Gegenseitige Induktivität und Transformatorgrundlagen verstehen

Verhalten von Spulen auf einem ferromagnetischen Kern

Stellen Sie sich vor, Sie wickeln isolierten Kupferdraht um einen ferromagnetischen Ring und speisen ihn mit einer AC-Quelle. Die resultierende Eisenkernspule präsentiert einen induktiven Blindwiderstand, der den Wechselstrom begrenzt, genau wie jede Spule:

X_L = 2πfL und I = E/X (bzw. I = E/Z)

Um die Funktion des Bauelements vollständig zu erfassen, müssen wir untersuchen, wie Spannung, Strom und magnetischer Fluss zusammenwirken.

Kirchhoffs Maschensatz besagt, dass die algebraische Summe aller Spannungen um einen geschlossenen Kreis null beträgt. In einer Einquellen-Einlast-Schaltung muss der Spannungsabfall über der Last der Quellenspannung entsprechen, sofern der Leitungswiderstand vernachlässigbar ist.

Daher muss die Spule eine Gegenspannung erzeugen, die der Quelle in der Amplitude entspricht, aber in der Phase entgegengesetzt ist. Bei einem Widerstand resultiert diese Gegenspannung aus elektrischer Energieumwandlung. Bei einer idealen Spule (ohne Drahtwiderstand) stammt die Opposition vom sich ändernden magnetischen Fluss im Eisenkern, der gemäß Faradays Gesetz eine Gegen-EMK induziert.

Beziehung zwischen Spannung, Strom und magnetischem Fluss

Faraday entdeckte, dass die momentane Spannung an einer Spule der Windungszahl (N) multipliziert mit der momentanen Änderungsrate des magnetischen Flusses (dΦ/dt) entspricht:

Diese Beziehung erzeugt Sinusspannungen bei sinusförmiger Anregung, wobei die Flusswelle der Spannung um 90° nachläuft:

Da die induzierte Spannung der angelegten Spannung entgegenwirken muss, hinkt der Wechselstrom in einer eisenkernspule der Spannung um 90° hinterher. Dieser Strom, oft als Magnetisierungsstrom bezeichnet, ist die Anstrengung der Spule, den notwendigen magnetischen Fluss zu erzeugen.

In der Praxis ist der Magnetisierungsstrom nicht perfekt sinusförmig aufgrund der nichtlinearen B/H-Kennlinie von Eisen. Nähert sich der Kern der Sättigung, steigt die Flussdichte steil an, und die Stromwelle verformt sich zu einer glockenförmigen Gestalt:

Bei Sättigung wird für jede inkrementelle Flusszunahme unverhältnismäßig mehr magnetomotorische Kraft (MMF) benötigt. Da MMF proportional zum Strom ist (MMF = NI), spikt der Spulenstrom während der Scheitelpunkte des Zyklus, was die beobachtete Verzerrung erzeugt.

Erregerstrom und seine Auswirkungen

Kernverluste – Hysterese und Wirbelströme – fügen weitere Verzerrung hinzu und verschieben die Phase des Stroms leicht relativ zur Spannung vor. Der kombinierte Strom, der Magnetisierung und Verlustanteile umfasst, wird als Erregerstrom bezeichnet.

Die Minimierung dieser Verzerrung erfordert typischerweise den Betrieb bei niedrigen Flussdichten, was wiederum einen Kern mit größerem Querschnitt erfordert, was die Spule voluminöser und teurer macht.

Zur Vereinfachung nehmen wir einen idealen, verlustfreien Kern fernab der Sättigung an, was zu einem rein sinusförmigen Erregerstrom führt. Eine solche Spule tauscht Energie abwechselnd mit der Quelle aus, dissipiert aber in einem idealen Szenario keine Leistung.

Einführung einer zweiten Spule: Gegenseitige Induktion

Fügen wir nun eine zweite Spule hinzu, die um denselben Eisenkern gewickelt ist. Die erste, von der AC-Quelle gespeiste Spule ist der Primärkreis; die zweite, zunächst offen, ist der Sekundärkreis:

Wenn der Sekundärkreis dieselbe Flussänderung wie der Primärkreis erfährt und dieselbe Windungszahl besitzt, wird eine induzierte Spannung gleicher Amplitude und Phase wie die Primärspannung auftreten:

Dieses Phänomen nennt man gegenseitige Induktivität, gemessen in Henry, aber mit dem Großbuchstaben „M“ bezeichnet.

Bei offenem Sekundärkreis fließt kein Strom. Wird jedoch ein ohmscher Lastwiderstand angeschlossen, fließt Strom in Phase mit der induzierten Spannung, da die Spannung an einem Widerstand immer in Phase mit seinem Strom ist:

Man könnte erwarten, dass der Sekundärstrom den Kernfluss verändert, doch das tut er nicht. Die induzierte Primärspannung muss im Gleichgewicht mit der Quellenspannung bleiben, was einen konstanten Fluss erzwingt. Die MMF des Sekundärkreises wird stattdessen durch eine gleich große, aber entgegengesetzte MMF im Primärkreis kompensiert, wodurch das Flussgleichgewicht gewahrt bleibt.

Daher wird der Laststrom des Sekundärkreises „in den Primärkreis reflektiert“ und zieht Strom aus der Quelle, als wäre die Last direkt an die Primärversorgung angeschlossen.

Von der gegenseitigen Induktivität zu Transformatoren

In dieser Anordnung wirkt der Primärkreis als Last für die Quelle, während der Sekundärkreis als Quelle für die Last fungiert. Die Aufgabe des Transformators besteht darin, elektrische Energie in magnetische Energie und zurück umzuwandeln, was eine Leistungsübertragung ohne direkte elektrische Verbindung ermöglicht.

Transformatoren sind inhärent Wechselstromgeräte, da sie auf änderndem magnetischem Fluss beruhen. Ihr Schaltzeichen besteht aus zwei Spulen, die einen gemeinsamen Kern teilen:

Typische Transformatoren nutzen ferromagnetische Kerne, aber luftgekühlte Versionen existieren. Ein praktisches Beispiel ist der Gasentladungsbeleuchtungstransformator unten:

Primär- und Sekundärwicklungen

Jede Wicklung ist einfach eine Spule isolierten Drahts. Die obere Spule hat meist mehr Windungen und dickeren Draht als die untere, was den unterschiedlichen Spannungs- und Stromanforderungen von Primär- und Sekundärseite Rechnung trägt.

Schnittbilder zeigen die laminierte Struktur des Kerns, die Wirbelstromverluste reduziert:

Transformatorsimulation mit SPICE

Transformatoren können in SPICE als zwei gekoppelte Spulen modelliert werden. Der Kopplungskoeffizient (k) beschreibt, wie eng die Spulen magnetisch gekoppelt sind; ein Wert von 1,0 stellt perfekte Kopplung dar.

Unten ist ein SPICE-Netzliste-Beispiel für eine 10-V-AC-Quelle, die einen 100-H-Primärkreis mit einem 100-H-Sekundärkreis und einem 1-kΩ-Lastwiderstand am Sekundärkreis antreibt:

transformator v1 1 0 ac 10 sin rbogus1 1 2 1e-12 rbogus2 5 0 9e12 l1 2 0 100 l2 3 5 100 k l1 l2 0.999 vi1 3 4 ac 0 rload 4 5 1k .ac lin 1 60 60 .print ac v(2,0) i(v1) .print ac v(3,5) i(vi1) .end

In dieser Simulation sind Primär- und Sekundärspannung nahezu gleich, und die Ströme unterscheiden sich nur durch den kleinen Magnetisierungsstrom. Der Wirkungsgrad übersteigt in modernen Auslegungen typischerweise 95 %.

Eine Verringerung des Lastwiderstands erhöht beide Ströme proportional, was das reflektierte Lastverhalten illustriert. Nicht-ideale Kopplung (k < 1) führt jedoch Streuinduktivität ein, die als Serieninduktivität in jeder Wicklung erscheint und bei steigendem Strom zu Spannungsabfall an der Last führt.

Eine Verbesserung der Kopplung oder eine Verringerung der Wicklungsinduktivität kann den Spannungsabfall mildern, aber jede Designentscheidung bringt Kompromisse bei Kerngröße, Kosten und Wirkungsgrad mit sich.

Wesentliche Erkenntnisse

• Gegenseitige Induktivität entsteht, wenn der magnetische Fluss, der zwei Spulen verbindet, sich ändert und in jeder Spule Spannung induziert.
• Ein Transformator ist ein Paar von Spulen, die durch einen gemeinsamen Kern gekoppelt sind und Leistungsübertragung zwischen Schaltungen über elektromagnetische Induktion ermöglichen.
• Die gespeiste Spule ist die Primärwicklung; die ungespeiste Spule ist die Sekundärwicklung.
• Der Kernfluss hinkt der Quellenspannung um 90° hinterher, und der Magnetisierungsstrom, ebenfalls um 90° nachlaufend, liefert die nötige MMF.
• Kernverluste und nichtlineare Magnetisierung verzerren den Erregerstrom, aber sorgfältiges Design hält diese Effekte minimal.
• Laststrom im Sekundärkreis wird in den Primärkreis reflektiert und zieht proportionalen Strom aus der Quelle.

Weiterführende Studien

• Gegenseitige Induktivität Arbeitsblatt
• Hochspannungs-, Niederspannungs- und Isolationstransformatoren Arbeitsblatt