Zahlen und Symbole

Der Ausdruck numerischer Größen ist für uns selbstverständlich. Dies ist sowohl eine gute als auch eine schlechte Sache im Studium der Elektronik.

Es ist insofern gut, als dass wir an die Verwendung und Manipulation von Zahlen für die vielen Berechnungen gewöhnt sind, die bei der Analyse elektronischer Schaltungen verwendet werden.

Andererseits ist das besondere Notationssystem, das uns seit der Grundschule beigebracht wird, nicht das System, das intern in modernen elektronischen Computergeräten verwendet wird, und das Erlernen eines anderen Notationssystems erfordert eine erneute Überprüfung tief verwurzelter Annahmen.

Zahlen

Zuerst müssen wir den Unterschied zwischen Zahlen und den Symbolen, die wir verwenden, um Zahlen darzustellen, unterscheiden. Eine Nummer ist eine mathematische Größe, die in der Elektronik normalerweise mit einer physikalischen Größe wie Spannung, Strom oder Widerstand korreliert wird. Es gibt viele verschiedene Arten von Zahlen. Hier sind nur einige Typen, zum Beispiel:

GANZE ZAHLEN:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . . .

GANZZAHL:
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 . . .

IRRATIONALE ZAHLEN:
π (ca. 3.1415927),
e (ca. 2.718281828),
Quadratwurzel einer beliebigen Primzahl

REALE ZAHLEN:
(Alle eindimensionalen numerischen Werte, negativ und positiv,
einschließlich Null-, Ganz-, Ganzzahl- und irrationalen Zahlen)

KOMPLEXE ZAHLEN:
3 - j4 , 34,5 ∠ 20 ^o

Verschiedene Arten von Zahlen finden unterschiedliche Anwendung in der physischen Welt. Ganze Zahlen eignen sich gut zum Zählen diskreter Objekte, beispielsweise der Anzahl der Widerstände in einem Stromkreis. Ganzzahlen werden benötigt, wenn negative Äquivalente ganzer Zahlen erforderlich sind.

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht exakt als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können, und das Verhältnis des Umfangs eines perfekten Kreises zu seinem Durchmesser (π) ist ein gutes physikalisches Beispiel dafür. Die nicht ganzzahligen Größen von Spannung, Strom und Widerstand, die wir in Gleichstromkreisen gewohnt sind, können als reelle Zahlen in Bruch- oder Dezimalform ausgedrückt werden.

Für die Analyse von Wechselstromkreisen können reelle Zahlen jedoch die duale Essenz von Betrag und Phasenwinkel nicht erfassen, und so wenden wir uns der Verwendung komplexer Zahlen in rechteckiger oder polarer Form zu.

Symbole

Wenn wir Zahlen verwenden möchten, um Prozesse in der physikalischen Welt zu verstehen, wissenschaftliche Vorhersagen zu treffen oder unsere Scheckbücher auszugleichen, müssen wir sie symbolisch bezeichnen.

Mit anderen Worten, wir wissen vielleicht, wie viel Geld wir auf unserem Girokonto haben, aber um dies zu dokumentieren, müssen wir ein System ausarbeiten lassen, das diese Menge auf Papier symbolisiert oder in einer anderen Form für die Aufzeichnung und Verfolgung.

Analog und Digital

Es gibt zwei grundlegende Möglichkeiten, dies zu tun:analog und digital. Bei der analogen Darstellung wird die Größe unendlich teilbar symbolisiert. Bei der digitalen Darstellung wird die Menge diskret verpackt symbolisiert.

Analoge Darstellung

Sie kennen wahrscheinlich bereits eine analoge Darstellung von Geld und haben sie nicht als solche erkannt. Haben Sie schon einmal ein Spendenplakat gesehen, auf dem ein Thermometer abgebildet ist, auf dem die Höhe der roten Säule den für die Sache gesammelten Geldbetrag anzeigt? Je mehr Geld gesammelt wird, desto größer ist die rote Tintensäule auf dem Poster.

Dies ist ein Beispiel für eine analoge Darstellung einer Zahl. Es gibt keine wirkliche Grenze, wie fein die Höhe dieser Spalte geteilt werden kann, um den Geldbetrag auf dem Konto zu symbolisieren. Das Ändern der Höhe dieser Spalte ist etwas, das durchgeführt werden kann, ohne die wesentliche Natur dessen, was sie ist, zu ändern.

Die Länge ist eine physikalische Größe, die beliebig klein geteilt werden kann, ohne praktische Begrenzung. Der Rechenschieber ist ein mechanisches Gerät, das dieselbe physikalische Größe – Länge – verwendet, um Zahlen darzustellen und arithmetische Operationen mit zwei oder mehr Zahlen gleichzeitig auszuführen. Es ist auch ein analoges Gerät.

Digitale Darstellung

Auf der anderen Seite ein digitales Die Darstellung derselben Geldzahl, geschrieben mit Standardsymbolen (manchmal als Chiffren bezeichnet), sieht so aus:

$35.955,38

Im Gegensatz zum „Thermometer“-Poster mit seiner roten Säule lassen sich die obigen symbolischen Zeichen nicht fein unterteilen:Diese bestimmte Kombination von Ziffern steht für eine Größe und nur eine Größe.

Wenn dem Konto mehr Geld hinzugefügt wird (+ 40,12 $), müssen verschiedene Symbole verwendet werden, um das neue Guthaben (35.995,50 $) darzustellen, oder zumindest dieselben Symbole in verschiedenen Mustern angeordnet. Dies ist ein Beispiel für eine digitale Darstellung.

Das Gegenstück zum Rechenschieber (analog) ist ebenfalls ein digitales Gerät:der Abakus, mit auf Stäben hin und her bewegten Perlen als Symbol für Zahlengrößen:

Kontrast zwischen analoger und digitaler Darstellung

Lassen Sie uns diese beiden Methoden der numerischen Darstellung gegenüberstellen:

ANALOG DIGITAL
---------------------------------------------------------- ---------
Intuitiv verständlich ----------- Erfordert eine Ausbildung zum Interpretieren
Unendlich teilbar --- ---------- Diskret
Anfällig für Präzisionsfehler ------ Absolute Präzision

Die Interpretation numerischer Symbole ist für uns selbstverständlich, da sie uns seit vielen Jahren beigebracht wird. Wenn Sie jedoch versuchen würden, einer Person, die keine Dezimalzahlen kennt, eine Menge von etwas mitzuteilen, könnte diese Person immer noch das einfache Thermometerdiagramm verstehen!

Die unendlich teilbaren vs. diskreten und präzisen Vergleiche sind wirklich Kehrseiten derselben Medaille. Die Tatsache, dass die digitale Darstellung aus einzelnen, diskreten Symbolen (Dezimalziffern und Abakusperlen) besteht, bedeutet zwangsläufig, dass sie in der Lage sein wird, Mengen in präzisen Schritten zu symbolisieren.

Andererseits setzt sich eine analoge Darstellung (zB die Länge eines Rechenschiebers) nicht aus einzelnen Schritten zusammen, sondern aus einem kontinuierlichen Bewegungsumfang. Die Fähigkeit eines Rechenschiebers, eine numerische Größe mit unendlicher Auflösung zu charakterisieren, ist ein Kompromiss gegen Ungenauigkeit.

Wenn ein Rechenschieber gestoßen wird, wird ein Fehler in die Darstellung der Zahl eingefügt, die darin „eingegeben“ wurde. Ein Abakus muss jedoch viel stärker gestoßen werden, bevor seine Perlen vollständig von ihren Plätzen gelöst werden (ausreichend, um eine andere Zahl darzustellen).

Bitte missverstehen Sie diesen Unterschied in der Präzision nicht, indem Sie denken, dass eine digitale Darstellung notwendigerweise genauer ist als eine analoge. Nur weil eine Uhr digital ist, heißt das nicht, dass sie die Zeit immer genauer anzeigt als eine analoge Uhr, es bedeutet nur, dass die Interpretation seiner Anzeige ist weniger zweideutig.

Die Teilbarkeit der analogen gegenüber der digitalen Darstellung kann weiter beleuchtet werden, indem über die Darstellung irrationaler Zahlen gesprochen wird. Zahlen wie π werden als irrational bezeichnet, da sie nicht exakt als Bruch von ganzen Zahlen oder ganzen Zahlen ausgedrückt werden können.

Obwohl Sie vielleicht in der Vergangenheit gelernt haben, dass der Bruch 22/7 für π in Berechnungen verwendet werden kann, ist dies nur eine Näherung. Die tatsächliche Zahl „pi“ kann nicht durch eine endliche oder begrenzte Anzahl von Dezimalstellen exakt ausgedrückt werden. Die Ziffern von π gehen ewig weiter:

3.1415926535897932384 . . . . .

Es ist zumindest theoretisch möglich, einen Rechenschieber (oder sogar eine Thermometersäule) so einzustellen, dass er die Zahl π perfekt darstellt, denn analoge Symbole haben keine minimale Grenze, um sie zu erhöhen oder zu verringern.

Wenn mein Rechenschieber eine Zahl von 3,141593 anstelle von 3,141592654 anzeigt, kann ich die Folie noch ein bisschen mehr (oder weniger) anstoßen, um sie noch näher zu bringen. Bei der digitalen Darstellung, wie zum Beispiel bei einem Abakus, benötige ich jedoch zusätzliche Stäbe (Platzhalter oder Ziffern), um π mit einem höheren Genauigkeitsgrad darzustellen.

Ein Abakus mit 10 Stäben kann einfach nicht mehr als 10 Stellen der Zahl darstellen π, egal wie ich die Perlen einstelle. Um π perfekt darzustellen, müsste ein Abakus unendlich viele Perlen und Stäbchen haben! Der Kompromiss ist natürlich die praktische Einschränkung beim Einstellen und Lesen analoger Symbole.

Praktisch kann man die Skala eines Rechenschiebers nicht auf die 10. Stelle genau ablesen, weil die Striche auf der Skala zu grob sind und das menschliche Sehvermögen zu eingeschränkt ist. Ein Abakus hingegen kann ohne Interpretationsfehler eingestellt und gelesen werden.

Außerdem erfordern analoge Symbole eine Art von Standard, mit dem sie für eine genaue Interpretation verglichen werden können. Rechenschieber haben entlang der Länge der Schieber gedruckte Markierungen, um die Länge in Standardmengen umzuwandeln.

Sogar das Thermometerdiagramm hat Zahlen entlang seiner Höhe, um anzuzeigen, wie viel Geld (in Dollar) die rote Spalte für eine bestimmte Höhe darstellt. Stellen Sie sich vor, wir würden alle versuchen, einander einfache Zahlen mitzuteilen, indem wir unsere Hände unterschiedlich weit auseinander halten.

Die Zahl 1 könnte bedeuten, dass wir unsere Hände 1 Zoll auseinander halten, die Zahl 2 mit 2 Zoll und so weiter. Wenn jemand seine Hände 17 Zoll auseinander halten würde, um die Zahl 17 darzustellen, könnte jeder um ihn herum diesen Abstand sofort und genau als 17 interpretieren? Wahrscheinlich nicht.

Einige würden kurz (15 oder 16) und andere lang (18 oder 19) raten. Fischer, die mit ihren Fängen prahlen, haben natürlich nichts dagegen, die Menge zu überschätzen!

Vielleicht haben sich die Menschen deshalb im Allgemeinen für digitale Symbole zur Darstellung von Zahlen entschieden, insbesondere für ganze Zahlen und ganze Zahlen, die im täglichen Leben am meisten Anwendung finden.

Mit den Fingern an unseren Händen können wir ganze Zahlen von 0 bis 10 symbolisieren. Wir können ganz einfach Striche auf Papier, Holz oder Stein machen, um die gleichen Größen darzustellen:

Für große Zahlen ist das Nummerierungssystem „Hash-Mark“ jedoch zu ineffizient.