Gatter-Universalität: Jede Logikfunktion mit nur NAND- oder NOR-Gattern nachbilden

NAND- und NOR-Gatter sind die einzigen Standard-Logikfamilien, die durch ihre Kombination in ausreichender Anzahl jede andere Logikoperation eigenständig implementieren können. Diese universelle Eigenschaft ist das Fundament vieler digitaler Steuerungssysteme, die ausschließlich auf einem dieser Gattertypen basieren.

Beispielsweise lässt sich eine einfache OR-Funktion aus nur drei NAND-Gattern aufbauen, und dasselbe gelingt mit NOR-Gattern. Die folgenden Abschnitte veranschaulichen, wie jedes grundlegende Gatter – NOT, AND, OR, NAND und NOR – ausschließlich mit NANDs oder ausschließlich mit NORs konstruiert werden kann.

NOT-Funktion konstruieren

Sowohl NAND- als auch NOR-Gatter können als Inverter dienen. Der praktischste Ansatz für TTL-Geräte ist, den ungenutzten Eingang eines NAND-Gatters an die Versorgungsleitung (+V) zu legen, während bei NOR-Gattern der ungenutzte Eingang auf Masse gelegt wird. Diese Methode minimiert die Strombelastung des treibenden Gatters (TTL) und reduziert die Eingangskapazität (CMOS). Die Alternative – das Verbinden der beiden Eingänge – funktioniert logisch, ist aber aus Hardwaresicht weniger effizient.

Puffer-Funktion konstruieren

Ein Puffer lässt sich durch Kaskadieren zweier Inverterstufen realisieren. Der Ausgang spiegelt dann den Eingang exakt wider, bewahrt den logischen Pegel ohne Inversion.

UND-Funktion konstruieren

Um ein UND aus NAND-Gattern zu erhalten, fügt man einfach einen Inverter an den NAND-Ausgang an. Dies entfernt effektiv die inhärente NOT-Operation des NAND. Mit NOR-Gattern wird dasselbe UND-Verhalten erreicht, indem man alle Eingänge invertiert, bevor man sie in das NOR speist.

NAND-Funktion konstruieren

Ein NAND-Gatter ist bereits verfügbar; keine zusätzliche Schaltung nötig. Um ein NOR-Gatter NAND-Verhalten nachahmen zu lassen, invertiert man jeden Eingang und den Ausgang des NOR-Gatters. Für ein zwei-ingangsiges NOR erfordert dies drei zusätzliche NOR-Inverter.

ODER-Funktion konstruieren

Die Invertierung des NOR-Gatter-Ausgangs erzeugt eine ODER-Funktion. Umgekehrt kann ein NAND-Gatter ODER emulieren, indem es alle seine Eingänge invertiert. Diese reziproke Beziehung ist eine direkte Anwendung des De-Morgan-Theorems, das fundamental für die Boolesche Algebra ist.

NOR-Funktion konstruieren

Um ein NAND-Gatter als NOR zu nutzen, invertiert man alle seine Eingänge und seinen Ausgang. Dies spiegelt den Prozess wider, mit dem ein NOR NAND emuliert.

Zusammenfassung

• Sowohl NAND- als auch NOR-Gatter sind universal: Sie können jede Logikfunktion replizieren, wenn sie korrekt miteinander verschaltet sind.

Verwandte Arbeitsblätter

• TTL Logic Gates Worksheet
• Boolean Algebra Worksheet