Thevenins Satz: Lineare Kreise für Leistungssystemanalyse vereinfachen

In der Elektrotechnik garantiert Thevenins Satz, dass jedes lineare Netzwerk – bestehend aus Widerständen, Induktivitäten, Kapazitäten und ideale Quellen – in einen äquivalenten Kreis mit einer einzelnen Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand kollabiert werden kann. Diese Reduktion ist unschätzbar bei der Bewertung der Wirkung eines einzelnen Lastwiderstands, besonders in Energieverteilungssystemen, wo Lastwerte häufig wechseln.

Thevenins Satz in Leistungssystemen

Leistungssysteme passen Lastwiderstände routinemäßig an, wenn Geräte ein- oder ausgeschaltet werden. Das erneute Lösen eines vollständigen Netzwerks für jeden neuen Lastwert mit konventionellen Methoden (Zweigstrom, Maschenstrom, Millman, Superposition) ist zeitaufwändig. Thevenins Satz entfernt diese Last, indem er das gesamte Netzwerk – außer der Last – in ein einfaches Reihenschaltungspaar transformiert.

Angenommen R₂ ist die Last. Wir isolieren sie zunächst, reduzieren dann das verbleibende Netzwerk auf eine äquivalente Spannungsquelle E_Thevenin und Reihenschalter R_Thevenin. Die Last wird an dieses Paar wieder angeschlossen, und Spannung und Strom über ihr folgen direkt aus Reihenschaltungsregeln.

Thevenin-Äquivalenter Kreis

Nach Entfernen von R₂ werden die verbleibenden Elemente (Batterien B₁ und B₂, Widerstände R₁ und R₃) durch eine einzelne Spannungsquelle und einen einzelnen Widerstand dargestellt, wie gezeigt:

Nach der Reduktion:

Konstruktionsbedingt kann der Lastwiderstand zwischen dem ursprünglichen Netzwerk und seinem Thevenin-Äquivalent nicht unterscheiden; beide liefern identische Spannung und Strom für denselben Lastwert.

Thevenin-Spannung bestimmen

Mit entfernter Last berechnet man die Leerlaufspannung zwischen den beiden Anschlüssen:

Das Ergebnis ist E_Thevenin = 11,2 V.

Thevenin-Reihenschalter bestimmen

Alle Spannungsquellen kurzschließen (durch ideale Drähte ersetzen) und alle Stromquellen öffnen, dann den Widerstand zwischen den Lastanschlüssen messen:

Die beiden Widerstände liegen parallel, was R_Thevenin = 0,8 Ω ergibt.

Lastspannung und -strom berechnen

Last (R₂ = 2 Ω) wieder anschließen und den einfachen Reihenschaltkreis analysieren:

Die Last sieht V_R₂ = 8 V und I_R₂ = 4 A, identisch mit Werten, die über jede detaillierte Methode erzielt werden.

Da das Thevenin-Äquivalent unabhängig von der Last ist, erfordert das Ändern von R₂ nur eine einzige Neuberechnung mit denselben Reihenschaltungsformeln.

Zusammenfassung

• Thevenins Satz reduziert jedes lineare Netzwerk auf eine einzelne Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand.
• Verfahren:
  • Leerlaufspannung zwischen Lastanschlüssen berechnen (E_Thevenin).
  • Alle unabhängigen Spannungsquellen kurzschließen und Stromquellen öffnen; resultierenden Widerstand zwischen jenen Anschlüssen messen (R_Thevenin).
  • Äquivalenten Kreis zeichnen: E_Thevenin in Reihe mit R_Thevenin, dann Last wieder anschließen.
  • Reihenschaltungsregeln anwenden, um Lastspannung und -strom zu finden.

Weiterführendes Arbeitsblatt

• Thevenins, Nortons und Maximum Power Transfer Sätze Arbeitsblatt