbar.

Wir konstruieren Körner, indem wir eine Kugel mit dem Radius R . schneiden =9a =33 Å aus dem fcc-Gitter, das etwa 12.000 Atome enthält. Aufgrund ihrer Konstruktion haben sie eine facettierte Oberfläche. Sie werden entspannt, um ihre Oberflächen auszugleichen; leichte Oberflächenrelaxation, aber es wurde keine Rekonstruktion der Oberfläche beobachtet. Die Kollisionen werden gestartet, indem die Körner dupliziert und mit einer Relativgeschwindigkeit v . aufeinander zu geschossen werden . Es werden nur zentrale Kollisionen berücksichtigt, bei denen die beiden gegenüberliegenden (100)-Facetten frontal kollidieren, siehe Abb. 2.

Ersteinrichtung der Kollision

Zur Bestimmung der Prellgeschwindigkeit führen wir Kollisionen mit mehreren Geschwindigkeiten durch. Der hier verwendete Algorithmus basiert auf einem einfachen Bisektionsschema. Wir haben nachgewiesen, dass Kollisionen mit einer Geschwindigkeit von 250 m/s für alle hier untersuchten Kollisionssysteme abprallen, während Kollisionen bei verschwindender Geschwindigkeit kleben bleiben. Anschließend werden Simulationen mit dem arithmetischen Mittel der niedrigsten bekannten Aufprallgeschwindigkeit und der höchsten bekannten Haftgeschwindigkeit durchgeführt. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die Differenz zwischen der höchsten Haft- und der niedrigsten Aufprallgeschwindigkeit weniger als 10 % ihres Mittelwertes beträgt. v _b wird als arithmetisches Mittel der höchsten Haftgeschwindigkeit und der niedrigsten Aufprallgeschwindigkeit genommen; diese beiden letzteren Werte werden auch verwendet, um den Fehler unserer Berechnung in den Diagrammen anzuzeigen. Die Simulationen wurden mit der Open-Source-Software LAMMPS [14] durchgeführt, und der Code ist im Wesentlichen derselbe wie in unseren früheren Studien zu Kollisionen von Kieselsäure [7] und Wasser-Eis-Partikeln [15].

Ergebnisse

Abbildung 3 gibt einen Überblick über die erhaltenen Ergebnisse. Eine allgemeine Potenzgesetz-Anpassung wird bereitgestellt durch

Sprunggeschwindigkeit. Dreidimensionale Darstellung der Abhängigkeit der Aufprallgeschwindigkeit v _b auf dem Eindruckmodul E _ind und die Oberflächenenergie γ

Somit sind die Hauptmerkmale des JKR-Gesetzes, Gl. (1) – ein Anstieg von v _b mit Adhäsion und einer Abnahme mit elastischer Steifigkeit – werden reproduziert, aber die Abhängigkeiten sind schwächer als im JKR-Fall.

Abbildung 4 untersucht diese Abhängigkeiten genauer. Da wir die Prellgeschwindigkeiten für Materialien mit entweder festem B oder E _coh , wir werden sie für diese festen Werte analysieren, aber die Abhängigkeiten in Bezug auf E present darstellen _ind und γ um eine Verbindung mit der JKR-Vorhersage herzustellen, Gl. (1). Für konstante Kohäsionsenergie E _coh , v _b hängt wie ein Potenzgesetz von der elastischen Steifigkeit ab,

Sprunggeschwindigkeit. Abhängigkeit der Prellgeschwindigkeit v _b auf der a Einrückungsmodul E _ind und das b Oberflächenenergie γ . Linien bezeichnen Potenzgesetzanpassungen. c zeigt die Abhängigkeit des Potenzexponenten an, a , Gl. (4), über die Kohäsionsenergie. Die Linie bezeichnet eine lineare Anpassung, um das Auge zu führen

wo a =0,28 (0,26, 0,02) für E _coh =3,54 (2,12, 0,35) eV. Somit ist der Exponent a =0.33 von JKR vorhergesagt wird für hohe Oberflächenenergien tatsächlich fast wiederhergestellt; jedoch wird die Abhängigkeit mit abnehmendem γ . schwächer und verschwindet bei schwach haftenden Oberflächen ganz. Beachten Sie, dass bei verschwindender Oberflächenenergie alle Kollisionen abprallen müssen; dies erklärt die verschwindende Rolle der elastischen Steifigkeit in diesem Fall.

Abbildung 4 c zeigt die Potenzexponenten der Abhängigkeit von v _b (E _ind ), Gl. (4), erhalten aus unseren Simulationen. Der Plot zeigt deutlich die Zunahme der Abhängigkeit von E _ind mit zunehmender Kohäsionsenergie und damit Oberflächenenergie, wie durch die rote lineare Anpassungslinie angezeigt.

Für feste elastische Steifigkeit B , die Abhängigkeit von v _b auf γ zeigt ein einfacheres Bild, siehe Abb. 4 c. Potenzgesetz passt, v _b γ ^−b , geben ziemlich konsistente Werte von b =0,67 (0,59, 0,53) für B =403 (739, 1008) GPa und zeigen somit nur eine leichte Abhängigkeit von B und daher E _ind . Beachten Sie jedoch, dass diese Abhängigkeiten weicher sind als der Wert von b =0.83 vorhergesagt durch Gl. (1). Mit zunehmender Steifigkeit werden die Abweichungen von der JKR-Vorhersage stärker. Tatsächlich ist bekannt, dass JKR bei zu steifen Systemen versagt [16, 17]. Für solche Systeme gilt die Derjaguin-Müller-Toporov(DMT)-Theorie [18] als besser anwendbar; aus dieser Theorie scheint jedoch keine Vorhersage für die Aufprallgeschwindigkeit hervorgegangen zu sein.

Insgesamt liegen die hier gefundenen Prellgeschwindigkeiten unter 100 m/s. Wir betonen, dass wir für realistische Werte des Morsepotentials, die für Cu angemessen sind, ein Festhalten über den gesamten Geschwindigkeitsbereich und kein Abprallen feststellen. Dies steht im Einklang mit neueren Simulationen von Kollisionen von Cu-Kugeln (7–22 nm Durchmesser) mit einer Al-Oberfläche, die von Pogorelko et al. [19, 20] die ein Kleben bis zu Geschwindigkeiten von 1000 m/s finden. Der Grund für das Aufprallen in unseren Simulationen ist, dass wir Modellpotentiale verwenden, bei denen die Elastizitätsmodule großzügig erhöht und die Oberflächenbindung verringert ist, bezogen auf die Werte, die echtes Cu charakterisieren.

Oberhalb der Prellschwelle werden Kollisionen durch den Restitutionskoeffizienten charakterisiert,

die die relative Geschwindigkeit nach der Kollision vergleicht, v ^′ , dazu vor der Kollision, v , und misst damit die Inelastizität der Kollision. Bei klebenden Kollisionen ist es offensichtlich e =0. Die JKR-Theorie schlägt ein Gesetz vor [4–6]

wobei wir den Faktor α . eingeführt haben um Energieverluste zu berücksichtigen [7].

Abbildung 5 zeigt zwei Fälle der Geschwindigkeitsabhängigkeit von e; wir empfinden diese als repräsentativ für den gesamten untersuchten Bereich der Steifigkeits- und Haftwerte. In all diesen Fällen gibt es während der Kollision keine größere Energiedissipation; α liegt bei etwa 0,9. Bei ausreichend großen Oberflächenenergien, Abb. 5 a, e folgt recht gut der JKR-Vorhersage, Gl. (6). Bei kleinen γ , jedoch, Abb. 5 b, ist eine schmalere Übergangszone zu sehen, in der e wechselt von 0 auf fast 1; diese Übergangszone wird durch die JKR-Vorhersage nicht gut beschrieben, Gl. (6).

Restitutionskoeffizient. Abhängigkeit des Restitutionskoeffizienten, e , auf Kollisionsgeschwindigkeit, v , für ein stark (γ =2,32 J/m ² ) (a ) und ein schwach (γ =0,89 J/m ² ) (b ) Klebefläche. Der Volumenmodul ist in beiden Fällen identisch, B =940,8. Symbole bezeichnen Simulationsergebnisse, während die Kurve eine Anpassung an die JKR-Vorhersage ist, Gl. (6), mit α =0,86 (a ) und 0,95 (b )

Diskussion

Im Haftregime bleibt der Restitutionskoeffizient unter 1, was auf unelastische Energieverluste während der Kollision hindeutet. Wir haben verifiziert, dass die Kollisionen rein elastisch sind, in dem Sinne, dass während der Kollision keine permanente Plastizität erzeugt wurde; das Softwaretool OVITO [21] wurde verwendet, um eine Versetzungsproduktion zu überprüfen. Für höhere Geschwindigkeiten v>100 m/s und nachgiebigen Kugeln wurden vorübergehend Versetzungen gebildet, die aber nach der Kollision wieder verschwanden. Wir stellen fest, dass während der Kollision ähnlich großer kristalliner Nanokugeln, die über das generische Lennard-Jones-Potential wechselwirken, eine starke Versetzungsproduktion nachgewiesen werden konnte [22, 23], während Schertransformationszonen bei der Kollision von amorphen Siliziumdioxidkugeln identifiziert wurden [7], beide Kollisionssysteme weisen somit Plastizität auf. In unserem Fall verhindern die hohen Elastizitätsmodule die Bildung einer plastischen Verformung; unelastische Energieverluste werden nur durch die Anregung von Schwingungen in den kollidierten Kugeln verursacht. Es kann gefolgert werden, dass die Existenz von Prellkollisionen mit einer Unterdrückung der inelastischen Verluste während der Kollisionen und damit mit der Unterdrückung der plastischen Verformung verbunden ist.

Das Verhalten von e für kleine γ unterstreicht unsere obigen Ergebnisse für v _b dass bei schwach haftenden Systemen große Abweichungen von der JKR auftreten. Wir schließen daraus, dass bei schwacher Adhäsion die Prellgeschwindigkeit und auch der Zustand des Systems nach dem Prellen nur schwach von anderen Systemeigenschaften wie E . abhängen _ind und v .

Schlussfolgerungen

Die Vorhersage der JKR-Theorie von adhäsiven elastischen Kontakten wurde durch spezielle MD-Simulationen von Nanokörnern unter Verwendung von Modellpotentialen getestet. Wir stellen fest, dass die groben Trends der Abhängigkeit der Aufprallgeschwindigkeit durch die JKR-Theorie bei Variation der Materialsteifigkeit und der Materialhaftung um bis zu einer Größenordnung einigermaßen gut reproduziert werden. Bei schwach haftenden Körnern finden wir jedoch systematische Abweichungen; in diesem Fall wird die Prellschwelle unabhängig von der Materialsteifigkeit und der Restitutionskoeffizient zeigt oberhalb von v . fast keine Geschwindigkeitsabhängigkeit _b . Auch für stärkere Adhäsion ist die Abhängigkeit der Prellgeschwindigkeit von γ ist systematisch kleiner als von JKR vorhergesagt.

Diese Abweichungen weisen auf eine unvollständige Beschreibung von Nanopartikelkollisionen durch die makroskopische Kontakttheorie hin. Zukünftige Arbeiten werden versuchen, diese Studie auf kristalline Körner mit anderen Orientierungen und größeren Radien sowie auf amorphe Körner auszudehnen.