CNC-Achsen & Positionierung: Kartesische Koordinaten meistern

Lernziele

Nach Abschluss dieser Einheit sollten Sie in der Lage sein:

• Das kartesische Koordinatensystem zu verstehen
• Die kartesischen Koordinaten der Ebene zu verstehen
• Die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen Raums zu verstehen
• Die vier Quadranten zu verstehen
• Den Unterschied zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten zu erklären
• Die programmierbaren Achsen an einer CNC-Maschine zu identifizieren

DAS KARTESISCHE KOORDINATENSYSTEM

Kartesische Koordinaten erlauben die Angabe der Position eines Punkts in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum. Die kartesischen Koordinaten oder rechteckigen Koordinaten eines Punkts sind ein Paar von Zahlen (in zwei Dimensionen) oder ein Tripel von Zahlen (in drei Dimensionen), die signierte Abstände von den Koordinatenachsen angeben. Zunächst müssen wir ein Koordinatensystem verstehen, um unsere Richtungen und relative Positionen zu definieren. Ein System, das Punkte im Raum definiert, indem es Richtungen (Achsen) und eine Referenzposition (Ursprung) festlegt. Ein Koordinatensystem kann rechteckig oder polar sein.

Genau wie Punkte auf einer Linie in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit der reellen Zahlengeraden gebracht werden können, können Punkte in der Ebene in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit Paaren reeller Zahlen gebracht werden, indem zwei Koordinatenlinien verwendet werden. Dazu konstruieren wir zwei senkrechte Koordinatenlinien, die sich in ihren Ursprüngen schneiden; zur Vereinfachung. Wir weisen den x- und y-Achsen ab dem Ursprung in beide Richtungen gleichmäßig verteilte Skalierungen zu: links und rechts (x-Achse) sowie oben und unten (y-Achse). Punkte entlang jeder Achse können so festgelegt werden. Wir machen eine der Zahlengeraden vertikal mit positiver Richtung nach oben und negativer nach unten. Die andere Zahlengerade ist horizontal mit positiver Richtung nach rechts und negativer nach links. Die beiden Zahlengeraden heißen Koordinatenachsen; die horizontale ist die x-Achse, die vertikale die y-Achse, und zusammen bilden sie das kartesische Koordinatensystem oder ein rechteckiges Koordinatensystem. Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen wird mit O bezeichnet und ist der Ursprung des Koordinatensystems. Siehe Abbildung 1.

Abbildung 1

Es ist im Grunde zwei reelle Zahlengeraden, die zusammengesetzt sind: eine verläuft links-rechts, die andere oben-unten. Die horizontale Linie heißt x-Achse, die vertikale y-Achse.

Der Ursprung (The Origin)

Der Punkt (0,0) trägt den speziellen Namen „Der Ursprung“ und wird manchmal mit dem Buchstaben „O“ bezeichnet.

Reelle Zahlengerade (Real Number Line)

Die Basis dieses Systems ist die reelle Zahlengerade mit gleichmäßigen Intervallen. Die Achse wird beschriftet (X, Y oder Z). Ein Punkt auf der Linie wird als Ursprung festgelegt. Zahlen auf einer Seite der Linie werden als positiv, auf der anderen als negativ markiert. Siehe Abbildung 2.

Abbildung 2. X-Achsen Zahlengerade

Kartesische Koordinaten der Ebene

Eine Ebene, in die ein rechteckiges Koordinatensystem eingeführt wurde, ist eine Koordinatenebene oder x-y-Ebene. Wir zeigen nun, wie man eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Punkten in einer Koordinatenebene und Paaren reeller Zahlen herstellt. Wenn A ein Punkt in einer Koordinatenebene ist, ziehen wir zwei Linien durch A: eine senkrecht zur x-Achse und eine senkrecht zur y-Achse. Wenn die erste Linie die x-Achse im Punkt mit Koordinate x schneidet und die zweite die y-Achse im Punkt mit Koordinate y, dann ordnen wir dem Punkt A das Paar (x,y) zu (siehe Abbildung 2). Die Zahl a ist die x-Koordinate oder Abszisse von P und die Zahl b die y-Koordinate oder Ordinate von P; wir sagen, dass A der Punkt mit Koordinate (x,y) ist und bezeichnen den Punkt mit A(x,y). Der Punkt (0,0) trägt den speziellen Namen „Der Ursprung“ und wird manchmal mit dem Buchstaben „O“ bezeichnet.

Abszisse und Ordinate

Die Wörter „Abszisse“ und „Ordinate“ … sie sind einfach die x- und y-Werte:

• Abszisse: der horizontale („x“) Wert in einem Koordinatenpaar: wie weit der Punkt entlang liegt.
• Ordinate: der vertikale („y“) Wert in einem Koordinatenpaar: wie weit der Punkt oben oder unten liegt.

Abbildung 3

Negative Werte von X und Y

Wie auf der reellen Zahlengeraden können Sie auch negative Werte haben.

Negativ: Bei Null beginnen und in die entgegengesetzte Richtung gehen; siehe Abbildung 4.

Abbildung 4

Für eine negative Zahl also:

• bei x nach links gehen
• bei y nach unten gehen

Beispiel (-3,5) bedeutet:
3 Einheiten links entlang der x-Achse, dann 5 Einheiten nach oben in der y-Achse. (Quadrant II: x negativ, y positiv)

Und (-3,-5) bedeutet:
3 Einheiten links entlang der x-Achse, dann 5 Einheiten nach unten in der y-Achse. (Quadrant III: x negativ, y negativ)

Mit kartesischen Koordinaten einen Punkt in einem Graphen markieren, indem man angibt, wie weit entlang und wie weit oben er ist; siehe Abbildung 5. Der Punkt (12,5) ist 12 Einheiten entlang der x-Achse und 5 Einheiten oben auf der y-Achse.

Abbildung 5

X- und Y-Achse

Die horizontale Linie heißt x-Achse, die vertikale y-Achse; beide Linien verlaufen durch den Nullpunkt (Ursprung, (0,0)).

Die horizontale Linie heißt x-Achse, die vertikale y-Achse; beide Linien verlaufen durch den Nullpunkt (Ursprung, (0,0)). Zusammen auf einem Graphen … siehe Abbildung 6.

Abbildung 6

Es ist im Grunde eine Menge von zwei reellen Zahlengeraden.

Achse: Die Referenzlinie, von der aus Abstände gemessen werden.

Beispiel:

Punkt (6,4) ist:
6 Einheiten in x-Richtung gehen, dann 4 Einheiten nach oben in y-Richtung, dann „Punkt setzen“.

Und Sie können sich merken, welche Achse welche ist, indem Sie:

Die Koordinaten werden immer in einer bestimmten Reihenfolge geschrieben:

• zuerst die horizontale Distanz,
• dann die vertikale Distanz.

Geordnetes Paar (Ordered Pair)

Die Zahlen werden durch ein Komma getrennt, und Klammern werden um das Ganze gesetzt, so: (7,4)

Beispiel: (7,4) bedeutet 7 Einheiten nach rechts (x-Achse) und 4 Einheiten nach oben (y-Achse).

Kartesische Koordinaten des dreidimensionalen Raums

Im dreidimensionalen Raum (xyz-Raum), rechtwinklig zur xy-Ebene orientiert. Die z-Achse verläuft durch den Ursprung der xy-Ebene. Koordinaten werden gemäß Ost-West für die x-Achse, Nord-Süd für die y-Achse und Hoch-Runter für die z-Achse vom Ursprung aus bestimmt. Das kartesische Koordinatensystem basiert auf drei sich gegenseitig senkrechten Koordinatenachsen: der x-Achse, der y-Achse und der z-Achse, siehe Abbildung 6 unten. Die drei Achsen schneiden sich im Punkt, der als Ursprung bezeichnet wird. Sie können sich den Ursprung als den Punkt vorstellen, an dem die Wände in der Ecke eines Raums den Boden treffen. Die x-Achse ist die horizontale Linie, entlang derer die Wand zu Ihrer Linken und der Boden sich schneiden. Die y-Achse ist die horizontale Linie, entlang derer die Wand zu Ihrer Rechten und der Boden sich schneiden. Die z-Achse ist die vertikale Linie, entlang derer die Wände sich schneiden. Die Teile der Linien, die Sie sehen, während Sie im Raum stehen, sind die positiven Anteile jeder der Achsen. Die negativen Teile dieser Achsen wären die Fortsetzungen der Linien außerhalb des Raums.

Abbildung 7. 3D Kartesisches Koordinatensystem

Dreidimensionale kartesische Koordinatenachsen. Eine Darstellung der drei Achsen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems. Die positive x-Achse, positive y-Achse und positive z-Achse sind die mit x, y und z beschrifteten Seiten. Der Ursprung ist der Schnittpunkt aller Achsen. Der Zweig jeder Achse auf der gegenüberliegenden Seite des Ursprungs (die unbeschriftete Seite) ist der negative Teil.

Bei der Behandlung von 3-dimensionaler Bewegung ist es, ein geeignetes Koordinatensystem einzurichten. Der einfachste Typ eines Koordinatensystems heißt kartesisches System. Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus drei sich gegenseitig senkrechten Achsen: der X-, Y- und Z-Achse. Konventionell ist die Orientierung dieser Achsen so, dass wenn Zeigefinger, Mittelfinger und Daumen der rechten Hand so konfiguriert sind, dass sie sich gegenseitig senkrecht sind, der Zeigefinger, der Mittelfinger und der Daumen entlang der X-, Y- und Z-Achse ausgerichtet werden können. Ein solches Koordinatensystem wird als rechtshändig bezeichnet. Siehe Abbildung 7. Der Schnittpunkt der drei Koordinatenachsen wird als Ursprung des Koordinatensystems bezeichnet.

Abbildung 8. Das Rechtshändige Kartesische System

Die kartesischen Koordinaten eines Punkts in drei Dimensionen sind ein Tripel von Zahlen (x,y,z). Die drei Zahlen, oder Koordinaten, geben den signierten Abstand vom Ursprung entlang der x-, y- und z-Achse an. Sie können visualisiert werden, indem man den Quader mit Kanten parallel zu den Koordinatenachsen und gegenüberliegenden Ecken am Ursprung und dem gegebenen Punkt bildet.

Punkte können nun in einem dreidimensionalen Volumen definiert werden. Dies erlaubt die Definition von Punkten in drei Dimensionen vom Ursprung aus. Die kartesischen Koordinaten (x,y,z) eines Punkts in drei Dimensionen geben den signierten Abstand vom Ursprung entlang der x-, y- und z-Achse an. Z-Achsenwerte werden zum dritten Eintrag bei der Definition von Koordinatenpositionen.

Angesichts der obigen Raumecken-Analogie könnten wir die kartesischen Koordinaten des Punkts an der Spitze Ihres Kopfes wie folgt bilden. Stellen Sie sich vor, Sie sind fünf Meter groß (z-Achse), gehen zwei Meter vom Ursprung entlang der x-Achse, drehen sich dann links und gehen parallel zur y-Achse vier Meter in den Raum hinein. Die kartesischen Koordinaten des Punkts an der Spitze Ihres Kopfes wären (2,4,5).

Zum Beispiel entspricht die Notation (2,4,5) den Werten X2, Y4 und Z5. Siehe Abbildung 8.

3 Dimensionen

Kartesische Koordinaten können zur Lokalisierung von Punkten in 3 Dimensionen verwendet werden, wie in diesem Beispiel:

Abbildung 9. Der Punkt (2, 4, 5) in dreidimensionalen kartesischen Koordinaten.

Quadranten

Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in vier Teile, die Quadranten genannt werden (siehe Abbildung 9). Die Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn nummeriert, beginnend oben rechts, bezeichnet mit I, II, III und IV mit Achsenbezeichnungen wie in der Abbildung unten gezeigt.

Abbildung 10

Vier Quadranten:

Wenn wir negative Werte einschließen, teilen die x- und y-Achsen den Raum in 4 Bereiche auf:

Quadranten I, II, III und IV
(Sie werden gegen den Uhrzeigersinn nummeriert)

• Im Quadrant I: sowohl x als auch y sind positiv
• Im Quadrant II: x ist negativ (y ist weiterhin positiv)
• Im Quadrant III: sowohl x als auch y sind negativ
• Im Quadrant IV: x ist wieder positiv, während y negativ ist

Quadrant	X (Horizontal)	Y (Vertikal)	Beispiel
I	Positiv	Positiv	(3,2)
II	Negativ	Positiv	(-5, 2)
III	Negativ	Negativ	(-2, -1)
IV	Positiv	Negativ	(2, -5)

Beispiel: Der Punkt „A“ (3,2) ist 3 Einheiten entlang der x-Achse und 2 Einheiten oben an der y-Achse. Beide x und y sind positiv, also liegt der Punkt in „Quadrant I“.

Beispiel: Der Punkt „C“ (-2,-1) ist 2 Einheiten entlang der x-Achse in negativer Richtung und 1 Einheit nach unten an der y-Achse in negativer Richtung. Beide x und y sind negativ, also liegt der Punkt in „Quadrant III“.

Dimensionen: 1, 2, 3 und mehr …

1. Die reelle Zahlengerade kann nur gehen: links-rechts → jede Position braucht nur eine Zahl.
2. Kartesische Koordinaten können gehen: links-rechts UND oben-unten → jede Position braucht zwei Zahlen.
3. 3 Dimensionen: links-rechts, oben-unten UND vorwärts-rückwärts.

Einheitstest

1. Was ist CNC?
2. Beschreiben Sie das kartesische Koordinatensystem.
3. Was ist der Ursprung (The Origin)?
4. Wie heißt die horizontale Linie?
5. Wie heißt die vertikale Linie?
6. Beschreiben Sie die reelle Zahlengerade.
7. Erklären Sie Abszisse und Ordinate.
8. Was ist die Darstellung der drei Achsen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems?
9. Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in vier Teile – wie heißen diese?
10. Im Quadrant IV: Wie sind die X- und Y-Achsen?